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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 So 12.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion
$f:(1,-1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto [/mm] ln(1+x)$
um den Nullpunkt, indem Sie f' in eine Potenzreihe entwickeln. |
So,
meine Schritte bisher.
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{1+x}$, [/mm] das entspricht
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-x)^{n}=\bruch{1}{1-(-x)}=\bruch{1}{1+x}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n+1}*(-x)^{n+1}$.
[/mm]
Ab jetzt komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß wie man hieraus auf die Taylorreihe schließen soll bzw. bestimmen soll.
Wäre für Hilfe dankbar.
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Hallo!
> Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion
> [mm]f:(1,-1) \to \IR[/mm] mit [mm]x \mapsto ln(1+x)[/mm]
> um den Nullpunkt,
> indem Sie f' in eine Potenzreihe entwickeln.
> So,
> meine Schritte bisher.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{1+x}[/mm], das entspricht
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-x)^{n}=\bruch{1}{1-(-x)}=\bruch{1}{1+x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n+1}*(-x)^{n+1}[/mm].
>
> Ab jetzt komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß wie man
> hieraus auf die Taylorreihe schließen soll bzw. bestimmen
> soll.
> Wäre für Hilfe dankbar.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Wo ist denn das Problem? Wenn Du noch aus kosmetischen Gründen [mm] $(-1)^{n+1}$ [/mm] ausklammerst, hast Du doch schon um 0 entwickelt....
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mo 13.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
Also lautet es dann so:
$ [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n+1}\cdot{}x^{n+1} [/mm] $
Ist das schon die Lösung.
Das ging mir nämlich viel zu schnell und zu einfach.
Muss man noch was zeigen ???
Ich sehe noch nicht, wieso es um den Nullpunkt entwickelt ist.
Liegt es an dem Bruch ???
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Hallo und guten Morgen,
schreib Dir doch mal einfach die Def. der Taylorreihe um 0 hin:
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)\cdot \frac{(x-0)^n}{n!}
[/mm]
Du hast nun f'(x) allgemein als Potenzreihe entwickelt, daraus sollte man dann die hoeheren Ableitungen
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] bestimmen, betrachtet diese an der Stelle 0 und setzt in obige Formel ein.
Dann sollte doch hoffentlich das Ergebnis rauskommen, welches Du angegeben hast.
Viele Gruesse,
Mathias
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