Taylorpolynom mit Potenzreihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 21.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | [mm] f(x)=(x-1)^2*(e^x-1)
[/mm]
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Stufe 3 zum Entwicklungspunkt [mm] x_0=0, [/mm] indem Sie bekannte Potenzreihen verwenden. |
Hallo,
kann ich bei dieser Aufgabe einfach auf zwei bekannte Potenzreihen zurückgreifen ?
Sprich:
[mm] (x-1)^2=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{2 \\ n}*(-x-0)^n [/mm] und
[mm] (e^x-1)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*(x-0)^n-1
[/mm]
Und diese dann beide miteinander multiplizieren ?
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Hallo bammbamm,
> [mm]f(x)=(x-1)^2*(e^x-1)[/mm]
> Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Stufe 3 zum
> Entwicklungspunkt [mm]x_0=0,[/mm] indem Sie bekannte Potenzreihen
> verwenden.
> Hallo,
>
> kann ich bei dieser Aufgabe einfach auf zwei bekannte
> Potenzreihen zurückgreifen ?
> Sprich:
> [mm](x-1)^2=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{2 \\ n}*(-x-0)^n[/mm] und
> [mm](e^x-1)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*(x-0)^n-1[/mm]
> Und diese dann beide miteinander multiplizieren ?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=(x-1)^2*(e^x-1)[/mm]
> Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Stufe 3 zum
> Entwicklungspunkt [mm]x_0=0,[/mm] indem Sie bekannte Potenzreihen
> verwenden.
> Hallo,
>
> kann ich bei dieser Aufgabe einfach auf zwei bekannte
> Potenzreihen zurückgreifen ?
> Sprich:
> [mm](x-1)^2=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{2 \\ n}*(-x-0)^n[/mm]
Das würde ich mal so schreiben: [mm] (x-1)^2=x^2-2x+1
[/mm]
> und
> [mm](e^x-1)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*(x-0)^n-1[/mm]
Also:
(*) [mm] e^x-1= \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n!}*x^n
[/mm]
Jetzt mult. (*) mit [mm] x^2, [/mm] dann mit -2x und dann mit 1 und addiere die 3 Reihen.
FRED
> Und diese dann beide miteinander multiplizieren ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Peao |
Hallo,
wäre es auch möglich [mm] (x-1)^{2} [/mm] als [mm] (1+(x-2))^{2} [/mm] zu schreiben und dann den binomischen Lehrsatz anzuwenden?
also: [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2\\ n} (x-2)^{k} [/mm] ?
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Hallo Peao,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> wäre es auch möglich [mm](x-1)^{2}[/mm] als [mm](1+(x-2))^{2}[/mm] zu
> schreiben und dann den binomischen Lehrsatz anzuwenden?
>
> also: [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2\\ n} (x-2)^{k}[/mm] ?
Natürlich ist das möglich.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wäre es auch möglich [mm](x-1)^{2}[/mm] als [mm](1+(x-2))^{2}[/mm] zu
> schreiben und dann den binomischen Lehrsatz anzuwenden?
Na klar, Du kannst auch einen Kopfstand machen und mit den Zehen wackeln, nur wozu ? Entwickeln sollst Du um [mm] x_0=0.
[/mm]
FRED
>
> also: [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2\\ n} (x-2)^{k}[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Di 22.05.2012 | | Autor: | Peao |
Naja, das finde ich zumindest mal faszinierend.
Ich forme etwas um, benutze den gleichen Satz und bekomme etwas anderes (?)
Ich dachte, die Reihe ergibt genau meine Ursprungsfunktion.
Oder liege ich falsch, und die Reihen entwickelt um [mm] x_{0}=0 [/mm] und [mm] x_{0}=2 [/mm] unterscheiden sich nicht im Ergebnis?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Naja, das finde ich zumindest mal faszinierend.
>
> Ich forme etwas um, benutze den gleichen Satz und bekomme
> etwas anderes (?)
> Ich dachte, die Reihe ergibt genau meine
> Ursprungsfunktion.
> Oder liege ich falsch, und die Reihen entwickelt um [mm]x_{0}=0[/mm]
> und [mm]x_{0}=2[/mm] unterscheiden sich nicht im Ergebnis?
Die Funktion $ [mm] f(x)=(x-1)^2\cdot{}(e^x-1) [/mm] $ kannst Du um [mm] x_0=0 [/mm] entwickeln, dann bekommst Du:
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}a_i*x^i.
[/mm]
Du kannst auch um [mm] x_0=2 [/mm] entwickeln. Dann bekommst Du:
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}b_i*(x-2)^i.
[/mm]
Natürlich gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_i*x^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}b_i*(x-2)^i [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
> Gruß
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Di 22.05.2012 | | Autor: | Peao |
Vielen Dank!
Das war mir noch nicht klar. Wobei bei der Reihe ja kein Fehler mehr gemacht wird, also die Entwicklungspunkte keine Rolle mehr spielen dürfen.Hätte ich mir also denken können...
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