Taylorpolynom Aufgabe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 11.09.2014 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen haben an der Stelle x0 = 0 das Taylorpolynom 1. Ordnung T1(x) = 1 + x ? Kreuzen Sie bitte ja oder nein an.
1) f(x) = [mm] e^x
[/mm]
2) f(x) = [mm] e^x [/mm] * sin x
3) f(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + x
4) f(x) = 1 + sin x
5) f(x) = [mm] e^x [/mm] * cos x |
Mathe Klausur erste mal eine Aufgabe zum Ankreuzen. Habe die Lösung (also ob "ja" oder "nein") aber nicht wirklich eine Ahnung wie man drauf kommt. Hab mal rumprobiert und es scheint zu funktionieren. Nur bei Nummer 5) klappt es nicht. Meine Versuche:
Taylorpolynom 1. Ordnung
f(x) = f(x0) + [mm] \bruch{f'(x0)}{1!}(x [/mm] - x0)
1)
f(x) = [mm] e^x
[/mm]
f'(x) = [mm] e^x
[/mm]
f(x0=0) = [mm] e^0 [/mm] = 1
f'(x0=0) = [mm] e^0 [/mm] = 1
Taylor:
f(x) = 1 + [mm] \bruch{1}{1}(x [/mm] - 0)
f(x) = 1 + x Antwort "Ja" stimmt mit Lösung überein
---------------------------------------------------------------------------------------
2)
f(x) = [mm] e^x [/mm] * sin x
f'(x) = [mm] e^x [/mm] * sin x + [mm] e^x [/mm] * cos x
f(x0=0) = [mm] e^0 [/mm] * sin 0 = 0
f'(x0=0) = [mm] e^0 [/mm] * sin 0 [mm] +e^0 [/mm] * cos 0 = 1 * 0 + 1 * 1 = 1
Taylor:
f(x) = 0 + [mm] \bruch{1}{1}(x [/mm] - 0)
f(x) = 0 + x Antwort "NEIN" stimmt mit Lösung überein
---------------------------------------------------------------------------------------
3)
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + x
f'(x) = [mm] \bruch{1}{4}x [/mm] + 1
f(x0=0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] 0^2 [/mm] + 0 = 0
f'(x0=0) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * 0 + 1 = 1
Taylor:
f(x) = 0 + [mm] \bruch{1}{1}(x [/mm] - 0)
f(x) = 0 + x Antwort "NEIN" stimmt mit Lösung überein
---------------------------------------------------------------------------------------
4)
f(x) = 1 + sin x
f'(x) = cos x
f(x0=0) = 1 + 0 = 1
f'(x0=0) = cos 0 = 1
Taylor:
f(x) = 1 + [mm] \bruch{1}{1}(x [/mm] - 0)
f(x) = 1 + x Antwort "JA" stimmt mit Lösung überein
---------------------------------------------------------------------------------------
5)
f(x) = [mm] e^x [/mm] * cos x
f'(x) = [mm] e^x [/mm] * cos x - [mm] e^x [/mm] * sin x
f(x0=0) = [mm] e^0 [/mm] * cos 0 = 1 * 1 = 1
f'(x0=0) = [mm] e^0 [/mm] * cos 0 - [mm] e^0 [/mm] * sin 0
Taylor:
f(x) = 1 + [mm] \bruch{1 * 1 - 1 * 0}{1}(x [/mm] - 0)
f(x) = 1 + [mm] \bruch{0}{1}(x [/mm] - 0)
f(x) = 1 + 0 meine Antwort "NEIN" ist falsch, richtig wäre "JA"
Habe jetzt 4 mal nachgerechnet, übersehe ich hier einen Fehler ?
Rechne ich die Aufgaben überhaupt richtig ?
Ist mein Taylorpolynom 1. Ordnung korrekt ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 11.09.2014 | | Autor: | TorbM |
Ach....mist.
danke.....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Welche der folgenden Funktionen haben an der Stelle x0 = 0
> > das Taylorpolynom 1. Ordnung T1(x) = 1 + x ? Kreuzen
> Sie
> > bitte ja oder nein an.
> >
> > 1) f(x) = [mm]e^x[/mm]
> > 2) f(x) = [mm]e^x[/mm] * sin x
> > 3) f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] + x
> > 4) f(x) = 1 + sin x
> > 5) f(x) = [mm]e^x[/mm] * cos x
> > Mathe Klausur erste mal eine Aufgabe zum Ankreuzen.
> Habe
> > die Lösung (also ob "ja" oder "nein") aber nicht
> wirklich
> > eine Ahnung wie man drauf kommt. Hab mal rumprobiert und
> es
> > scheint zu funktionieren. Nur bei Nummer 5) klappt es
> > nicht. Meine Versuche:
> >
> > Taylorpolynom 1. Ordnung
> >
> > f(x) = f(x0) + [mm]\bruch{f'(x0)}{1!}(x[/mm] - x0)
> >
> > 1)
> > f(x) = [mm]e^x[/mm]
> > f'(x) = [mm]e^x[/mm]
> > f(x0=0) = [mm]e^0[/mm] = 1
> > f'(x0=0) = [mm]e^0[/mm] = 1
> >
> > Taylor:
> > f(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > f(x) = 1 + x Antwort "Ja" stimmt mit Lösung
> > überein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > 2)
> > f(x) = [mm]e^x[/mm] * sin x
> > f'(x) = [mm]e^x[/mm] * sin x + [mm]e^x[/mm] * cos x
> > f(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * sin 0 = 0
> > f'(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * sin 0 [mm]+e^0[/mm] * cos 0 = 1 * 0 + 1 * 1 = 1
> >
> > Taylor:
> > f(x) = 0 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > f(x) = 0 + x Antwort "NEIN" stimmt mit Lösung
> > überein
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > 3)
> > f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] + x
> > f'(x) = [mm]\bruch{1}{4}x[/mm] + 1
> > f(x0=0) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]0^2[/mm] + 0 = 0
> > f'(x0=0) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * 0 + 1 = 1
> >
> > Taylor:
> > f(x) = 0 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > f(x) = 0 + x Antwort "NEIN" stimmt mit Lösung
> > überein
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > 4)
> > f(x) = 1 + sin x
> > f'(x) = cos x
> > f(x0=0) = 1 + 0 = 1
> > f'(x0=0) = cos 0 = 1
> >
> > Taylor:
> > f(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > f(x) = 1 + x Antwort "JA" stimmt mit Lösung
> > überein
> >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > 5)
> > f(x) = [mm]e^x[/mm] * cos x
> > f'(x) = [mm]e^x[/mm] * cos x - [mm]e^x[/mm] * sin x
> > f(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * cos 0 = 1 * 1 = 1
> > f'(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * cos 0 - [mm]e^0[/mm] * sin 0
> >
> > Taylor:
> > f(x) = 1 + [mm]\bruch{\red{1 * 1 - 1 * 0}}{1}(x[/mm] - 0)
> > f(x) = 1 + [mm]\bruch{\red{0}}{1}(x[/mm] - 0)
>
> Wieso ist denn bei dir [mm]\red{1\cdot{}1-1\cdot{}0=0}[/mm] ?
>
> Das ist doch [mm]\red{1-0= 1}[/mm] ...
>
> > f(x) = 1 + 0 meine Antwort "NEIN" ist falsch,
> > richtig wäre "JA"
> >
> > Habe jetzt 4 mal nachgerechnet, übersehe ich hier
> einen
> > Fehler ?
>
> Ja 
>
> > Rechne ich die Aufgaben überhaupt richtig ?
> > Ist mein Taylorpolynom 1. Ordnung korrekt ?
>
> Ja, alles gut. Aber aufwendiger als nötig ...
aber ein wunderschönes Beispiel, an dem man sieht, wie sinnlos solche
Multiple-Choice Klausuren in der Mathematik sind.
Bis auf einen Rechenfehler (der in der Klausur durch Unkonzentriertheit
schnell mal passieren kann) wird eine Antwort falsch bewertet, und er
bekommt 0 Punkte. In einem *vernünftigen* System hätte er vermutlich
4,5 (ggf. auch nur 4) von 5 Punkten bekommen.
In Schulnoten heißt das: Ein kleiner Rechenfehler macht aus einer Note,
die wenigstens im 2er Bereich liegt, eine 6.
Und jetzt sage mir mal jemand, dass das etwas sinnvolles ist...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Do 11.09.2014 | | Autor: | TorbM |
Die gesammte Aufgabe ist nur eine von 7 Aufgaben. (also nur eine Multiple-Choice)
Aber ja ich finde solche Aufgaben auch unschön. ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Do 11.09.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > Welche der folgenden Funktionen haben an der Stelle x0 = 0
> > > das Taylorpolynom 1. Ordnung T1(x) = 1 + x ? Kreuzen
> > Sie
> > > bitte ja oder nein an.
> > >
> > > 1) f(x) = [mm]e^x[/mm]
> > > 2) f(x) = [mm]e^x[/mm] * sin x
> > > 3) f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] + x
> > > 4) f(x) = 1 + sin x
> > > 5) f(x) = [mm]e^x[/mm] * cos x
> > > Mathe Klausur erste mal eine Aufgabe zum Ankreuzen.
> > Habe
> > > die Lösung (also ob "ja" oder "nein") aber nicht
> > wirklich
> > > eine Ahnung wie man drauf kommt. Hab mal rumprobiert
> und
> > es
> > > scheint zu funktionieren. Nur bei Nummer 5) klappt
> es
> > > nicht. Meine Versuche:
> > >
> > > Taylorpolynom 1. Ordnung
> > >
> > > f(x) = f(x0) + [mm]\bruch{f'(x0)}{1!}(x[/mm] - x0)
> > >
> > > 1)
> > > f(x) = [mm]e^x[/mm]
> > > f'(x) = [mm]e^x[/mm]
> > > f(x0=0) = [mm]e^0[/mm] = 1
> > > f'(x0=0) = [mm]e^0[/mm] = 1
> > >
> > > Taylor:
> > > f(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > > f(x) = 1 + x Antwort "Ja" stimmt mit Lösung
> > > überein
> > >
> > >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > > 2)
> > > f(x) = [mm]e^x[/mm] * sin x
> > > f'(x) = [mm]e^x[/mm] * sin x + [mm]e^x[/mm] * cos x
> > > f(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * sin 0 = 0
> > > f'(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * sin 0 [mm]+e^0[/mm] * cos 0 = 1 * 0 + 1 * 1 =
> 1
> > >
> > > Taylor:
> > > f(x) = 0 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > > f(x) = 0 + x Antwort "NEIN" stimmt mit Lösung
> > > überein
> > >
> > >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > > 3)
> > > f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] + x
> > > f'(x) = [mm]\bruch{1}{4}x[/mm] + 1
> > > f(x0=0) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]0^2[/mm] + 0 = 0
> > > f'(x0=0) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * 0 + 1 = 1
> > >
> > > Taylor:
> > > f(x) = 0 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > > f(x) = 0 + x Antwort "NEIN" stimmt mit Lösung
> > > überein
> > >
> > >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > > 4)
> > > f(x) = 1 + sin x
> > > f'(x) = cos x
> > > f(x0=0) = 1 + 0 = 1
> > > f'(x0=0) = cos 0 = 1
> > >
> > > Taylor:
> > > f(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{1}(x[/mm] - 0)
> > > f(x) = 1 + x Antwort "JA" stimmt mit Lösung
> > > überein
> > >
> > >
> >
> ---------------------------------------------------------------------------------------
> > > 5)
> > > f(x) = [mm]e^x[/mm] * cos x
> > > f'(x) = [mm]e^x[/mm] * cos x - [mm]e^x[/mm] * sin x
> > > f(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * cos 0 = 1 * 1 = 1
> > > f'(x0=0) = [mm]e^0[/mm] * cos 0 - [mm]e^0[/mm] * sin 0
> > >
> > > Taylor:
> > > f(x) = 1 + [mm]\bruch{\red{1 * 1 - 1 * 0}}{1}(x[/mm] - 0)
> > > f(x) = 1 + [mm]\bruch{\red{0}}{1}(x[/mm] - 0)
> >
> > Wieso ist denn bei dir [mm]\red{1\cdot{}1-1\cdot{}0=0}[/mm] ?
> >
> > Das ist doch [mm]\red{1-0= 1}[/mm] ...
> >
> > > f(x) = 1 + 0 meine Antwort "NEIN" ist falsch,
> > > richtig wäre "JA"
> > >
> > > Habe jetzt 4 mal nachgerechnet, übersehe ich hier
> > einen
> > > Fehler ?
> >
> > Ja
> >
> > > Rechne ich die Aufgaben überhaupt richtig ?
> > > Ist mein Taylorpolynom 1. Ordnung korrekt ?
> >
> > Ja, alles gut. Aber aufwendiger als nötig ...
>
> aber ein wunderschönes Beispiel, an dem man sieht, wie
> sinnlos solche
> Multiple-Choice Klausuren in der Mathematik sind.
>
> Bis auf einen Rechenfehler (der in der Klausur durch
> Unkonzentriertheit
> schnell mal passieren kann) wird eine Antwort falsch
> bewertet, und er
> bekommt 0 Punkte. In einem *vernünftigen* System hätte
> er vermutlich
> 4,5 (ggf. auch nur 4) von 5 Punkten bekommen.
>
> In Schulnoten heißt das: Ein kleiner Rechenfehler macht
> aus einer Note,
> die wenigstens im 2er Bereich liegt, eine 6.
Allerdings werden solche Rechenfehler nur bestraft, wenn man die (sinnlos aufwändigen) Rechnungen stur durchführt.
Strafe muss sein.
Es würde völlig ausreichen, bei [mm] $e^x*sin(x)$ [/mm] die (hoffentlich bekannten) Reihenentwicklungen (1+x+...) und $(x - [mm] \frac{x^3}{6}+...)$ [/mm] der beiden Faktoren bis zum 1. Grad auszumultiplizieren.
Dabei bleibt lediglich (1+x)*x übrig, alle anderen Produkte bilden höhere Potenzen.
Gruß Abakus
>
> Und jetzt sage mir mal jemand, dass das etwas sinnvolles
> ist...
>
> Gruß,
> Marcel
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