Taylorpolynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung um x0=0 der folgenden Funktion und geben Sie an wann im Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{4}] [/mm] ein Fehler von maximal [mm] 10^{-3} [/mm] erreicht wird.
[mm] f(x)=tanx+\pi [/mm] |
Hallo,
mir fehlt einfach die Idee bzw. der Ansatz wie ich die hier Taylor anwenden muss. Ich würde euch gerne bitten mir einfach mal einen Ansatz zu nennen wie ich auf dieses Taylorpolynom dritter Ordnung komme. Den 2. Teil der Aufgabe ist im Moment für mich unrelevent, wenn ich es nicht mal schaffe Taylor anzuwenden.
Ich bin für jede Hilfe offen und würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Danke euch schonmal und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst die 3 ersten Ableitungen ausrechnen , x=0 einsetzen und in die Formel fürs Taylorpolynom, die überall steht einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
ok dann erstmal die Ableitungen:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{cos(x+\pi)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2sin(x+\pi)cos(x+\pi)}{cos(x+\pi)^4}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{(cos(x+\pi)^4(2cos(x+\pi)^2-2sin(x+\pi)^2)-2sin(x+\pi)cos(x+\pi)(-4)sin(x+\pi)cos(x+\pi)^3)}{cos(x+\pi)^8}
[/mm]
ob ich bei der dritten Ableitung keinen Fehler gemacht habe weiß ich leider nicht aber ich sehe auch nicht wie man das weiter zusammen fassen kann.
Wäre nett wenn jemand mal drüber schauen könnte.
Danke und lg
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Hallo Tolpi,
> ok dann erstmal die Ableitungen:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{cos(x+\pi)^2}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{2sin(x+\pi)cos(x+\pi)}{cos(x+\pi)^4}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{(cos(x+\pi)^4(2cos(x+\pi)^2-2sin(x+\pi)^2)-2sin(x+\pi)cos(x+\pi)(-4)sin(x+\pi)cos(x+\pi)^3)}{cos(x+\pi)^8}[/mm]
Stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ob ich bei der dritten Ableitung keinen Fehler gemacht habe
> weiß ich leider nicht aber ich sehe auch nicht wie man das
> weiter zusammen fassen kann.
>
Du kannst z.B. die Sinusse zusammenfassen.
Dann kannst Du [mm]\sin^{2}\left(x+\pi\right)[/mm]
ersetzen durch [mm]1-\cos^{2}\left(x+\pi\right)[/mm]
> Wäre nett wenn jemand mal drüber schauen könnte.
>
>
>
> Danke und lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
hm wenn das stimmt, dann komme ich aber nicht mehr weiter.
wenn ich da dann für x=0 einsetze, kommt da gar keine schöne Zahl raus.
z.B.
f(0)=0,05488615081
f'(x)=1,00301249
Wie soll man da auf ein schönes Taylorpolynom kommen? Villeicht könnte ich hier nochmals einen Tipp haben, wäre wirlich nett.
lg
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Hallo Tolpi,
> hm wenn das stimmt, dann komme ich aber nicht mehr weiter.
>
> wenn ich da dann für x=0 einsetze, kommt da gar keine
> schöne Zahl raus.
>
> z.B.
>
> f(0)=0,05488615081
> f'(x)=1,00301249
>
> Wie soll man da auf ein schönes Taylorpolynom kommen?
> Villeicht könnte ich hier nochmals einen Tipp haben, wäre
> wirlich nett.
Stelle Deinen TR auf den Modus "RAD" um.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
ok danke, wie blöd von mir...
dann komme ich auf folgendes:
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=2
dann setze ich in folgende Formel ein:
[mm] Tn(x)=\bruch{f(0)}{0!}(x-0)^0+\bruch{f'(0)}{1!}(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}(x-0)^3
[/mm]
eingesetzt ergibt dies:
[mm] \bruch{0}{1}*x^0+\bruch{1}{1}*x^1+\bruch{0}{2}*x^2+\bruch{2}{6}*x^3
[/mm]
Dies zusammengefasst müsste dann ergeben:
[mm] x+\bruch{1}{3}*x^3
[/mm]
und dies dürfte auch das Taylorpolynom der 3. Ordnung sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:34 Di 02.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
das ist gut, dann hat das immerhin mal geklappt 
wie ich aber nun den 2. Teil der Aufgabe angehe, da bräuchte ich nochmals ein paar Tipps. Also wie ich jetzt herausfinde wann im Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{4}] [/mm] ein Fehler von maximal [mm] 10^{-3} [/mm] erreicht wird.
Danke euch schonmal und lg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] $|f(x)-(x+\bruch{1}{3}x^3)|$
[/mm]
kannst Du mit dem Restglied aus der Taylor-Formel abschätzen
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:50 Di 02.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
hm okay, das wäre ja dann so:
$ [mm] |tan(x+\pi)-(x+\bruch{1}{3}x^3)| [/mm] $
aber ich verstehe einfach nicht was ich nun damit machen soll, wie ich das einsetzen muss.
lg
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> hm okay, das wäre ja dann so:
>
> [mm]|tan(x+\pi)-(x+\bruch{1}{3}x^3)|[/mm]
>
> aber ich verstehe einfach nicht was ich nun damit machen
> soll, wie ich das einsetzen muss.
Hallo,
hast Du freds Antwort gelesen?
Womit sollst Du die Differenz abschätzen?
Und wie sieht das, womit Du abschätzen sollst aus? (Tip: Skript/Buch )
Gruß v. Angela
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