Taylorpolynom T3 berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich brauche mal bitte etwas Hilfe bei der Berechnung des Taylorpolynoms.
Am besten wäre es, wenn mir jemand mal Schritt für Schritt erklären könnte was ich hier überhaupt machen muss.Habe absolut keine Ahnung,danke.
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] x^2*e^-x
[/mm]
a)Bestimmen sie das Taylorpolynom T3(f,x0,x) um x0=0
b)Bestimme den Intervall in dem f konvex oder konkav ist.
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Hallo scientyst,
> Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]x^2*e^-x[/mm]
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> a)Bestimmen sie das Taylorpolynom T3(f,x0,x) um x0=0
>
Das allgemeine Taylorpolynom 3. Grades lautet:
[mm]
T_3 (x)\; = \;\sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{{f^k (x_0 )}}
{{k!}}\;\left( {x\; - \;x_0 } \right)^k } [/mm]
Bestimme hier [mm]f(x_{0}),\;f'(x_{0}),\;f''(x_{0}),\;f'''(x_{0})[/mm]
Setze dies dann in obige Formel ein.
Gruß
MathePower
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Wie muss ich denn jetzt die 3 Ableitungen in die Formel einsetzen,habe absolut keine Ahnung.Ich kann mit der Formel irgendwie nicht viel anfangen.
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Hallo scientyst,
> Wie muss ich denn jetzt die 3 Ableitungen in die Formel
> einsetzen,habe absolut keine Ahnung.Ich kann mit der Formel
> irgendwie nicht viel anfangen.
die Werte dieser 3 Ableitungen und den Funktionswert an der Entwicklungsstelle [mm]x_{0}[/mm] berechnen und dann in die Formel einsetzen.
Gruß
MathePower
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Hallo,
hier ein Tipp zu Aufgabe b. Das Konvexitätskriterium sagt, dass eine in [a,b] stetige und (a,b) differenzierbare Funktion genau dann in [a,b] konvex ist, wenn die Ableitung f' in (a,b) monoton wächst.
Willst du also das Intervall bestimmen, dann schau dir erst mal an, wo f stetig oder differenzierbar ist und folgere dann etwas für das Wachstumsverhalten der Funktion...! Man kann auch noch andere nützliche Sätze für die Konvexität beweisen. Schau doch mal in deine Unterlagen! Der Unterschied zwischen konvex und konkav sollte dir auch klar sein!
Vg Daniel
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Kannst du mir mal bitte die Ableitungen in die Formel einsetzen,ich habe gerade ein Brett vorm Kopf und bekomme das irgendwie nicht hin.Danke
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Hallo!
Ich rechne dir mal das 2. Taylorpolynom an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] aus, vielleicht kommst du dann drauf:
[mm] $f(x)=x^2\cdot e^{-x}\quad\Rightarrow\quad f(x_0)=f(0)=0$
[/mm]
[mm] $f'(x)=2x*e^{-x}-x^2e^{-x}=(2x-x^2)e^{-x}\quad\Rightarrow\quad f'(x_0)=f'(0)=0$
[/mm]
[mm] $f''(x)=(2-2x)e^{-x}-(2x-x^2)e^{-x}=(2-4x+x^2)e^{-x}\quad\Rightarrow\quad f''(x_0)=f''(0)=2$
[/mm]
Also ist [mm] $T_2(f,x_0,x)=\summe_{k=0}^2 \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k=\bruch{0}{0!} x^0 [/mm] + [mm] \bruch [/mm] 0{1!} [mm] x+\bruch{2}{2!}x^2=x^2$...
[/mm]
Gruß, banachella
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