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| Aufgabe | Berechne die Taylorreihe von
f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=(x^2-3x+1)(x-2) [/mm] um [mm] x_0=2
[/mm]
und bestimme jeweils den Konvergenzradius. |
Hallo zusammen.
Brauche Hilfe zu obiger Aufgabe...
Also ich habe die Ableitungen berechnet:
[mm] f'(x)=3x^2-10x+7
[/mm]
f''(x)=6x-10
f'''(x)=6
So nun habe ich [mm] x_0=2 [/mm] in die Funktion und die Ableitungen eingesetzt:
f(2)=0
f'(2)=-1
f''(2)=2
f'''(2)=6
Damit erhalte ich ja das Taylorpolynom:
[mm] T_3(x)=-(x-2)+(x-2)^2+(x-2)^3
[/mm]
Und was ist den jetzt die Taylorreihe?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Nick13 |
Die Taylorreihe einer Funktion f im Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] ist [mm]T(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/mm].
Weißt du jetzt, wie die Taylorreihe lautet?
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> Die Taylorreihe einer Funktion f im Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm]
> ist [mm]T(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/mm].
>
> Weißt du jetzt, wie die Taylorreihe lautet?
Hallo Nick13
Nein, nicht wirklich. Ich habe ja keine allgemeine Ableitung....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Nick13 |
Du hast doch schon die ersten drei Ableitungen. Wie sieht denn die nächste Ableitung aus? Und die danach?
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Hallo Nick
Ja die sind alle 0. Aber wie schreibe ich das jetzt in die allgemeine Formel rein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Nick13 |
Ab k=4 fallen doch alle Summanden weg. D.h. die Taylorreihe ist gleich dem Taylorpolynom dritter Ordnung. Und das hast du ja schon bestimmt.
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Aha.....
Und wie bestimme ich denn jetzt den Konvergenzradius?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Nick13 |
Da die Taylorreihe hier ja nur eine endliche Summe ist, konvergiert sie natürlich für jedes [mm]x\in\mathbb{R}.[/mm] Der Konvergenzradius ist also [mm]r=\infty.[/mm]
Wenn man es noch rechnerisch beweisen will, kann man das mit der Formel von Cauchy-Hadamard machen: [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt{0}}=\frac{1}{0}.[/mm] Und beim Konvergenzradius ist das definiert als [mm]\infty[/mm]. Dabei ist [mm]a_n:=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.[/mm]
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