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Hallo
Hab folgendes Beispiel:
Es sei f(x)= [mm] \bruch{3x^{2}-2x+4}{(x+1)(x-2)^{2}}
[/mm]
und [mm] g(x)=\bruch{1}{(x-2)^{2}}
[/mm]
Die Funktion g(x) besitzt im Punkt [mm] x_{0}=0 [/mm] die Taylorreihe [mm] \summe_{0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+2}}x^{n}
[/mm]
Ermitteln Sie mithilfe die Taylor-Entwicklung von f um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 0
nach Partialbruchzerlegung
[mm] \bruch{1}{x+1}+ \bruch{2}{x-2}+ \bruch{4}{(x-2)^{2}}
[/mm]
jetzt hab ich für [mm] \bruch{1}{(x-2)^{2}} [/mm] schon die Reihe für [mm] \bruch{2}{x-2} [/mm] bekomme ich die indem ich die Reihe integriere
[mm] \bruch{4}{(x-2)^{2}}=4*\summe_{0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+2}}x^{n}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{x-2}=2*\summe_{0}^{\infty} \bruch{1}{2^{n+2}}x^{n+1}
[/mm]
für [mm] \bruch{1}{x+1}=\summe_{0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}
[/mm]
[mm] =4*\summe_{0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+2}}x^{n}+\summe_{0}^{\infty} \bruch{1}{2^{n+2}}x^{n+1}+summe_{0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}x^{n}}{4} [/mm]
[mm] =4*\summe_{0}^{\infty} (\bruch{n+1}{2^{n+2}}+\bruch{(-1)^{n}}{4})x^{n}+2*\summe_{0}^{\infty} \bruch{1}{2^{n+2}}x^{n+1}
[/mm]
wie kann ich das jetzt noch zusammenfassen das ich nur mehr [mm] \summe_{0}^{ \infty}a_{n}*x^{n} [/mm] stehen hab???
Danke Stevo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 15.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Lösg deines Problems:
[mm]2*\summe_{1}^{\infty}\bruch{1}{2^{n+2}}x^{n+1}=2*\summe_{0}^{\infty} \bruch{1}{2^{n+1}}x^{n}[/mm]
bei der anderen Summe das 0te Glied einzeln ausrechnen und davor schreiben. dann fangen alls Summen bei 1 an. wenn du dann wieder bei 0 anfangen willst musst du nur n auf n+1 erhöhen.
Den Rest deiner Rechng hab ich nicht nachgeprüft, das Vorgehen aber ist richtig.
Gruss leduart
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