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Taylorreihe: Aufgabe / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Di 16.02.2010
Autor: Kubs3

Aufgabe
Formulieren Sie das Taylorpolynom für [mm] g(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] mithilfe der bekannten Formel (Formelsammlung) um den Nullpunkt. Bilden Sie das gliedweise Integral [mm] \integral_{0}^{x}{g(t) dt} [/mm] und ermitteln Sie den Wert F(0.5).

Bitte um Hilfe:
Verstehe die Angabe nicht wirklich: g(x) gegeben und [mm] \integral_{0}^{x}{g(t) dt} [/mm] gefragt?
Sollte [mm] \integral_{0}^{x}{g(x) dx} [/mm] heißen oder?

Habe die bekannte Formel für [mm] \bruch{1}{\wurzel{1\pm x}} [/mm] genommen:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\pm1)^n [/mm] * [mm] (n^{-\bruch{1}{2}}) [/mm] * [mm] x^n [/mm]

= [mm] x+\bruch{x^2}{\wurzel{2}}+\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{x^4}{\wurzel{4}}.... [/mm]

x durch [mm] x^2 [/mm] ersetzt:

[mm] =x^2+\bruch{x^4}{\wurzel{2}}+\bruch{x^6}{\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{\wurzel{4}}.... [/mm]

Bestimmtes gliedweises Integral:

[mm] \integral_{0}^{x}{x^2 dx}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\integral_{0}^{x}{x^4 dx}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\integral_{0}^{x}{x^6 dx}+\bruch{1}{\wurzel{4}}\integral_{0}^{x}{x^8 dx} [/mm]

= [mm] \bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5\wurzel{2}}+\bruch{x^7}{7\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{8\wurzel{4}} [/mm]

F(0.5)=0,0469745

Wenn ich zu Fuß den Taylor bilde komme ich auf:

g(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm]
gx= [mm] -x*(1+x^2)^{- \bruch{3}{2}} [/mm]
[mm] gxx=-(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}}+3x^2*(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}} [/mm]
[mm] gxxx=-3x(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}-30x^2 [/mm] * [mm] (1+x^2)^{-\bruch{7}{2}} [/mm]

g(0)=1
gx(0)=0
gxx(0)=-1
gxxx(0)=0
gxxxx=-3

[mm] \Rightarrow T(4)=x-\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^4}{8} [/mm]

gliedweises Integral wie oben:
[mm] =\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^5}{40} [/mm]

F(0.5)=0,1033854

Vielen Dank im Vorraus für die Korrektur!
Lg
Jakob




        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Di 16.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Formulieren Sie das Taylorpolynom für
> [mm]g(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] mithilfe der bekannten
> Formel (Formelsammlung) um den Nullpunkt. Bilden Sie das
> gliedweise Integral [mm]\integral_{0}^{x}{g(t) dt}[/mm] und
> ermitteln Sie den Wert F(0.5).
>  Bitte um Hilfe:
>  Verstehe die Angabe nicht wirklich: g(x) gegeben und
> [mm]\integral_{0}^{x}{g(t) dt}[/mm] gefragt?
> Sollte [mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}[/mm] heißen oder?

Nein, das muss es nicht. Es ist sogar sinnvoll, die Integrationsvariable
anders zu bezeichnen als die Obergrenze des Integrals, denn die
Integrationsvariable ist nur eine Art Hilfsvariable (in einem Programm
würde man sagen lokale Variable), die ausgedient hat, sobald die
Integration erfolgt ist und die Grenzen an ihrer Stelle eingesetzt sind.

  

> Habe die bekannte Formel für [mm]\bruch{1}{\wurzel{1\pm x}}[/mm]
> genommen:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\pm1)^n[/mm] * [mm](n^{-\bruch{1}{2}})[/mm] * [mm]x^n[/mm]      [haee]
>  
> =
> [mm]x+\bruch{x^2}{\wurzel{2}}+\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{x^4}{\wurzel{4}}....[/mm]


Mir kommt diese Formel keineswegs "bekannt" vor. Sie ist falsch.
Woher hast du sie ?
Ich bekomme für   [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+ x}} [/mm]  etwas ganz anderes.


  

> x durch [mm]x^2[/mm] ersetzt:
>  
> [mm]=x^2+\bruch{x^4}{\wurzel{2}}+\bruch{x^6}{\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{\wurzel{4}}....[/mm]
>  
> Bestimmtes gliedweises Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{x^2 dx}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\integral_{0}^{x}{x^4 dx}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\integral_{0}^{x}{x^6 dx}+\bruch{1}{\wurzel{4}}\integral_{0}^{x}{x^8 dx}[/mm]
>  
> =
> [mm]\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5\wurzel{2}}+\bruch{x^7}{7\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{8\wurzel{4}}[/mm]
>  
> F(0.5)=0,0469745
>  
> Wenn ich zu Fuß den Taylor bilde komme ich auf:
>  
> g(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
>  gx= [mm]-x*(1+x^2)^{- \bruch{3}{2}}[/mm]    [ok]
>  
> [mm]gxx=-(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}}+3x^2*(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]    [ok]
>  [mm]gxxx=-3x(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}-30x^2[/mm] *
> [mm](1+x^2)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]

Nach meiner Rechnung stimmt diese dritte Ableitung nicht mehr.
  

> g(0)=1
>  gx(0)=0
>  gxx(0)=-1
>  gxxx(0)=0

soweit stimmen die Zahlenwerte (auch für gxxx(0) trotz falscher Formel)

>  gxxxx=-3     [notok]


LG    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Di 16.02.2010
Autor: Kubs3

Danke für die Antwort!
Die Formel ist 1:1 aus der Formelsammlung für die Prüfung abgeschrieben....
Steht dort unter: Taylorentwicklung wichtiger Funktionen (xo=0); Wurzeln (Binom. Reihe mit [mm] \alpha=\pm\bruch{1}{2} [/mm] ; Gültigkeit: x<1

Habe jetzt für die fxxxx 9 rausbekommen.

und somi: [mm] T(4)=x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^4}{24} [/mm]

und fürs Integral: [mm] \bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^5}{120} [/mm]

und F(0.5)=0,104427

Stimmt das jetzt?
Danke schön
mfg
Jakob



Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Di 16.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Jakob,

> Danke für die Antwort!
>  Die Formel ist 1:1 aus der Formelsammlung für die
> Prüfung abgeschrieben....
>  Steht dort unter: Taylorentwicklung wichtiger Funktionen
> (xo=0); Wurzeln (Binom. Reihe mit [mm]\alpha=\pm\bruch{1}{2}[/mm] ;
> Gültigkeit: x<1

Das ist immer noch falsch, siehe die Mitteilung von kalkulator ...

>  
> Habe jetzt für die fxxxx 9 rausbekommen. [ok]
>  
> und somi: [mm]T(4)=x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^4}{24}[/mm] [notok]

Hinten steht doch [mm] $\frac{g^{(4)}(0)}{4!}\cdot{}x^4=\frac{9}{4\cdot{}3\cdot{}2}\cdot{}x^4=\frac{3}{8}x^4$ [/mm]

Wie kommst du außerdem auf $x$ am Anfang?

Du hattest doch in der Rechnung "zu Fuß" richtig berechnet $g'(0)=0$

Da steht also [mm] $\frac{g'(0)}{1!}x^1=0\cdot{}x=0$ [/mm]

Dafür hattest du $g(0)=1$, also ist der erste Summand [mm] $\frac{g(0)}{0!}x^0=\frac{1}{1}\cdot{}1=1$ [/mm]


>  
> und fürs Integral:
> [mm]\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^5}{120}[/mm]
>  
> und F(0.5)=0,104427
>  
> Stimmt das jetzt?

Fast, der erste und letzte Summand waren falsch, damit auch das Integral, flicke das kurz bei, dann hast du's ...

>  Danke schön
>  mfg
>  Jakob
>  

Gruß

schachuzipus

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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Di 16.02.2010
Autor: Kubs3

Ich kann nicht mehr denken. Zeit für eine Pause. Habe den 9 verschlampt.
Habs jetzt aber. Vielen Dank.

Könnte mir bitte jemand noch kurz diese Formel erklären.
Ist das ein Vektor? Oder was bedeutet das -1/2 über dem n...?

mfg
Jakob

Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Di 16.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ich kann nicht mehr denken. Zeit für eine Pause. Habe den
> 9 verschlampt.
>  Habs jetzt aber. Vielen Dank.

Bedenke auch meinen Edit bzgl. des ersten Summanden in [mm] $T_4(x)$ [/mm] !

Es treten nur gerade Exponenten von x auf in der Reihendarst.

>  
> Könnte mir bitte jemand noch kurz diese Formel erklären.
>  Ist das ein Vektor? Oder was bedeutet das -1/2 über dem
> n...?

Das ist ein verallg. Binomialkoeffizient [mm] $\vektor{-\frac{1}{2}\\n}$ [/mm]

Siehe auf Wiki zur Binomialreihe:

Für [mm] $\alpha$ [/mm] nicht ganzzahlig und [mm] $\alpha<0$ [/mm] ist [mm] $(1+x)^{\alpha}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha\\k}\cdot{}x^k$ [/mm] die Taylorreihe zu [mm] $(1+x)^{\alpha}$ [/mm] um [mm] $x_0=0$ [/mm]

Die Darstellung mit dem Binomialkoeffizienten ergibt sich sofort aus der Taylorentwicklung von [mm] $f(x)=(1+x)^{\alpha}$. [/mm]

Berechne mal die ersten 4 Summanden gem. der Taylorformel.

Du wirst sehen, das haut wunderbar hin ...

>  
> mfg
>  Jakob

Gruß

schachuzipus

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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Di 16.02.2010
Autor: leduart

Hallo
das sind verallgemeinerte "Binomialkoeffizienten." gesprochen:"-1/2 über n"
die Definition, und damit wie man sie ausrechnet sollte in deiner Formelsammlung stehen. sonst sieh in wiki nach
Gruss leduart

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Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:01 Di 16.02.2010
Autor: Kubs3

Alles klar!
Vielen Dank!!!!!!!
mfg
Jakob

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Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 Di 16.02.2010
Autor: kalkulator


> Formulieren Sie das Taylorpolynom für
> [mm]g(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] mithilfe der bekannten
> Formel (Formelsammlung) um den Nullpunkt. Bilden Sie das
> gliedweise Integral [mm]\integral_{0}^{x}{g(t) dt}[/mm] und
> ermitteln Sie den Wert F(0.5).
>  Bitte um Hilfe:
>  Verstehe die Angabe nicht wirklich: g(x) gegeben und
> [mm]\integral_{0}^{x}{g(t) dt}[/mm] gefragt?
> Sollte [mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}[/mm] heißen oder?
>  
> Habe die bekannte Formel für [mm]\bruch{1}{\wurzel{1\pm x}}[/mm]
> genommen:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\pm1)^n[/mm] * [mm](n^{-\bruch{1}{2}})[/mm] * [mm]x^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Ich glaube, in Deiner Formelsammlung steht nicht $n^{-\frac{1}{2}}$, sondern ${\vektor{-\frac{1}{2}\\n}$. Dann ändert sich ab hier der ganze Rechenweg.

Viele Grüße, Andreas

> =
> [mm]x+\bruch{x^2}{\wurzel{2}}+\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{x^4}{\wurzel{4}}....[/mm]
>  
> x durch [mm]x^2[/mm] ersetzt:
>  
> [mm]=x^2+\bruch{x^4}{\wurzel{2}}+\bruch{x^6}{\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{\wurzel{4}}....[/mm]
>  
> Bestimmtes gliedweises Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{x^2 dx}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\integral_{0}^{x}{x^4 dx}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\integral_{0}^{x}{x^6 dx}+\bruch{1}{\wurzel{4}}\integral_{0}^{x}{x^8 dx}[/mm]
>  
> =
> [mm]\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5\wurzel{2}}+\bruch{x^7}{7\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{8\wurzel{4}}[/mm]
>  
> F(0.5)=0,0469745
>  
> Wenn ich zu Fuß den Taylor bilde komme ich auf:
>  
> g(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
>  gx= [mm]-x*(1+x^2)^{- \bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> [mm]gxx=-(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}}+3x^2*(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
>  [mm]gxxx=-3x(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}-30x^2[/mm] *
> [mm](1+x^2)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
>  
> g(0)=1
>  gx(0)=0
>  gxx(0)=-1
>  gxxx(0)=0
>  gxxxx=-3
>  
> [mm]\Rightarrow T(4)=x-\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^4}{8}[/mm]
>  
> gliedweises Integral wie oben:
>  [mm]=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^5}{40}[/mm]
>  
> F(0.5)=0,1033854
>  
> Vielen Dank im Vorraus für die Korrektur!
>  Lg
>  Jakob
>  
>
>  


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