Taylorpolynom und Restglied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Di 10.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | gegeben ist die Funktion f(x)=sin x ; [mm] x_{0}=0 [/mm] ; [mm] x\in[-\bruch{1}{4}\pi ;\bruch{1}{4}\pi]
[/mm]
Bestimme das Taylorpolynom 4-ter Ordnung und schätze das Restglied nach Lagrange ab. |
Hallo Leute, ich hätte kurz eine Nachfrage zum Restglied nach Lagrange.
Die Formel lautet: [mm] R_{n}=\bruch{1}{(1+n)!}*f^{n+1} (\mu)*( [/mm] x [mm] -x_{0})^{n+1} [/mm] mit [mm] x_{0}\le\mu\le [/mm] x
Das Restglied muss maximal werden. Das heißt ich muss einmal einen Wert für [mm] \mu [/mm] einsetzen, aus dem Intervall [mm] [0;0,25\pi] [/mm] und einen Wert für das x aus dem Intervall [mm] [-\bruch{1}{4}\pi ;\bruch{1}{4}\pi]. [/mm] Gilt die Bedingung [mm] x_{0}\le\mu\le [/mm] x immer? Wenn ja, dann kann man also sagen, dass man für das [mm] \mu [/mm] nie die untere Grenze des Intervalls einsetzen darf. Stimmt diese Aussage?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Di 10.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> gegeben ist die Funktion f(x)=sin x ; [mm]x_{0}=0[/mm] ;
> [mm]x\in[-\bruch{1}{4}\pi ;\bruch{1}{4}\pi][/mm]
>
> Bestimme das Taylorpolynom 4-ter Ordnung und schätze das
> Restglied nach Lagrange ab.
> Hallo Leute, ich hätte kurz eine Nachfrage zum Restglied
> nach Lagrange.
> Die Formel lautet: [mm]R_{n}=\bruch{1}{(1+n)!}*f^{n+1} (\mu)*([/mm]
> x [mm]-x_{0})^{n+1}[/mm] mit [mm]x_{0}\le\mu\le[/mm] x
>
> Das Restglied muss maximal werden.
Jo, quasi das worst-case-Szenario...
> Das heißt ich muss
> einmal einen Wert für [mm]\mu[/mm] einsetzen, aus dem Intervall
> [mm][0;0,25\pi][/mm] und einen Wert für das x aus dem Intervall
> [mm][-\bruch{1}{4}\pi ;\bruch{1}{4}\pi].[/mm] Gilt die Bedingung
> [mm]x_{0}\le\mu\le[/mm] x immer?
Nein die korrekte Bedingung lautet [mm] $\mu=x_0+\Theta(x-x_0)$, [/mm] wobei [mm] $\Theta\in[0,1]$.
[/mm]
Es ist dasselbe was du geschrieben hast solange [mm] $x\ge x_0$ [/mm] ist, ansonsten musst du die Relationszeichen umkehren. Eigentlich ist das ganz einfach, das [mm] $\mu$ [/mm] liegt einfach zwischen x und [mm] x_0...
[/mm]
> Wenn ja, dann kann man also sagen,
> dass man für das [mm]\mu[/mm] nie die untere Grenze des Intervalls
> einsetzen darf. Stimmt diese Aussage?
Bin mir nicht ganz sicher was du damit meinst. Das [mm] $\mu$ [/mm] liegt wirklich irgendwo zwischen $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] (inklusive), eine genauere Aussage ist i.A. nicht möglich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Di 10.06.2008 | | Autor: | Owen |
ja alles klar, danke.
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