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| Aufgabe | | Berechnen Sie für die Funktion f(x)= [mm] 1+3*(cosx)^2 [/mm] die Taylorreihe bis zum dritten Glied, das ist eine quadratische Funktion, an der Stelle a=0. |
Mein Rechenweg. Wäre nett wenn das einer kontrollieren könnte.
f(x)= 1+3* [mm] (cosx)^2
[/mm]
f´(x)= -6*sin (x)* cos(x)
f"(x)= 6-12* [mm] (cos(x))^2
[/mm]
a=0
f(0)= 1+3* [mm] (cos0)^2 [/mm] = 4
f´(0)= -6*sin(0)*cos(0)= 0
f"(0)= [mm] 6-12*(cos(0))^2= [/mm] -6
f(0)+f´(0)*(x-a)+ 1/2 [mm] *f"(0)*(x-a)^2
[/mm]
[mm] 4+0*(x-0)+1/2*(-6)*(x-0)^2
[/mm]
= 4-3,0* [mm] x^2
[/mm]
Ich hoffe das ist so korrekt. Kommt dann nämlich so in die mitnehmmappe zur Prüfung.
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Ich dachte immer die Produktregel wendet man an, wenn man 2 Funktionen hat. Wie soll das denn sonst gehen? Man braucht doch 2 Grundfunktionen und deren erste Ableitung.
Das die Aufgabe trotzdem richtig ist, ist ja sicher nur Zufall und kann in einem anderen Fall ganz anders aussehen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Fr 26.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Produktregel braucht man, wenn man eine Funktion ableiten will, die aus (zwei) Faktoren besteht, die man eben nicht weiter zusammenfassen kann (oder will)
Beispiel
[mm] f(x)=\underbrace{x}_{u}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{v}
[/mm]
[mm] f'(x)=\underbrace{x}_{u}*\underbrace{(e^{3x^{2}}*(6x))}_{v' (Kettenregel)}+\underbrace{1}_{u'}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{v}
[/mm]
[mm] =6x^{2}*e^{3x^{2}}-e^{3x^{2}}
[/mm]
[mm] =\underbrace{(6x^{2}-1)}_{p}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{q}
[/mm]
Also:
[mm] f''(x)=\underbrace{(6x^{2}-1)}_{p}*\underbrace{e^{3x^{2}}*6x}_{q'}+\underbrace{3x}_{p'}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{q}
[/mm]
[mm] =(36x^{3}-6x+3x)*e^{3x^{2}}
[/mm]
[mm] =(36x^{3}-3x)*e^{3x^{2}}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 26.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch das Produkt von 2 Funktionen, u*v mit u=sin(x), v=cos(x)
in deiner ersten Ableitung.
Gruss leduart
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Also so wie ich die Produktregel rausgesucht habe, lautet sie folgendermaßen:
(f(x)*g(x))´=f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x)
Das bedeutet ich brauche ein g(x) und ein f(x).
Macht man das dann also so, dass man -6sin(x)= f(x) nimmt und cos(x) = g(x). Davon dann noch die Ableitung:
f´(x)= -6cos(x)
g´= -sin(x)
Und jetzt einfach einsetzen. Wäre das richtig?
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