Taylorpolynom (Ordnung 3) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 14.06.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | Für $ x,y,z [mm] \in \IR [/mm] $ mit $ x>y, z>0$ sei
$ f(x,y,z) = log (x-y)/z $.
Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 im Punkt (2,1,1) |
Hallo!
Leider habe ich nicht so recht den Plan, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Ich denke, ich habe es im eindimensionalen verstanden und weiß insofern schon, was ich hier berechnen soll.
Allerdings hängt es quasi am WIE ich es machen soll.
Ich habe die Wikipedia-Seite diesbzgl. gelesen, aber ich komme mit dieser Formel absolut nicht weiter - Hauptproblem ist wohl schon, dass ich nicht wirklich verstehe, die die Formel aufgebaut ist.
Ich hoffe, das klappt mit dem Link, also es geht um die Formel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sollte es andere Herangehensweisen geben, bin ich auch da natürlich völlig offen.
Danke!
Ciao, fkerber
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Sa 14.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Irgendwie ging die Darstellung der Aufgabenstellung schief, sry.
Es sollte [mm] log ((x-y)/z) [/mm] sein - also der Log von (x-y) / z
Sry nochmals
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Hallo fkerber,
> Für [mm]x,y,z \in \IR[/mm] mit [mm]x>y, z>0[/mm] sei
> [mm]f(x,y,z) = log (x-y)/z [/mm].
>
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3 im Punkt
> (2,1,1)
> Hallo!
>
> Leider habe ich nicht so recht den Plan, wie ich an diese
> Aufgabe herangehen soll. Ich denke, ich habe es im
> eindimensionalen verstanden und weiß insofern schon, was
> ich hier berechnen soll.
>
> Allerdings hängt es quasi am WIE ich es machen soll.
> Ich habe die Wikipedia-Seite diesbzgl. gelesen, aber ich
> komme mit dieser Formel absolut nicht weiter - Hauptproblem
> ist wohl schon, dass ich nicht wirklich verstehe, die die
> Formel aufgebaut ist.
>
> Ich hoffe, das klappt mit dem Link, also es geht um die
> Formel:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die Formel verwendet hier Multiindices.
Die Formel kannst Du auch anders schreiben:
[mm]T_{k}\left(x,y,z\right)=\summe_{\alpha=0, \ \beta=0, \ \gamma=0}^{\alpha+\beta+\gamma=k}\bruch{1}{\alpha!*\beta!*\gamma!}\left\bruch{\partial^{\alpha+\beta+\gamma} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{\alpha} \partial y^{\beta} \partial z^{\gamma}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \left(x-x_{0}\right)^{\alpha}\left(y-y_{0}\right)^{\beta}\left(z-z_{0}\right)^{\gamma}[/mm]
,wobei [mm]\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)[/mm] hier der Entwicklungspunkt ist.
>
> Sollte es andere Herangehensweisen geben, bin ich auch da
> natürlich völlig offen.
>
> Danke!
> Ciao, fkerber
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 14.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi!
Ah, das ist schonmal eine deutliche Verständnis-Erleichterung - vielen Dank.
Also für k = 3 habe ich demnach 20 verschiedene Summanden?
Leider weiß ich hiermit immer noch nichts anzufangen...
$ \left\bruch{\partial^{\alpha+\beta+\gamma} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{\alpha} \partial y^{\beta} \partial z^{\gamma}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} $
Was sagt mir das mit diesem senkrechten Strich und dem Entwicklungspunkt da dran? Heißt das, dass ich den Entwicklungspunkt einsetzen muss in diese partielle Ableitung?
Nur nochmal zur Sicherheit, also für \alpha = 1, \beta = 0, \gamma = 2 hätte ich z.B.
1/2*\bruch{\partial^{3} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{1} \partial z^{2}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \left(x-x_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{2}
Stimmt das so?
Und
\bruch{\partial^{3} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{1} \partial z^{2}}\
ist dann ja die partielle Ableitung nach x der partiellen Ableitung nach y der partiellen Ableitung nach y, oder?
Da ist dann aber für alle Summanden extrem viel Rechenarbeit oder verstehe ich da jetzt etwas gänzlich falsch?
Ciao, fkerber
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Hallo fkerber,
> Hi!
>
> Ah, das ist schonmal eine deutliche
> Verständnis-Erleichterung - vielen Dank.
>
> Also für k = 3 habe ich demnach 20 verschiedene Summanden?
Ja.
>
>
> Leider weiß ich hiermit immer noch nichts anzufangen...
>
> [mm]\left\bruch{\partial^{\alpha+\beta+\gamma} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{\alpha} \partial y^{\beta} \partial z^{\gamma}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} [/mm]
>
>
> Was sagt mir das mit diesem senkrechten Strich und dem
> Entwicklungspunkt da dran? Heißt das, dass ich den
> Entwicklungspunkt einsetzen muss in diese partielle
> Ableitung?
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nur nochmal zur Sicherheit, also für [mm]\alpha[/mm] = 1, [mm]\beta[/mm] = 0,
> [mm]\gamma[/mm] = 2 hätte ich z.B.
>
> [mm]1/2*\bruch{\partial^{3} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{1} \partial z^{2}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \left(x-x_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{2}[/mm]
Ja .
>
> Stimmt das so?
>
> Und
> [mm]\bruch{\partial^{3} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{1} \partial z^{2}}\[/mm]
>
> ist dann ja die partielle Ableitung nach x der partiellen
> Ableitung nach y der partiellen Ableitung nach y, oder?
>
f wird hier einmal nach x und zweimal nach z abgeleitet.
> Da ist dann aber für alle Summanden extrem viel
> Rechenarbeit oder verstehe ich da jetzt etwas gänzlich
> falsch?
Na ja, da mußt Du durch.
Im Laufe der Rechnung wird es sicherlich die eine oder andere Erkenntnis geben, die Dir die Rechenarbeit etwas erleichtert.
>
> Ciao, fkerber
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 15.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
Ich denke, ich habe es jetzt hinbekommen.
Ich habe folgendes raus:
$ [mm] (x-2)-(y-1)-(z-1)+(x-2)*(y-1)-1/2*(x-2)^2-(x-2)^2*(y-1)-1/2*(y-1)^2 [/mm] $
[mm] $+(x-2)^2*(y-1)^2+1/2*(z-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/3*(y-1)^3-1/3*(z-1)^3) [/mm] $
Anders geschrieben ist das:
$ [mm] 1/3*x^3-5*x-15*y-3*z+1/2*x^2+3/2*z^2+13*x*y-3*x^2*y+9/2*y^2 [/mm] $
$ [mm] +x^2*y^2-4*x*y^2-1/3*z^3-1/3*y^3+25/3 [/mm] $
Ich vermute, das ist jetzt nicht so einfach zu überprüfen, falls doch, würde ich mich über eine Bestätigung sehr freuen!
Ciao, fkerber
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Hallo fkerber,
> Hi!
>
> Nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
> Ich denke, ich habe es jetzt hinbekommen.
>
> Ich habe folgendes raus:
>
> [mm](x-2)-(y-1)-(z-1)+(x-2)*(y-1)-1/2*(x-2)^2-(x-2)^2*(y-1)-1/2*(y-1)^2[/mm]
>
> [mm]+(x-2)^2*(y-1)^2+1/2*(z-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/3*(y-1)^3-1/3*(z-1)^3)[/mm]
Die Koeffizienten vor [mm]\left(z-1\right), \ \left(z-1\right)^{2}, \ \left(z-1\right)^{3}[/mm] stimmen nicht.
Was ist mit den Koeffizienten vor [mm]\left(x-2\right)*\left(z-1\right), \ \left(y-1\right)*\left(z-1\right), \left(x-2\right)^{2}*\left(z-1\right), \left(y-1\right)^{2}*\left(z-1\right), \left(x-2\right)*\left(z-1\right)^{2}, \left(y-1\right)*\left(z-1\right)^{2}[/mm] ?
Und den Ausdruck [mm]\left(x-2\right)^{2}*\left(y-1\right)^{2}[/mm] gibt es beim Taylorpolynom der Ordnung 3 nicht.
>
> Anders geschrieben ist das:
>
> [mm]1/3*x^3-5*x-15*y-3*z+1/2*x^2+3/2*z^2+13*x*y-3*x^2*y+9/2*y^2[/mm]
> [mm]+x^2*y^2-4*x*y^2-1/3*z^3-1/3*y^3+25/3[/mm]
>
> Ich vermute, das ist jetzt nicht so einfach zu überprüfen,
> falls doch, würde ich mich über eine Bestätigung sehr
> freuen!
>
> Ciao, fkerber
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 15.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Das verstehe ich jetzt nicht...
Also die Koeffizienten, die nicht da stehen, waren 1.
Es ist ja so, dass ich für [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] quasi diese 20 Möglichkeiten habe
0,0,0 0,0,2 0,0,3
0,0,1 0,2,0 0,3,0
0,1,0 2,0,0 3,0,0
0,1,1 2,0,1 0,2,1
1,0,0 2,1,0
1,0,1 1,2,0
1,1,0 1,0,2
1,1,1 0,1,2
Der Bruch mit den Fakultäten ist demnach doch 8*1, und in den anderen Fällen entweder 2 oder 6
$ [mm] \left(x-2\right)^{2}\cdot{}\left(y-1\right)^{2} [/mm] $
Das war ein Tippfehler, sry - gemeint war
$ [mm] \left(x-2\right)\cdot{}\left(y-1\right)^{2} [/mm] $
Bei dem 1/2 [mm] (z-1)^2 [/mm] hatte ich den Fall [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = 0, [mm] \gamma [/mm] = 2
Demnach wäre der Bruch mit den Fakultäten doch 1/2! = 1/2 oder?
Ciao, fkerber
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Hallo fkerber,
> Hi!
>
> Das verstehe ich jetzt nicht...
>
> Also die Koeffizienten, die nicht da stehen, waren 1.
Dann schreibe sie auch hin.
> Es ist ja so, dass ich für [mm]\alpha, \beta, \gamma[/mm] quasi
> diese 20 Möglichkeiten habe
>
> 0,0,0 0,0,2 0,0,3
> 0,0,1 0,2,0 0,3,0
> 0,1,0 2,0,0 3,0,0
> 0,1,1 2,0,1 0,2,1
> 1,0,0 2,1,0
> 1,0,1 1,2,0
> 1,1,0 1,0,2
> 1,1,1 0,1,2
>
> Der Bruch mit den Fakultäten ist demnach doch 8*1, und in
> den anderen Fällen entweder 2 oder 6
>
Ja.
>
> [mm]\left(x-2\right)^{2}\cdot{}\left(y-1\right)^{2}[/mm]
> Das war ein Tippfehler, sry - gemeint war
> [mm]\left(x-2\right)\cdot{}\left(y-1\right)^{2}[/mm]
>
>
> Bei dem 1/2 [mm](z-1)^2[/mm] hatte ich den Fall [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = 0,
> [mm]\gamma[/mm] = 2
> Demnach wäre der Bruch mit den Fakultäten doch 1/2! = 1/2
> oder?
>
Es geht um den Wert der entsprechenden partiellen Ableitung am Entwicklungspunkt.
>
> Ciao, fkerber
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 15.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Ok, ich dachte Multiplikationen mit 1 könnte ich "weglassen"...
Zu den partiellen Ableitungen:
Ich habe als partielle Ableitungen immer sowas in der Art
1/(x-y)
1/z
[mm] 2/(x-y)^3
[/mm]
[mm] 1/z^2
[/mm]
[mm] 2/z^3
[/mm]
(mit wechselnden Vorzeichen)
Bei dem Teil mit [mm] (z-1)^2 [/mm] sieht der ganze Summand so aus
[mm] \bruch{1}{2!} \cdot \bruch{\partial^2f(x,y,z)}{(\partial^2*z)} *(z-z_o)^2
[/mm]
Für [mm] \bruch{\partial^2f(x,y,z)}{(\partial^2*z)} [/mm] habe ich [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] raus - setze ich hier [mm] z_0 [/mm] ein (was ja 1 ist), dann erhalte ich insgesamt
[mm] \bruch{1}{2!} \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot (z-1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot (z-1)^2
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo fkerber,
> Hi!
>
> Ok, ich dachte Multiplikationen mit 1 könnte ich
> "weglassen"...
>
> Zu den partiellen Ableitungen:
> Ich habe als partielle Ableitungen immer sowas in der Art
> 1/(x-y)
> 1/z
> [mm]2/(x-y)^3[/mm]
> [mm]1/z^2[/mm]
> [mm]2/z^3[/mm]
> (mit wechselnden Vorzeichen)
>
> Bei dem Teil mit [mm](z-1)^2[/mm] sieht der ganze Summand so aus
>
> [mm]\bruch{1}{2!} \cdot \bruch{\partial^2f(x,y,z)}{(\partial^2*z)} *(z-z_o)^2[/mm]
>
> Für [mm]\bruch{\partial^2f(x,y,z)}{(\partial^2*z)}[/mm] habe ich
> [mm]\bruch{1}{z^2}[/mm] raus - setze ich hier [mm]z_0[/mm] ein (was ja 1
> ist), dann erhalte ich insgesamt
>
> [mm]\bruch{1}{2!} \cdot[/mm] 1 [mm]\cdot (z-1)^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \cdot (z-1)^2[/mm]
>
>
> Wo liegt mein Fehler?
Hier muss die ganze Funktion betrachtet werden:
[mm]f\left(x,y,z\right)=\bruch{\log\left(x-y\right)}{z}[/mm]
Dann den ganzen Ausdruck nach z ableiten.
Dasselbe gilt für die anderen partiellen Ableitungen.
Leitet man also nach z ab, so sind x und y als konstant anzusehen.
[mm]\log\left(x-y\right)[/mm] wird hier nur mitgeschleppt, und [mm]\bruch{1}{z}[/mm] abgeleitet.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 15.06.2008 | | Autor: | fkerber |
Ah, vllt. liegt hier ein Missverständnis vor
Die Funktion ist
$ log [mm] \bruch{x-y}{z} [/mm] $
Ich hatte das in der Mitteilung oben korrigiert.
Das ist ja dann was anderes...
Stimmt es dann vllt?
Ciao, fkerber
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Hallo fkerber,
> Ah, vllt. liegt hier ein Missverständnis vor
>
> Die Funktion ist
>
> [mm]log \bruch{x-y}{z}[/mm]
>
> Ich hatte das in der Mitteilung oben korrigiert.
Das muss ich übersehen haben.
>
> Das ist ja dann was anderes...
> Stimmt es dann vllt?
Dann sind sämtliche partiellen Ableitungen nach z am Entwicklungspunkt [mm] \not= 0[/mm]
>
>
> Ciao, fkerber
>
>
Gruß
MathePower
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