Taylorreihe mit Restglied / O < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ziel:
Landau-Notation für den Differenzenquotient auf Korrektheit prüfen.
Die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm] x=(x_0+\Delta [/mm] x) aufgelöst nach der Ableitung lautet:
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm] - [mm] \ldots [/mm] - [mm] \frac{1}{n!} \cdot \frac{\partial^n f(x_0)}{\partial x^n}(\Delta x)^{n-1}
[/mm]
Der Fehler lässt sich abschätzen durch:
f(x) = [mm] f_{n}(x) [/mm] + [mm] R_{n}(x) [/mm]
Nach Lagrange gilt:
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!} f^{n+1}\xi_{n+1} [/mm] mit [mm] x_{0} [/mm] < [mm] \xi_{n+1} [/mm] < [mm] x=x_{0}+\Delta [/mm] x
Der Abbruch der Taylorreihe nach dem zweiten Glied ist:
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm] - [mm] \underbrace{\frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} )}_{R} [/mm]
Frage:
Wie schätze ich das Restglied mit Hilfe der "groß O" Notation ab? |
Meine Vorgehnsweise:
[mm] \left| R \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|
[/mm]
[mm] \left | R \right| [/mm] = [mm] \left| (\Delta x) \right| \left| \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|
[/mm]
[mm] \left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm] <= M
mit C = M/2
[mm] \left| R \right| [/mm] <= C [mm] (\Delta [/mm] x)
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm] + [mm] \mathscr{O}(\Delta [/mm] x)
Ist das korrekt so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
zwei Bemerkungen zuerst zur Notation
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x}
[/mm]
1.) Ist nur eine Variable vorhanden, so verwendet man keine [mm] $\partial$ [/mm] (wie der LaTeX-Name schon sagt, ist das die partielle Ableitung), sondern schlichtweg $d$.
2.) Das Argument sollte hinter den Bruch geschrieben werden, also insgesamt:
[mm] $\frac{df}{dx}(x_0)$ [/mm] denn du willst ja die Ableitung von f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] betrachten und nicht die Ableitung von (der Konstante) [mm] f(x_0) [/mm] nach x, denn das wäre Null.
> Die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm]x=(x_0+\Delta[/mm] x)
> aufgelöst nach der Ableitung lautet:
>
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
> - [mm]\ldots[/mm] - [mm]\frac{1}{n!} \cdot \frac{\partial^n f(x_0)}{\partial x^n}(\Delta x)^{n-1} [/mm]
Nein… wenn du in $x = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ entwickeln würdest, hättest du gar kein [mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] \frac{df}{dx}(x_0)$ [/mm] sondern ein $f'(x) = [mm] f'(x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x)$
Was du also eigentlich machen möchtest: Du willst die Taylorentwicklung von f(x) in der Entwicklungsstelle [mm] $x_0$ [/mm] für [mm] $x=x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ betrachten.
Dann enthältst du deinen Ausdruck mit den von mir genannten Notationskorrekturen.
> Der Fehler lässt sich abschätzen durch:
> f(x) = [mm]f_{n}(x)[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm]
Korrekt (Entwicklungspunkt beachten!)
$f(x) = [mm] f_{n}(x_0) [/mm] + [mm] R_{n}(x_0)$
[/mm]
> Nach Lagrange gilt:
> [mm]R_{n}(x)[/mm] = [mm]\frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!} f^{n+1}\xi_{n+1}[/mm]
Ok, wobei die Notation hier auch wieder unsauber ist… bspw. fehlen die Klammer um das Funktionsargument.
> Der Abbruch der Taylorreihe nach dem zweiten Glied ist:
Besser: "Bei Abbruch…"
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
> - [mm]\underbrace{\frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} )}_{R}[/mm]
>
> Frage:
> Wie schätze ich das Restglied mit Hilfe der "groß O"
> Notation ab?
> Meine Vorgehnsweise:
>
> [mm]\left| R \right|[/mm] = [mm]\left| \frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
>
> [mm]\left | R \right|[/mm] = [mm]\left| (\Delta x) \right| \left| \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
>
> [mm]\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
> <= M
>
> mit C = M/2
>
> [mm]\left| R \right|[/mm] <= C [mm](\Delta[/mm] x)
>
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
> + [mm]\mathscr{O}(\Delta[/mm] x)
>
>
> Ist das korrekt so?
Das kann man so machen, wenn man weiß, dass [mm] $\frac{d^2f}{dx^2}$ [/mm] beschränkt ist auf [mm] $(x_0,x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x)$. Das hat man schon, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist. Allerdings bekommt man eine deutlich bessere Approximation, man kann nämlich zeigen, dass für alle Restglieder gilt (das hattet ihr bestimmt).
[mm] $R_n \in o\left((\Delta x)^n\right)$
[/mm]
In deinem Fall bedeutet das: Es gilt [mm] $R_2 \in o((\Delta x)^2)$
[/mm]
Und daraus folgt sofort: $R [mm] \in o(\Delta [/mm] x)$
Schreibe dazu die Definition von [mm] $R_2 \in o((\Delta x)^2)$ [/mm] hin und die Definition von $R [mm] \in o(\Delta [/mm] x)$
Wenn man zweiteren Ausdruck mit [mm] $\Delta [/mm] x$ erweitert, sieht man sofort die Äquivalenz.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Do 19.04.2018 | | Autor: | losPollos |
Danke!
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