Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 26.07.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades der Funktion [mm] f:D\to \IR^2 [/mm] , [mm] f(x,y)=(1+2x+3y^2)^{-1} [/mm] im Punkt (0,0), wobei [mm] D=\{(x,y)\in \IR^2|1+2x+3y^2=0\} [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gemacht und bitte eigentlich nur drum, dass jemand da mal drauf guckt und mir sagt obs richtig ist bzw. was ich gegebenenfalls falsch hab. Das wäre echt nett....
Also, ich habe natürlich die Ableitungen gemacht:
[mm] f_x(x,y)=\bruch{-2}{(1+2x+3y^2)^2}
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=\bruch{-6y}{(1+2x+3y^2)^2}
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y)=\bruch{8}{(1+2x+3y^2)^3}
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y)=\bruch{-6(1+2x-9y^2)^}{(1+2x+3y^2)^3}
[/mm]
[mm] f_{xy}(x,y)=\bruch{24y}{(1+2x+3y^2)^3}
[/mm]
[mm] \to [/mm] f(0,0)=1 ; [mm] f_x(0,0)=-2 [/mm] ; [mm] f_y(0,0)=0 [/mm] ; [mm] f_{xx}(0,0)=8 [/mm] ; [mm] f_{yy}(0,0)=-6 [/mm] ; [mm] f_{xy}(0,0)=0
[/mm]
[mm] \to T_2= 1-2(x-0)+0(y-0)+4(x-0)^2-3(y-0)^3
[/mm]
das ist jetzt am Ende schon etwas abgekürzt, wenn jemand da was nicht nachvollziehen kann, einfach fragen :)
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Hallo chipbit,
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades der Funktion
> [mm]f:D\to \IR^2[/mm] , [mm]f(x,y)=(1+2x+3y^2)^{-1}[/mm] im Punkt (0,0),
> wobei [mm]D=\{(x,y)\in \IR^2|1+2x+3y^2=0\}[/mm] ist.
> Hallo,
> ich habe die Aufgabe gemacht und bitte eigentlich nur drum,
> dass jemand da mal drauf guckt und mir sagt obs richtig ist
> bzw. was ich gegebenenfalls falsch hab. Das wäre echt
> nett....
> Also, ich habe natürlich die Ableitungen gemacht:
> [mm]f_x(x,y)=\bruch{-2}{(1+2x+3y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)=\bruch{-6y}{(1+2x+3y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]f_{xx}(x,y)=\bruch{8}{(1+2x+3y^2)^3}[/mm]
>
> [mm]f_{yy}(x,y)=\bruch{-6(1+2x-9y^2)^}{(1+2x+3y^2)^3}[/mm]
>
> [mm]f_{xy}(x,y)=\bruch{24y}{(1+2x+3y^2)^3}[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] f(0,0)=1 ; [mm]f_x(0,0)=-2[/mm] ; [mm]f_y(0,0)=0[/mm] ; [mm]f_{xx}(0,0)=8[/mm] ;
> [mm]f_{yy}(0,0)=-6[/mm] ; [mm]f_{xy}(0,0)=0[/mm]
>
> [mm]\to T_2= 1-2(x-0)+0(y-0)+4(x-0)^2-3(y-0)^3[/mm]
Das soll doch bestimmt
[mm]\to T_2= 1-2(x-0)+0(y-0)+4(x-0)^2-3(y-0)^{\red{2}}[/mm]
heißen.
Sonst ist alles ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das ist jetzt
> am Ende schon etwas abgekürzt, wenn jemand da was nicht
> nachvollziehen kann, einfach fragen :)
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Sa 26.07.2008 | | Autor: | chipbit |
Oh ja, sollte es, war da beim Tippen wohl abgelenkt. Danke für den Hinweis und fürs drauf gucken :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 29.07.2008 | | Autor: | chipbit |
Ich habe da jetzt ne Lösung gesehen, wie das in einem Tutorium gelöst wurde. Die haben da anscheinend irgendwie die Hesse-Matrix bestimmt und dann damit das Polyom erstellt....kann mir einer mal erklären warum? Bzw. was das bringt und wie man das macht? Steig da irgendwie nicht durch.
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Hallo chipbit,
> Ich habe da jetzt ne Lösung gesehen, wie das in einem
> Tutorium gelöst wurde. Die haben da anscheinend irgendwie
> die Hesse-Matrix bestimmt und dann damit das Polyom
> erstellt....kann mir einer mal erklären warum? Bzw. was das
> bringt und wie man das macht? Steig da irgendwie nicht
> durch.
>
Das kann man auch mit Hilfe von Matrizen machen.
Jedes quadratische Polynom kann man auch in Matrizenschreibweise erfassen:
[mm] a_{20}*x^{2}+2*a_{11}*xy+a_{22}*y^{2}=\pmat{ x & y}*\pmat{a_{20} & a_{11} \\ a_{11} & a_{02}}*\pmat{x \\ y}[/mm]
Ein lineares Polynom kann man als Skalarprodukt auffassen:
[mm]a_{10}*x+a_{01}*y=\pmat{a_{10} & a_{01}}*\pmat{x \\ y}[/mm]
Daher kann man das Taylorpolynom 2. Grades auch so schreiben:
[mm]T_{2}\left(x,y\right)=f\left(x_{0},y_{0}\right)+\nabla{f}^{T}\left(x_{0},y_{0}\right)*\pmat{x-x_{0} \\ y-y_{0}} }+\pmat{x-x_{0} & y-y_{0}} }*H_{f}\left(x_{0},y_{0}\right)*\pmat{x-x_{0} \\ y-y_{0}} }[/mm]
, wobei
[mm]\nabla{f}\left(x,y\right)=\pmat{f_{x}\left(x,y\right) \\ f_{y}\left(x,y\right)}[/mm]
[mm]H_{f}\left(x,y\right)=\pmat{f_{xx}\left(x,y\right) & f_{xy}\left(x,y\right)\\ f_{yx}\left(x,y\right) & f_{yy}\left(x,y\right)}[/mm]
bedeuten.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 29.07.2008 | | Autor: | chipbit |
Ah vielen Dank.
Hab das auch grad geschnallt, kommt ja auch das gleiche raus. Bin da manchmal zu früh am verzweifeln...
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