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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mo 15.06.2009 | | Autor: | anna99 |
| Aufgabe | Sei I ein offenes Intervall mit p [mm] \in [/mm] I. Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-p)^{n} [/mm] konvergiere
für alle x [mm] \in [/mm] I. Den Grenzwert bezeichnen wir mit f(x).
Zeigen Sie: Dann ist die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-p)^{n} [/mm] die Taylorreihe für f um p. |
Wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Habe gar keine Idee und bitte um Hilfe!!!
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Hallo anna,
also ich weiß nicht wie ihr die Taylorpolynome definiert habt...
Gegeben soll doch sein:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-p)^{n} = \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{k} a_{n}(x-p)^{n} = f(x)[/mm].
Wenn diese Darstellung möglich ist, mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(p)}{n!}$ [/mm] dann heißt dieses Polynom doch Taylorpolynom.
Vllt sollst du noch zeigen, dass du dieses Polynom noch n-mal ableiten kannst, und damit dein [mm] $a_n$ [/mm] bestimmen oder so...
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei I ein offenes Intervall mit p [mm]\in[/mm] I. Die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-p)^{n}[/mm] konvergiere
> für alle x [mm]\in[/mm] I. Den Grenzwert bezeichnen wir mit f(x).
> Zeigen Sie: Dann ist die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-p)^{n}[/mm]
> die Taylorreihe für f um p.
> Wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Habe gar keine Idee
> und bitte um Hilfe!!!
zeige: für jedes k [mm] \in \IN_0 [/mm] ist
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{f^{(k)}(p)}{k!}
[/mm]
Das kannst Du so machen:
[mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-p)^{n}[/mm] für x [mm] \in [/mm] I
Du benötigst, dass man in obiger Reihe gliedweise differenzieren darf:
[mm]f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n a_{n}(x-p)^{n-1}[/mm] für x [mm] \in [/mm] I
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 15.06.2009 | | Autor: | anna99 |
Also muss ich tatsächlich nur zeigen, dass man n-mal ableiteb kann?
Wie kann ich das denn zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also muss ich tatsächlich nur zeigen, dass man n-mal
> ableiteb kann?
Nein , beliebig oft
>
> Wie kann ich das denn zeigen?
Hab ich Dir doch oben gesagt: die Potenzreihe darfst Du gliedweise differenzieren
FRED
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