Taylorreihe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 13.07.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Maclaurin-Reihen der durch die folgenden Formeln definierten Funk-
tionen und geben Sie ihre Konvergenzradien an.
i) [mm] \bruch{x}{1+x^{3}} [/mm] ii) [mm] \bruch{1}{4-\pi x^{3}} [/mm] |
Hallo!
Ich habe gerade eine Aufgabe bekommen, bei der ich mir noch recht unsicher bin, wie ich vorgehen soll. An sich ist mir schon klar, dass ich diese Funktionsausdrücke mittels Taylorentwicklung an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] umwandeln soll, doch komme ich damit nicht zu einem sehr aussagekräftigen Ergebnis.
Nehmen wir mal i).
Das typische Vorgehen bei einer Taylorentwicklung sieht so aus, dass man die Funktion mehrfach ableitet, den Entwicklungspunkt als Funktionswert einsetzt und so erhofft, dass sich ein Muster ergibt, mit dem man dann eine Reihe finden kann, die dieser entspricht.
[mm] f(x)=\bruch{x}{1+x^{3}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1-2x^{3}}{({1+x^{3}})^{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{6x^{2}(x^{3}-2)}{({1+x^{3}})^{3}}
[/mm]
also:
[mm] f^{(0)}(0)=0
[/mm]
[mm] f^{(1)}(0)=1
[/mm]
[mm] f^{(2)}(0)=0
[/mm]
[mm] f^{(3)}(0)=0
[/mm]
[mm] f^{(4)}(0)=-24
[/mm]
Ich will mich jetzt nicht aus dem Fenster lehnen, doch nach einem ersichtlichen Muster sieht mir das nicht aus. Mache ich denn was komplett falsch? Ach an der Form der Ableitungen kann ich kein Muster erkennen, abgesehen von Nenner, der immer eine Potenz größer wird.
Alternativ hätte ich wohl versucht die Aufgaben mittels geometrischer Reihe zu lösen, nur wäre das ja nicht der Aufgabe im Text entsprechend.
Gruß Ardbeg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 13.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Maclaurin-Reihen der durch die folgenden
> Formeln definierten Funk-
> tionen und geben Sie ihre Konvergenzradien an.
>
> i) [mm]\bruch{x}{1+x^{3}}[/mm] ii) [mm]\bruch{1}{4-\pi x^{3}}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe gerade eine Aufgabe bekommen, bei der ich mir noch
> recht unsicher bin, wie ich vorgehen soll. An sich ist mir
> schon klar, dass ich diese Funktionsausdrücke mittels
> Taylorentwicklung an der Stelle [mm]x_{0}=0[/mm] umwandeln soll,
> doch komme ich damit nicht zu einem sehr aussagekräftigen
> Ergebnis.
>
> Nehmen wir mal i).
> Das typische Vorgehen bei einer Taylorentwicklung sieht so
> aus, dass man die Funktion mehrfach ableitet, den
> Entwicklungspunkt als Funktionswert einsetzt und so
> erhofft, dass sich ein Muster ergibt, mit dem man dann eine
> Reihe finden kann, die dieser entspricht.
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{1+x^{3}}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1-2x^{3}}{({1+x^{3}})^{2}}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{6x^{2}(x^{3}-2)}{({1+x^{3}})^{3}}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]f^{(0)}(0)=0[/mm]
> [mm]f^{(1)}(0)=1[/mm]
> [mm]f^{(2)}(0)=0[/mm]
> [mm]f^{(3)}(0)=0[/mm]
> [mm]f^{(4)}(0)=-24[/mm]
>
> Ich will mich jetzt nicht aus dem Fenster lehnen, doch nach
> einem ersichtlichen Muster sieht mir das nicht aus.
Ich sehe ein Muster:
[mm] f^{(4n)}(0)=(-1)^n(4n)! [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] f^{(k)}(0)=0, [/mm] falls k kein Vielfaches von 4 ist.
Das direkt zu beweisen lohnt sich nicht (s.u.)
> Mache
> ich denn was komplett falsch?
Du machst nichts falsch.
> Ach an der Form der
> Ableitungen kann ich kein Muster erkennen, abgesehen von
> Nenner, der immer eine Potenz größer wird.
>
> Alternativ hätte ich wohl versucht die Aufgaben mittels
> geometrischer Reihe zu lösen,
Prima Idee !
> nur wäre das ja nicht der
> Aufgabe im Text entsprechend.
Hä ? Wieso denn nicht ?
FRED
>
> Gruß Ardbeg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Do 14.07.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Danke für deine Antwort!
Dann wende ich mal die geometrische Reihe an.
i)
[mm] \bruch{x}{x^{3}+1}=x*\bruch{1}{1-(-x^{3})}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}x*(-x^{3})^{i} [/mm] ; für [mm] |-x^{3}|<1
[/mm]
[mm] |-x^{3}|<1 \gdw |x|^{3}<1 \gdw [/mm] |x|<1 [mm] \Rightarrow [/mm] R=1
Alternativ: Quotientenkriterium
[mm] a_{n}=x
[/mm]
[mm] \limes_{n\to\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\to\infty}\bruch{x}{x}=1 \Rightarrow [/mm] R=1
ii)
[mm] \bruch{1}{4-\pi x^{3}}=\bruch{1}{4}\bruch{1}{1-4\pi x^{3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{4}(4\pi x^{3})^{n} [/mm] ; für [mm] |4\pi x^{3}|<1
[/mm]
[mm] |4\pi x^{3}|<1 \gdw 4\pi |x^{3}|<1 \gdw |x^{3}|<\bruch{1}{4\pi} \gdw |x|<\bruch{1}{\wurzel[3]{4\pi}} \Rightarrow R=\bruch{1}{\wurzel[3]{4\pi}}
[/mm]
Das Problem hierbei ist, falls ich das Quotienten- bzw. Wurzelkriterium anwenden würde, käme ebenfalls R=1 raus. Habe ich dabei was falsch verstanden?
Gruß Ardbeg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Do 14.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
>
> Dann wende ich mal die geometrische Reihe an.
>
> i)
> [mm]\bruch{x}{x^{3}+1}=x*\bruch{1}{1-(-x^{3})}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}x*(-x^{3})^{i}[/mm]
Nein. Die Summation beginnt mit i=0, also [mm] \summe_{i=0}^{\infty}x*(-x^{3})^{i}
[/mm]
Du bist noch nicht fertig !
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}x*(-x^{3})^{i}=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^{4i}
[/mm]
> ; für
> [mm]|-x^{3}|<1[/mm]
>
> [mm]|-x^{3}|<1 \gdw |x|^{3}<1 \gdw[/mm] |x|<1 [mm]\Rightarrow[/mm] R=1
Besser: für [mm] |(-1)^ix^{4i}|<1, [/mm] also für |x|<1.
>
> Alternativ: Quotientenkriterium
>
> [mm]a_{n}=x[/mm]
Das ist doch Unsinn !
Die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] in [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^{4i} [/mm] sind
[mm] a_n=0, [/mm] falls n kein Vielfaches von 4 ist, und [mm] a_{4n}=(-1)^n.
[/mm]
Damit ist [mm] \lim \sup \wurzel[n]{|a_n|}=1.
[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\to\infty}\bruch{x}{x}=1 \Rightarrow[/mm]
> R=1
>
> ii)
> [mm]\bruch{1}{4-\pi x^{3}}=\bruch{1}{4}\bruch{1}{1-4\pi x^{3}}[/mm]
Das ist falsch. Richtig:
[mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{1-\bruch{\pi x^{3}}{4}}
[/mm]
Auch hier fürs folgende: die Summation beginnt mit i=0.
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{4}(4\pi x^{3})^{n}[/mm]
> ; für [mm]|4\pi x^{3}|<1[/mm]
>
> [mm]|4\pi x^{3}|<1 \gdw 4\pi |x^{3}|<1 \gdw |x^{3}|<\bruch{1}{4\pi} \gdw |x|<\bruch{1}{\wurzel[3]{4\pi}} \Rightarrow R=\bruch{1}{\wurzel[3]{4\pi}}[/mm]
>
> Das Problem hierbei ist, falls ich das Quotienten- bzw.
> Wurzelkriterium anwenden würde, käme ebenfalls R=1 raus.
Das wundert mich nicht, wenn Du die Koeffizienten der Potenzreihe ähnlich versemmelst wie in der ersten Aufgabe.
FRED
> Habe ich dabei was falsch verstanden?
>
> Gruß Ardbeg
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