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| Aufgabe | a) Bilden sie das Taylorpolynom [mm] T_{f,3} [/mm] der Funktion f(x)=ln(X) für den Enticklungsraum [mm] x_{0}=1
[/mm]
b) Erstellen Sie die Taylorreihe. Summe ab n=0
c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius |
Hallo,
ich habe die Taylorreihen irgendwie nur ansatzweise verstanden. irgendwie fehlt das passende Puzzelstück um eine logick darein zu bringen.
also was mir klar ist das hier wohl die ersten 3 Ableitungen gebildet werden müssen:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{2}{x^3}
[/mm]
und die werte jeweils von xo dann relevant sind:
f(1)=0
f'(1)= 1
f''(1)= -1
f'''(1)=2
Für die Taylorreihe habe ich dann die Formel:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n
[/mm]
mit den eingesetzen Werten ergibt sich also:
[mm] 0+(x-1)-(x-1)^2+2*(x-1)^3
[/mm]
durch rumprobieren habe ich dann:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n=\summe_{n=0}^{\infty}n!*(-1)^n*(x-1)^{n+1}
[/mm]
herrausgefunden
aber was ist jetzt Taylorreihe und was Taylorpolynom?
und wie komme ich auf den Konvergenzradius?
habe zwar die formel [mm] r=lim(a_{n}/a_{n+1}, [/mm] aber ich kenne doch an nicht??
dazu müsste ich doch etwas in der Form [mm] a_{n}*x^n [/mm] haben
Habe schon im Netzt nach gelösten Beispielaufgaben gesucht, aber leider nix gefunden das es mir wirklich leicher macht....
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> a) Bilden sie das Taylorpolynom [mm]T_{f,3}[/mm] der Funktion
> f(x)=ln(X) für den Enticklungsraum [mm]x_{0}=1[/mm]
> b) Erstellen Sie die Taylorreihe. Summe ab n=0
> c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius
> also was mir klar ist das hier wohl die ersten 3
> Ableitungen gebildet werden müssen:
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{x^2}[/mm]
> [mm]f'''(x)=\bruch{2}{x^3}[/mm]
>
> und die werte jeweils von xo dann relevant sind:
> f(1)=0
> f'(1)= 1
> f''(1)= -1
> f'''(1)=2
>
> Für die Taylorreihe habe ich dann die Formel:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n[/mm]
Hallo,
die Formel stimmt zwar soweit, aber Für a) suchst Du nicht die Taylorreihe, sondern das dritte Taylorpolynom, und das ist [mm] \summe_{n=0}^{3}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n
[/mm]
>
> mit den eingesetzen Werten ergibt sich also:
> [mm]0+(x-1)-(x-1)^2+2*(x-1)^3[/mm]
Nein, Du hast das Dividieren durch die Fakultäten vergessen.
Nun zu b)
>
> durch rumprobieren habe ich dann:
Schade, daß Du das "Rumprobieren" nicht etwas genauer erläuterst.
Du mußt ja fürs Taylorpolynom eine Formel für die n-te Ableitung finden.
Ich nehme an, daß Du das getan hast.
Wie lautet die n-te Ableitung?
Ich kann Deinem Profil nicht entnehmen, was Du studierst.
Wenn Du die Mathematik für Mathematiker hörst, ist diese Vermutung für die Formel unbedingt zu beweisen! (Induktion).
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n=\summe_{n=0}^{\infty}n!*(-1)^n*(x-1)^{n+1}[/mm]
> herrausgefunden
Das stimmt so nicht. Was hast Du für [mm] f^n(x) [/mm] ermittelt?
>
> aber was ist jetzt Taylorreihe und was Taylorpolynom?
Das Taylorpolynom ist das, was unter a) steht, dort haben wir speziell das dritte Taylorpolynom berechnet.
Die (unendliche) Reihe ist die Taylorreihe.
>
> und wie komme ich auf den Konvergenzradius?
> habe zwar die formel [mm]r=lim(a_{n}/a_{n+1},[/mm] aber ich kenne
> doch an nicht??
> dazu müsste ich doch etwas in der Form [mm]a_{n}*x^n[/mm] haben
Sowas in der Art hast Du ja. [mm] a_n [/mm] ist der Faktor vor [mm] (x-x_0)^n, [/mm] bei Dir also der vor [mm] (x-1)^n. [/mm] (Wenn er richtig wäre, was er noch nicht ist.)
Wenn Du Deinen Konvergenzradius r errechnet hast, weißt Du, daß die Reihe für |x-1|<r konvergiert, also für 1-r<x<1+r.
Gruß v. Angela
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Hallo,
supi-lieben dank für die schnelle Antwort, und das an einem Samstag Abend 
a)Taylorpolynom:
[mm] \summe_{n=0}^{3}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n
[/mm]
[mm] =(x-x_{0})-\bruch{(x-x_{0})^2}{2}+\bruch{2*(x-x_{0})^3}{6}
[/mm]
[mm] =(x-x_{0})-\bruch{(x-x_{0})^2}{2}+\bruch{(x-x_{0})^3}{3}
[/mm]
b)Taylorreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n
[/mm]
wie man bei a) sieht wächst der quotient immer um 1, ebenso der Exponent, das vorzeichen wechselt immer bei geradem exponent
(was auch bei weiteren Ableitungen gilt)
Also müsste gelten:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_{0})}{n!}*(x-x_{0})^n=
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{-n}\bruch{
(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)}
[/mm]
Stimmt auch wenn man es nachrechnet....
(ob es da nun einen einfacheren Weg für gibt weis ich nicht....aber so habe ich mir das überlegt)
c) aus b) ist also [mm] a_{n}=(-1)^-n/(n+1)
[/mm]
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}/a_{n+1})=-1
[/mm]
also Konvergenzradius von 1 bis -1
stimmt das so?
Ps: Studiere E-Technik, was aber wohl nicht ausschließt das in der Prüfung leine Beweise dran kommen... (nur vieleicht nicht so aufwendige)
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Ja,
jetzt ist es richtig.
Ob Du die Formel für die n-te Ableitung beweisen mußt, weiß ich nicht. Schwierig wär's nicht.
Eine Bem. noch zum Konvergenzradius: da mußt Du den Betrag nehmen, also [mm] r=|a_n/a_{n+1}|.
[/mm]
Damit erhältst Du r=1, und das sagt Dir, daß für |x-1|<1 die Reihe konvergiert, also für 0<x<2.
Gruß v. Angela
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