Taylorpolynome < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Mal ne Frage zur Sicherheit, damit ich schaun kann, ob ich das verstanden hab.
Also. Ich soll das Taylorpolynom dritten Grades um [mm] x_{0} [/mm] von [mm] f(x)=\wurzel{1-x} [/mm] bestimmen.
Hab da raus:
[mm] T_{3}(x,0) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{16}x^{3}
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo,
> Hallo. Mal ne Frage zur Sicherheit, damit ich schaun kann,
> ob ich das verstanden hab.
>
> Also. Ich soll das Taylorpolynom dritten Grades um [mm]x_{0}[/mm]
> von [mm]f(x)=\wurzel{1-x}[/mm] bestimmen.
>
> Hab da raus:
>
> [mm]T_{3}(x,0)[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{16}x^{3}[/mm]
Mein elektronischer Rechenknecht sagt was anderes, es fehlen Terme mit Potenzen [mm]x^1[/mm] und [mm]x^2[/mm], die Koeffizienten sind nicht 0 laut MAPLE.
Rechne mal vor ...
>
> Stimmt das?
Höchstwahrscheinlich nicht 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Gut. Ich bin mir aber auch garnicht sicher ob ich das Prinzip richtig verstanden habe. xD
Also, Ziel war es ja, das Taylorpolynom dritten Grades zu berechnen um
[mm] x_{0} [/mm] = 0 Die Funktion war [mm] f(x)=\wurzel{1-x}
[/mm]
Also:
Ich bestimme zunächst die Ableitungen f'(x),f''(x)l, f'''(x)
f'(x) = -0,5 [mm] (1-x)^{-0,5}
[/mm]
f''(x) = [mm] -0,25(1-x)^{-1,5}
[/mm]
f'''(x) = [mm] -\bruch{3}{8}(1-x)^{-2,5}
[/mm]
Ich hoffe, dass die stimmen xD
Weiter gehts. Erstmal das Polynom ersten Grades:
[mm] T_{1}(x, [/mm] 0) = f(0) + [mm] \bruch{f'(0)}{1!}(x-0)
[/mm]
= 1 -0,5x
Dann das zweite:
[mm] T_{2}(x, [/mm] 0) = [mm] T_{1}(x,0) [/mm] + [mm] \bruch{-0,25(1-x)^{-1,5}}{2!}(x-0)^{2}
[/mm]
= 1 - [mm] 0,125x^{2}
[/mm]
Nun das dritte:
[mm] T_{3}(x,0) [/mm] = [mm] T_{2}(x,0) [/mm] + [mm] \bruch{-3,75(1-x)^{-2,5}}{3!}(x-0)^{3}
[/mm]
= 1 - /bruch{1}{16} [mm] x^{3}
[/mm]
Naja das war mein Ergebnis. Ist das denn komplett falsch? xD Danke schonmal.
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Hallo nochmal,
du hast im Prinzip alle Teile, die du benötigst, richtig berechnet, nur falsch zusammengestellt.
Das Taylorpolynom von [mm]f(x)=\sqrt{1-x}[/mm] in [mm]x_0=0[/mm] bis Ordnung 3 ist
[mm]T_3(x,0)=\sum\limits_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k \ = \ f(0)+f'(0)\cdot{}x+\frac{f''(0)}{2}\cdot{}x^2+\frac{f'''(0)}{6}\cdot{}x^3[/mm]
Also ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Wäre das dann hier richtig:
1 - 0,5x - 0,125 [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} x^{3} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Wäre das dann hier richtig:
>
> 1 - 0,5x - 0,125 [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{16} x^{3}[/mm] ? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo!
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Nur mal als ein weiteres Beispiel, um ganz sicher zu gehn, dass ich das richtig mache.
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x}}
[/mm]
Taylorpolynom:
1 - 0,5x + 0,75 [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{15}{8} x^{3} [/mm]
Stimmt das? xD
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Hallo SolRakt,
> Nur mal als ein weiteres Beispiel, um ganz sicher zu gehn,
> dass ich das richtig mache.
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x}}[/mm]
>
> Taylorpolynom:
>
> 1 - 0,5x + 0,75 [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{15}{8} x^{3}[/mm]
>
> Stimmt das? xD
Hier hast Du je einen Faktor 0,5 bei den Koeffizienten
vor [mm]x^{2}[/mm] und [mm]x^{3}[/mm] vergessen:
[mm]1 - 0,5x + \blue{0.5}*0,75 x^{2} - \blue{0,5}*\bruch{15}{8} x^{3}[/mm]
[mm]\gdw 1 - \bruch{1}{2}x + \bruch{3}{8} x^{2} -\bruch{15}{16} x^{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so verstehe. Danke. Hab noch ne Frage. Was bringt mir dieses Verfahren eigentlich? Also, klar, man weiß, wies geht, aber der Sinn wird mir da nicht klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
An Mathepower. Muss der letzte Faktor statt 0,5 nicht 1/6 sein? wegen 3!
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Hallo SolRakt,
> An Mathepower. Muss der letzte Faktor statt 0,5 nicht 1/6
> sein? wegen 3!
Der letzte Faktor [mm]-\bruch{5}{16}[/mm] stimmt schon.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Dann versteh ich aber nicht, wie du darauf kommst. Hmm..
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Hallo SolRakt,
> Dann versteh ich aber nicht, wie du darauf kommst. Hmm..
Nun, die 3. Ableitung lautet: [mm]f'''\left(x\right)=-\bruch{15}{8}*\bruch{1}{\left(1+x\right)^{3/2}}[/mm].
Somit ist [mm]f'''\left(0\right)=-\bruch{15}{8}*\bruch{1}{\left(1+0\right)^{3/2}}=-\bruch{15}{8}[/mm].
Daher ist der Koeffizient vor [mm]x^{3}[/mm] im Taylorpolynom
[mm]\bruch{f'''\left(0\right)}{3!}=-\bruch{15}{8}*\bruch{1}{3!}=-\bruch{15}{8}*\bruch{1}{6}=-\bruch{5}{8}*\bruch{1}{2}=-\bruch{15}{8}*\bruch{1}{6}=-\bruch{5}{16}[/mm]
Ich seh grad, ich hab mich in einem der vorherigen Posts verschrieben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab noch eine Aufgabe, die mir Kopfschmerzen bereitet:
Hab auch nen Lösungsansatz, aber krieg den nicht ganz zu Ende.
Also, man habe eine Funktion f(x) = [mm] e^{-1/x^{2}} [/mm] gegeben.
Man soll zunächst die allgemeine Form für [mm] f^{n}(x) [/mm] angeben und dann die Taylorreihe von f um [mm] x_{0}bestimmen.
[/mm]
Hier mein Ansatz:
Hab einfach mal ein paar Ableitungen gebildet und gesehn, dass immer [mm] 2x^{3} [/mm] dazukommt. Also hab ich als allgemeine Ableitung:
[mm] f^{n}(x) [/mm] = n [mm] \* 2x^{3} e^{-1/x^{2}}
[/mm]
Geht das so?
Mit dem Taylorpolynom hab ich Problem. Ich weiß ja garnicht, wann das enden soll. Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei x gegen 0 sind alle Ableitungen der fkt 0, aber deine ableitung ist sehr falsch! schreib mal die ersten 3 auf, mit Rechenweg. _
du schreibst immer [mm] x_0 [/mm] du meinst aber das TP bei [mm] x_0=0. [/mm] man kann auch um andere pkte [mm] x_0\ne [/mm] 0 entwickeln!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok.
Also. Nochmal zur Übersicht. Die Funktion war f(x) = [mm] e^{-1/x^{2}}
[/mm]
Hab das was umgeschrieben in [mm] e^{-x^{-2}} [/mm] Ist für mich leichter denk ich.
Dann ist meiner Meinung nach xD
f'(x) = 2x [mm] e^{...} [/mm] // e bleibt unverändert, äußere Ableitung
f''(x) = 2x [mm] \* [/mm] 2x [mm] \* [/mm] e...
Ich seh grad, hab mich eben blöd verrechnet. Stimmt das jetzt?
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Hallo SolRakt,
> Ok.
>
> Also. Nochmal zur Übersicht. Die Funktion war f(x) =
> [mm]e^{-1/x^{2}}[/mm]
>
> Hab das was umgeschrieben in [mm]e^{-x^{-2}}[/mm] Ist für mich
> leichter denk ich.
>
> Dann ist meiner Meinung nach xD
>
> f'(x) = 2x [mm]e^{...}[/mm] // e bleibt unverändert, äußere
> Ableitung
Die innere Ableitung ist nicht komplett, also die Ableitung von [mm]-x^{-2}[/mm].
>
> f''(x) = 2x [mm]\*[/mm] 2x [mm]\*[/mm] e...
>
> Ich seh grad, hab mich eben blöd verrechnet. Stimmt das
> jetzt?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ist dann [mm] 2x^{-3} [/mm] oder? also die innere Ableitung?
Wie macht man da jetzt dieses Taylorpolynom. Die Grenzen sind doch unbekannt?
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Hallo SolRakt,
> Ist dann [mm]2x^{-3}[/mm] oder? also die innere Ableitung?
Stimmt.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie macht man da jetzt dieses Taylorpolynom. Die Grenzen
> sind doch unbekannt?
Nun, Du mußt hier um eine Punkt [mm]x_{0}\not=0[/mm] entwickeln.
Dann ist [mm]T_{n}\left(x,x_{0}\right)=\summe_{k=0}^{n}{\bruch{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}
*\left(x-x_{0}\right)^{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Muss man da beim Taylorpolynom nichts mehr schreiben. Reicht das so?
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Hallo SolRakt,
> Muss man da beim Taylorpolynom nichts mehr schreiben.
> Reicht das so?
Die Koeffizienten [mm]\bruch{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}[/mm] müssen schon ausgerechnet werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kannst du mir da helfen? Ich blick da irgendwie nicht durch. Hmm. :(
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Hallo SolRakt,
> Kannst du mir da helfen? Ich blick da irgendwie nicht
> durch. Hmm. :(
Dann poste doch mal, wie weit Du gekommen bist.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was das bringt?
wie denkst du, rechnet dein TR oder Computer Wurzeln, werte von sin(x), oder [mm] e^x [/mm] etwa aus.
du bist so daran gewöhnt, dass du das einfach glaubst , wenn du sin(2) eintipst kommt das richtige raus.
in Wirklichkeit kann man nur geau die Werte von polynomen ausrechnen, wo man nur multiplizieren muss, gerade noch werte von rationalen fkt. und dann hört es auf.
[mm] \wurzel [/mm] 1 oder 4 oder 9 kann man, /wurzel{100}=10 auch, wie willstdu ohne TR bzw mit einem der nur Mult und div. kann etwa [mm] \wurzel{102} [/mm] ausrechnen?
hast du die Taylorreihe von [mm] \wurzel{1+x} [/mm] dann ist
[mm] \wurzel{102}=10*\wurzel{1+0.02} [/mm] und mit dem taylor dritten Grades für [mm] \wurzel{1+x}kannst [/mm] du das schon recht genau für x=0.02 ausrechnen. Probiers mal aus, und überleg dir wie du die Wurzel sonst besser als "etwas mehr als 10" bestimmen würdest.
noch schlimmer bei sin(x) ausser bei [mm] 0,\pi/6, \pi/4 [/mm] und [mm] \pi/3 [/mm] kannst du den nirgends ausrechnen!
beliebig viele Ableitungen bei x=0 aber kennst du!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Tolle Beschreibung. Ne ehrlich jetzt, hab den Sinn (fast) verstanden.
Ich versteh nur nicht, wie du im Beispiel auf [mm] \wurzel{102} [/mm] = 10 [mm] \* \wurzel{1+0,02} [/mm] kommst? Kannst du das nochmal erklären? Oder hast du das jetzt"normal" umgeformt? kannst du mal zeigen, wie das mit dem TaylorP. für dein Beispiel ausehen würde? Für mich wärs gut, wenn ich das mal sehen würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \wurzel{102}=\wurzel{100*1,02}=\wurzel{100}*\wurzel{1+0.02}
[/mm]
[mm] f(x)=\wurzel{1+x}
[/mm]
f(0)=1
f'(0)=0.5
f''(0)=-0.25
f'''(0)=0.125
[mm] T_3(x)=1+0.5x-0,25/2!*x^2+0.125/3!*x^3
[/mm]
für x=0.02 auswerten mach ich nur für [mm] T_2
[/mm]
[mm] T_2(0.02)=1+0.5*0.02-0.125*0.02^2=1.00995
[/mm]
Damit [mm] \wurzel{102}\approx [/mm] 10*1.00995=10,0995
Der TR sagt [mm] \wurzel{102}=10.09950494
[/mm]
d.h. mit [mm] T_2 [/mm] hast du schon mal 4 Stellen nach dem komma richtig
rechne [mm] T_3 [/mm] noch aus!
und versuch mal sin(0.1) auszurechnen (0.1 natürlich im Bogenmaß)
oder [mm] \wurzel{98}=\wurzel{100-2}=10*\wurzel{1-0.02}
[/mm]
dasselbe Taylorpolynom mit x=-0.02
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..Ich verstehe dein Beispiel sehr gut, nur wie soll das beim Sinus gehn. Ich mein, wenn man ableitet, steht da ja der Cosinus. Und da hat man ja wieder das Problem bei 0,1 als Beispiel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast scheins doch noch nicht verstanden. du brauchst doch nur die Werte von fkt und Ableitung bei 0, die sind 0,1 und -1 weil man eben sin(0) und cos(0) kennt
Das tolle an Tayöor ist ja gerade, dass man durch die genaue Kenntnis an EINER stelle, also zum Beispiel bei 0 Funktionswert und Ableitungen die Funktionswerte an anderen Stellen bestimmen kann.
Gruss leduart
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