Taylorpolynom n-ten Grades < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Frozone |
| Aufgabe | Es seien n [mm] \varepsilon \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] a_{0}, [/mm] ..., [mm] a_{n} \varepsilon \IR, [/mm] P: [mm] \IR \to \IR [/mm] erklärt durch (x [mm] \mapsto \summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}).
[/mm]
Zeige: Für h [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt:
P(x+h) = [mm] \summe_{l=0}^{n} b_{l}(x) h^{l} [/mm] mit [mm] b_{l} [/mm] = [mm] \summe_{k=l}^{n} a_{k} \vektor{k \\ l} x^{k-l} [/mm] = [mm] \bruch{P^{(l)}(x)}{l!}
[/mm]
speziell gilt [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{P^{(k)}(0)}{k!} [/mm] und P(x) stimmt mit seinem Taylorpolynom n-ten Grades am Nullpunkt überein. |
Hallo Leute,
ich saß heute schon den gazen Tag verzweifelt an dieser Aufgabe und komme immer nur bis zur selben Stelle. Wenn ich x ersetzte durch (x+h) dann kann ich da den binomischen Lehrsatz anwenden und erhalte für P(x+h) immer
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} \summe_{l=0}^{k} \vektor{k \\ l} x^{k-l} h^{l}
[/mm]
Nun kann ich ja das [mm] a_{k} [/mm] noch in die 2. Summe reinziehen, aber dann habe ich noch nicht die gleichen Indizes wie das, was ich zeigen soll.
Das Problem ist, dass ich das bis morgen abgeben muss. Aber falls es nicht klappt, würde ich es gerne aus Interesse wissen, wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Besten Dank schonmal im Voraus!
Gruß
Frozone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Frozone!
Wenn du die beiden Summenzeichen vertauschst, erhältst du das gewünschte Ergebnis sofort.
Beachte hierbei
[mm] $\{(l,k)\in \{0,\ldots,n\} \times \{0,\ldots,n\} : k \ge l\} [/mm] = [mm] \{(l,k)\in \{0,\ldots,n\} \times \{0,\ldots,n\} : l \le k\}$.
[/mm]
Eine Banalität, gewiss, aber nichts anderes wird gemacht bei
[mm] $\sum\limits_{l=0}^n \sum\limits_{k=l}^n \ldots [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{l=0}^k \ldots$ [/mm] .
Liebe Grüße
Julius
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