Taylorreihe ln(1+x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 So 23.11.2008 | | Autor: | newday |
Ich soll die Funktion ln(1+x) in eine Taylorreihe im Anfangspunkt [mm] x_0=0 [/mm] entwickeln...
Wie komme ich nur auf die allgemeine Ableitung [mm] f^{k}(x_0) [/mm] ??
Hab einmal die ersten 4 Ableitungen gebildet und 0 eingesetzt, aber ich hab keine Ahnung wie man die dann allgemein Ausdrücken kann. Sie sind mit alternierenden Vorzeichen und [mm] f^{0}(0)=0 [/mm] ? passt nicht ganz rein in die Reihe...
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}=\bruch{f^{k}(x_0)}{k!}*(x)^k
[/mm]
Ableitungen:
[mm] f^{1}=(1+x)^{-1}
[/mm]
[mm] f^{2}=-(1+x)^{-2}
[/mm]
[mm] f^{3}=2*(1+x)^{-3}
[/mm]
[mm] f^{4}=-6*(1+x)^{-4}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. alle ungeraden sind pos, alle geraden sind negativ, also Faktor [mm] -(-1)^n [/mm] oder (-1)^(n+1)
2. VorFaktoren Zahlen :
1. 1
2.1
3.1*2
4.1*2*3
5. 1*2*3*4
6. 1*2*3*4*5
k.te 1*2*3*...*(k-1)(=(k-1)!
und dann natuerlich immer die 1=1+0 dahinter und nicht 1+x
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 So 23.11.2008 | | Autor: | newday |
Also so:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}=\bruch{(-1)^{k+1}*(k-1)!*(1+0)}{k!}\cdot{}(x)^k [/mm] $
Ich seh zwar das das so stimmen sollte, aber wäre da jetz auch ewig lang nicht drauf gekommen. Was passiert mit [mm] f^{0}(0)=0 [/mm] ??
|
|
|
| |
|
Hallo newday,
> Also so:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}=\bruch{(-1)^{k+1}*(k-1)!*(1+0)}{k!}\cdot{}(x)^k[/mm]
Das sieht stimmig aus, kannst du aber noch weitaus kompakter zusammenfassen!
>
> Ich seh zwar das das so stimmen sollte, aber wäre da jetz
> auch ewig lang nicht drauf gekommen. Was passiert mit
> [mm]f^{0}(0)=0[/mm] ??
Na der Summand in der formalen Taylorreihe für $k=0$, also
[mm] $\frac{f^{(0)}(0)}{0!}\cdot{}x^0$ [/mm] ergibt doch 0, die 0-te Ableitung ist die Funktion selbst und [mm] $\ln(1+0)=\ln(1)=0$
[/mm]
Lasse also bei dem oberen Ausdruck für die Taylorreihe mal den Summanden für k=0 weg, beginne mit der Summation also bei k=1
Dann bedenke, dass da im Zähler [mm] $\cdot{}(1+0)$ [/mm] , also [mm] $\cdot{}1$ [/mm] steht (warum auch immer), lass das also weg
Und im Nenner steht [mm] $k!=k\cdot{}(k-1)!$
[/mm]
Das gibt einen "schöneren" Ausdruck 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 So 23.11.2008 | | Autor: | newday |
Das [mm] \cdot{}(1+0) [/mm] sollte ein [mm] \cdot{}(1+0)^{-k} [/mm] sein, ist natürlich unnötig und kann man alles weglassen, zeigt aber den Gedankengang. Um Kosmetik mach ich mir dann später mal sorgen ;) da bin ich froh wenns einfach mal irgendwie stimmt. Aber danke für die kosmetischen Tipps, der Herr Taylor hätte sicher seine Freude :). Momentan überdenke ich noch das Lagransche Restglied...
Wie kommt man eigentlich auf [mm] k!=k\cdot{}(k-1)! [/mm] ? Habs grad nachgerechnet und stimmt natürlich, aber auf solche (schönen) Umformungen komm ich nicht mal in meinen kühnsten Träumen. Tja da fehlt wohl einfach die Mathe Praxis, die man ja nicht in einer Vorlesung bekommt.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Das [mm]\cdot{}(1+0)[/mm] sollte ein [mm]\cdot{}(1+0)^{-k}[/mm] sein, ist
> natürlich unnötig und kann man alles weglassen, zeigt aber
> den Gedankengang.
Das verstehe ich nicht, formal musst du doch [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k$ [/mm] berechnen.
Es ist [mm] $f^{(k)}(0)=(-1)^{k+1}\cdot{}(k-1)!$
[/mm]
Wenn du das in die Formel einsetzt, kommst du genau auf deinen Ausdruck im vorherigen post, aber ohne dieses [mm] $(1+0)^{-k}$
[/mm]
Woher kommt das denn deiner Meinung nach? Aus welchem Gedankengang? Das erschließt sich mir nicht ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Um Kosmetik mach ich mir dann später mal
> sorgen ;) da bin ich froh wenns einfach mal irgendwie
> stimmt. Aber danke für die kosmetischen Tipps, der Herr
> Taylor hätte sicher seine Freude :). Momentan überdenke ich
> noch das Lagransche Restglied...
>
>
> Wie kommt man eigentlich auf [mm]k!=k\cdot{}(k-1)![/mm] ? Habs grad
> nachgerechnet und stimmt natürlich, aber auf solche
> (schönen) Umformungen komm ich nicht mal in meinen kühnsten
> Träumen. Tja da fehlt wohl einfach die Mathe Praxis ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau, das ist ein Standardtrick, wenn man den 2mal gesehen hat und einmal selber angewendet, vergisst man ihn nie wieder, diese Umformung brauchst du immer wieder (v.a. auch bei Reihenkonvergenz ...)
> , die man ja nicht in einer Vorlesung bekommt.
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:48 So 23.11.2008 | | Autor: | newday |
Ja das [mm] (1+0)^{-k}, [/mm] ist echt unnötig, aber so um 3:00 kann man das sowieso verzeihen. Naja wenn du die Ableitung an der der stelle 0 machst bekommt man: 1,-1,2,-6,.... und allgemein: (1-x)^-{1}, -(1-x)^-{2}, 2(1-x)^-{3}....
und das [mm] (-1)^{k+1}*(k-1)! [/mm] kommt mir da so armselig vor, das ich mir den Rest anschaulicherweise dazugedichtet hab.
Conclusio: Wenn man schon Terme mit dem Wert 1 dazudichtet sollte man schlafen gehn, obwohl man den Trick ja auch manchmal in der Mathematik anwendet...
thx und gute Nacht...
|
|
|
|
![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
