Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung in [mm] (x_0;y_0)=(0,0)
[/mm]
[mm] f:\IR^2 \to e^{x*y} [/mm] |
Hier habe ich alle partiellen Ableitungen bis zur dritten Ordnung gebildet:
[mm] f_x=y*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_y=x*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xx}=y^2*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{yy}=x^2*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xy}=(xy+1)e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{yx}=(xy+1)e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xxx}=y^3*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{yyy}=x^3*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xxy}=(xy+2)e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{yyx}=(xy+2)e^{xy}
[/mm]
[mm] f(x+0,y+0)=f(0,0)+f_x(0,0)+f_y(0,0)y+f_{xx}(0,0)\bruch{x^2}{2}+f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)\bruch{y^2}{2}+R_3^\theta(x+0,y+0)
[/mm]
= [mm] 1+e(xy)+R_3^\theta(x+0,y+0)
[/mm]
Ist das soweit ok? Dann muss ich ja nur noch das Restglied berechnen oder?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung in
> [mm](x_0;y_0)=(0,0)[/mm]
>
> [mm]f:\IR^2 \to e^{x*y}[/mm]
> Hier habe ich alle partiellen
> Ableitungen bis zur dritten Ordnung gebildet:
>
> [mm]f_x=y*e^{xy}[/mm]
> [mm]f_y=x*e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{xx}=y^2*e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{yy}=x^2*e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{xy}=(xy+1)e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{yx}=(xy+1)e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{xxx}=y^3*e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{yyy}=x^3*e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{xxy}=(xy+2)e^{xy}[/mm]
> [mm]f_{yyx}=(xy+2)e^{xy}[/mm]
>
> [mm]f(x+0,y+0)=f(0,0)+f_x(0,0)+f_y(0,0)y+f_{xx}(0,0)\bruch{x^2}{2}+f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)\bruch{y^2}{2}+R_3^\theta(x+0,y+0)[/mm]
>
> = [mm]1+e(xy)+R_3^\theta(x+0,y+0)[/mm]
Bei [mm] f_x(0,0) [/mm] hat Du ein x verschlampert: [mm] f_x(0,0)*x
[/mm]
>
> Ist das soweit ok?
Keine Ahnung, solange Du nicht sagst, was e(xy) ist.
FRED
> Dann muss ich ja nur noch das Restglied
> berechnen oder?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Wie meinst du , was [mm] x\to e^{xy} [/mm] ist??
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast oben e(xy) geschrieben. Was bedeutet das ?
FRED
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damit meine ich [mm] e^1(xy) [/mm] stimmt die Abelitung so nicht?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> damit meine ich [mm]e^1(xy)[/mm]
Und was bedeutet das ?
FRED
>
> stimmt die Abelitung so nicht?
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich weiß nicht genau auf was du gerade hinaus willst....sorry..
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich weiß nicht genau auf was du gerade hinaus
> willst....sorry..
Was meinst Du mit $ [mm] e^1(xy) [/mm] $ ?
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 So 27.05.2012 | | Autor: | it123 |
Ich habe im Königsberger eine direkte Formel zur Bestimmung des Taylorpolynoms 2. Ordnung in einem Entwicklungspunkt a gefunden und erhalte für obige Aufgabe nun:
[mm] T_2f((x_1,x_2),(0,0))=1+1/2(x_1^2+x_2^2). [/mm]
Ist dies das Taylorpolynom 2. Ordnung im Entwicklungspunkt (0,0)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bevor du das eigenartige
= $ [mm] 1+e(xy)+R_3^\theta(x+0,y+0) [/mm] $
hingeschrieben hattest, stand da das richtige TP. du musstest nur noch (0,0) einsetzen.
Wenn in der aufgabe nichts von fehlerabschaetzung oder Restglied steht brauchst du das wohl nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 27.05.2012 | | Autor: | it123 |
Ich habe dort folgende Formel gefunden:
[mm] T_2f(x,a)=f(a)+\summe_{i=1}^{n}\partial_if(a)(x_i-a_i)+1/2\summe_{i,j=1}^{n}\partial_{ij}f(a)(x_i-a_i)(x_j-a_j)
[/mm]
Also setze ich ein:
[mm] T_2f((x_1,x_2),(0,0))=exp(0*0)+exp(0*0)*0(x_1-0)+exp(0*0)*0(x_2-0)+1/2(1(x_1-0)(x_2-0)+1(x_2-0)+1(x_2-0)(x_1-0))=1+1/2(x_1x_2+x_2x_1)=1+x_1x_2
[/mm]
Stimmt das jetzt?
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Hallo it123,
> Ich habe dort folgende Formel gefunden:
>
> [mm]T_2f(x,a)=f(a)+\summe_{i=1}^{n}\partial_if(a)(x_i-a_i)+1/2\summe_{i,j=1}^{n}\partial_{ij}f(a)(x_i-a_i)(x_j-a_j)[/mm]
>
> Also setze ich ein:
>
> [mm]T_2f((x_1,x_2),(0,0))=exp(0*0)+exp(0*0)*0(x_1-0)+exp(0*0)*0(x_2-0)+1/2(1(x_1-0)(x_2-0)+1(x_2-0)+1(x_2-0)(x_1-0))=1+1/2(x_1x_2+x_2x_1)=1+x_1x_2[/mm]
>
Korrekt muss es doch zunächst so lauten:
[mm]T_2f((x_1,x_2),0,0))=exp(0*0)+exp(0*0)*0(x_1-0)+exp(0*0)*0(x_2-0)[/mm]
[mm]+1/2((\blue{0*\left(x_{1}-0\right)^{2}}+1(x_1-0)(x_2-0)+1(x_2-0)(x_1-0)+\blue{0*\left(x_{2}-0\right)^{2}})[/mm]
> Stimmt das jetzt?
Das Endergebnis stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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