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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:07 So 06.06.2010 | | Autor: | monstre123 |
| Aufgabe | Stellen Sie für die folgenden Funktionen die Taylorreihe um den angegebenen Entwicklungspunkt auf. Nutzen Sie dazu bekannte Reihenentwicklungen. In Aufgabenteil a) ist die Lösung zusätzlich über die partiellen Ableitungen zu bestimmen.
(a) [mm] f(x,y)=\bruch{1}{xy} [/mm] um (1,1)
(b) [mm] f(x,y)=e^{x+y-1} [/mm] um [mm] (\bruch{1}{3},\bruch{2}{3}) [/mm] |
Hi,
ich habe bezüglich der Aufgaben irgendwie kein Ansatz. Welche Reihenentwicklung meinen die und was muss man mit den machen?
danke.
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Hallo!
> Stellen Sie für die folgenden Funktionen die Taylorreihe
> um den angegebenen Entwicklungspunkt auf. Nutzen Sie dazu
> bekannte Reihenentwicklungen. In Aufgabenteil a) ist die
> Lösung zusätzlich über die partiellen Ableitungen zu
> bestimmen.
>
> (a) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{xy}[/mm] um (1,1)
>
> (b) [mm]f(x,y)=e^{x+y-1}[/mm] um [mm](\bruch{1}{3},\bruch{2}{3})[/mm]
> ich habe bezüglich der Aufgaben irgendwie kein Ansatz.
> Welche Reihenentwicklung meinen die und was muss man mit
> den machen?
Bei (b) ist wie immer die Exponentialreihe gemeint! [mm] $e^{z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}$
[/mm]
Du kannst schreiben: x+y-1 = (x-1/3) + (y-2/3), dann klappt es auch mit dem Entwicklungspunkt!
Bei (a) fällt mir jetzt pauschal auch nicht soviel ein.
Was man machen könnte:
[mm] $\frac{1}{x}*\frac{1}{y} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-(1-x)}*\frac{1}{1-(1-y)}$
[/mm]
Nun kannst du die Reihenentwicklung der geometrischen Reihe verwenden, und danach Cauchy-Produkt anwenden. (Ich habe das Cauchy-Produkt nicht wesentlich vereinfachen können, ohne die Gestalt der Potenzreihe zu verlieren).
Grüße,
Stefan
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so und was muss ich bei der b) mit [mm] e^{z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!} [/mm] machen?
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Hallo,
> so und was muss ich bei der b) mit [mm]e^{z}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}[/mm] machen?
Na, einfach einsetzen! Du willst eine Potenzreihe von
[mm] $e^{x+y-1} [/mm] = [mm] e^{(x-1/3)+(y-2/3)}$,
[/mm]
und du kennst die von der Exponentialfunktion. Also:
[mm] $e^{x+y-1} [/mm] = [mm] e^{(x-1/3)+(y-2/3)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Big((x-1/3)+(y-2/3)\Big)^{k}}{k!}$.
[/mm]
Das ist jetzt aber noch nicht in der Form einer Taylor-Reihe...
Grüße,
Stefan
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