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| Aufgabe | Geben Sie die Taylorreihe um x=0 für
[mm] \wurzel{1+x^2}
[/mm]
an. |
Hallo,
mittlerweile hab ich mir schon eine ganze Weile Gedanken über diese Funktion gemacht. Die Ableitungen zeigen kein Schema (für mich), also denke ich muss man die Reihe über eine andere bekannte herleiten. Da ja
[mm] (\wurzel{1+x^2})' [/mm] = [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}=x*(arcsinh(x))' [/mm] könnte man ja diese Reihe versuchen zu bestimmen, obwohl es sicherlich auch nicht trivial ist, diese Reihe aufzustellen.
Wäre super, wenn mich jemand auf den richtigen Weg bringen könnte. Vielen Dank
Mr._Calculus
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Also, ich sehe da ein Schema...
[mm] f(x)=(1+x^2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=x*(1+x^2)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=-3x*(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}
[/mm]
[mm] f''''(x)=3*(4x^2-1)*(1+x^2)^{-\bruch{7}{2}}
[/mm]
(ohne PC-Überprüfung, müsste also mal gegengerechnet werden...)
Die Frage ist, wie man allgemein für [mm] f^{(n)} [/mm] das Zählerpolynom bestimmt; das Nennerpolynom dürfte deutlich sein.
Andererseits brauchst Du ja nur den Wert der jeweiligen Ableitung an der Stelle x=0, vielleicht findest Du dadurch noch eine Vereinfachung?
lg,
reverend
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Hey reverend,
danke erstmal für diesen Anfang. Die Ableitungen habe ich mir auch soweit berechnet, allerdings werden diese dann ziemlich schnell unschön. Wenn man die Werte einsetzt, erhält man 1,0,1,0,-3,0,45,0,-1575 (wenn ich mich nicht irre). Irgendwie auch keine befriedigende reihe um sie aufzustellen. Der Zähler hingegen, da hast du natürlich Recht, wird immer 1 ergeben.Würde mich freuen weitere Hinweise zum Aufstellen der Reihe zu bekommen.
Gruss Mr._Calculus
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Hallo!
Ein Trick ist, eine zusammengesetzte Funktion auch aus den Taylorreihen der einzelnen Funktionen zusammenzusetzen.
Hier könntest du sagen, daß du [mm] $f\circ [/mm] g$ mit [mm] f(z)=\sqrt{1+z} [/mm] und [mm] g(x)=x^2 [/mm] hast. Die Taylorentwicklung von g ist einfach [mm] x^2, [/mm] du brauchst noch die von z.
Dazu hab ich das hier gefunden:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7720
Man sieht, daß die Entwicklung von f nicht grade kurz ist.
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