Taylorreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das Restglied [mm] R_{2} [/mm] in Langrange-Form von $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$,
[/mm]
$f(x) = [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+1}$
[/mm]
bei Entwicklung um [mm] x_{0} [/mm] = 1. Bestimmen Sie weiters das asymptotische Verhalten für $x [mm] \rightarrow \pm \infty. [/mm] |
Hallo,
ich hab erstmal die ersten 3 Ableitungen der Funktion gemacht.
$f(x) = [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+1}$
[/mm]
[mm] $f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x-2}{\wurzel{(x-2)^{2}+1}}$
[/mm]
[mm] $f^{(2)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{3}{2}}}$
[/mm]
[mm] $f^{(3)}(x) [/mm] = [mm] -\bruch{3\cdot (2x-4)}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}$
[/mm]
Die Taylorreihenentwicklung sieht ja so aus oder:
f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f^{(1)}(x_{0})}{1!} (x-x_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f^{(2)}(x_{0})}{2!} (x-x_{0})^{2} [/mm] + [mm] R_{2}(x)
[/mm]
Ich setze ein [mm] (x_{0} [/mm] = 1):
f(x) = [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (x-1) + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2^{3}}} (x-1)^{2} [/mm] + [mm] R_{2}(x)
[/mm]
Stimmt das soweit?
[mm] R_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{2} (x-x_{0})^{2}
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen welche Werte ich für x und t einsetzen muss?
Danke im Voraus!
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das
> Restglied [mm]R_{2}[/mm] in Langrange-Form von [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm],
>
> [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
>
> bei Entwicklung um [mm]x_{0}[/mm] = 1. Bestimmen Sie weiters das
> asymptotische Verhalten für $x [mm]\rightarrow \pm \infty.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich hab erstmal die ersten 3 Ableitungen der Funktion
> gemacht.
>
> [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]f^{(1)}(x) = \bruch{x-2}{\wurzel{(x-2)^{2}+1}}[/mm]
>
> [mm]f^{(2)}(x) = \bruch{1}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
> [mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{3\cdot (2x-4)}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
Hier muss stehen:
[mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{3\cdot (\red{x-2})}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> Die Taylorreihenentwicklung sieht ja so aus oder:
> f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]\bruch{f^{(1)}(x_{0})}{1!} (x-x_{0})[/mm] +
> [mm]\bruch{f^{(2)}(x_{0})}{2!} (x-x_{0})^{2}[/mm] + [mm]R_{2}(x)[/mm]
>
> Ich setze ein [mm](x_{0}[/mm] = 1):
>
> f(x) = [mm]\wurzel{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (x-1) +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}} (x-1)^{2}[/mm] + [mm]R_{2}(x)[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{2} (x-x_{0})^{2}[/mm]
Das Restglied nach Lagrange ergibt sich doch zu:
[mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{2} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand sagen welche Werte ich für x und t
> einsetzen muss?
Das Restglied [mm]R_{2}\left(x\right)[/mm] ist jetzt betragsmäßig abzuschätzen.
>
> Danke im Voraus!
>
> Lg
Gruss
MathePower
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|
> Hallo dreamweaver,
>
> > Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das
> > Restglied [mm]R_{2}[/mm] in Langrange-Form von [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm],
>
> >
> > [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
> >
> > bei Entwicklung um [mm]x_{0}[/mm] = 1. Bestimmen Sie weiters das
> > asymptotische Verhalten für $x [mm]\rightarrow \pm \infty.[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich hab erstmal die ersten 3 Ableitungen der Funktion
> > gemacht.
> >
> > [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
> >
> > [mm]f^{(1)}(x) = \bruch{x-2}{\wurzel{(x-2)^{2}+1}}[/mm]
> >
> > [mm]f^{(2)}(x) = \bruch{1}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> >
> > [mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{3\cdot (2x-4)}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
>
> Hier muss stehen:
>
> [mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{3\cdot (\red{x-2})}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
Bist du dir sicher? Hab mir meine Ableitung nochmal angesehen und keinen Fehler entdeckt. Es wird ja [mm] (x^{2} [/mm] - 4x + [mm] 5)^{-\bruch{3}{2}} [/mm] mit der Kettenregel abgeleitet. Da erhalte ich für den inneren Therm doch (2x - 4) oder etwa nicht?
>
>
> >
> > Die Taylorreihenentwicklung sieht ja so aus oder:
> > f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]\bruch{f^{(1)}(x_{0})}{1!} (x-x_{0})[/mm]
> +
> > [mm]\bruch{f^{(2)}(x_{0})}{2!} (x-x_{0})^{2}[/mm] + [mm]R_{2}(x)[/mm]
> >
> > Ich setze ein [mm](x_{0}[/mm] = 1):
> >
> > f(x) = [mm]\wurzel{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (x-1) +
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}} (x-1)^{2}[/mm] + [mm]R_{2}(x)[/mm]
> >
> > Stimmt das soweit?
> >
>
>
> Ja.
>
>
> >
> > [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{2} (x-x_{0})^{2}[/mm]
>
>
> Das Restglied nach Lagrange ergibt sich doch zu:
>
> [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
Ja stimmt, habs übersehen. In den Nenner gehört auch noch 3! wenn ich mich nicht irre.
>
>
> >
> > Kann mir bitte jemand sagen welche Werte ich für x und t
> > einsetzen muss?
>
>
> Das Restglied [mm]R_{2}\left(x\right)[/mm] ist jetzt betragsmäßig
> abzuschätzen.
>
Ok, kannst du mir bitte dabei helfen?
Muss ich das Restglied für x [mm] \rightarrow \infty [/mm] und x [mm] \rightarrow [/mm] 0 abschätzen?
In der Angabe steht ja: Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das Restglied [mm] R_{2} [/mm] in Langrange-Form von [mm] \red{f: \IR \rightarrow \IR},
[/mm]
$ f(x) = [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+1} [/mm] $
bei Entwicklung um $ [mm] x_{0} [/mm] $ = 1. Bestimmen Sie weiters das asymptotische Verhalten für $x [mm] \rightarrow \pm \infty. [/mm] $
Wie gehe ich nun vor?
Ich weiß nicht wie ich mit dem Abschätzen anfangen soll.
|R(x,0)| [mm] \le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}
[/mm]
[mm] |R(x,\infty)| \le [/mm] ...
Ist das brauchbar, oder totaler Unsinn?
Vielen Dank!
Lg
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Hallo dreamweaver,
> > Hallo dreamweaver,
> >
> > > Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das
> > > Restglied [mm]R_{2}[/mm] in Langrange-Form von [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm],
>
> >
> > >
> > > [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
> > >
> > > bei Entwicklung um [mm]x_{0}[/mm] = 1. Bestimmen Sie weiters das
> > > asymptotische Verhalten für $x [mm]\rightarrow \pm \infty.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich hab erstmal die ersten 3 Ableitungen der Funktion
> > > gemacht.
> > >
> > > [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
> > >
> > > [mm]f^{(1)}(x) = \bruch{x-2}{\wurzel{(x-2)^{2}+1}}[/mm]
> > >
> > > [mm]f^{(2)}(x) = \bruch{1}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> >
> >
> > > [mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{3\cdot (2x-4)}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> >
> >
> > Hier muss stehen:
> >
> > [mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{3\cdot (\red{x-2})}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> Bist du dir sicher? Hab mir meine Ableitung nochmal
> angesehen und keinen Fehler entdeckt. Es wird ja [mm](x^{2}[/mm] -
> 4x + [mm]5)^{-\bruch{3}{2}}[/mm] mit der Kettenregel abgeleitet. Da
> erhalte ich für den inneren Therm doch (2x - 4) oder etwa
> nicht?
> >
Die Ableitung lautet doch
[mm]-\bruch{3}{2}*\left(x^{2} -4x + 5\right)^{-\bruch{5}{2}}*\left(2x-4\right)[/mm]
[mm]=-3*\left(x-2\right)*\left(x^{2} -4x + 5\right)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> >
> > >
> > > Die Taylorreihenentwicklung sieht ja so aus oder:
> > > f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]\bruch{f^{(1)}(x_{0})}{1!} (x-x_{0})[/mm]
> > +
> > > [mm]\bruch{f^{(2)}(x_{0})}{2!} (x-x_{0})^{2}[/mm] + [mm]R_{2}(x)[/mm]
> > >
> > > Ich setze ein [mm](x_{0}[/mm] = 1):
> > >
> > > f(x) = [mm]\wurzel{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (x-1) +
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}} (x-1)^{2}[/mm] + [mm]R_{2}(x)[/mm]
> > >
> > > Stimmt das soweit?
> > >
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > >
> > > [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{2} (x-x_{0})^{2}[/mm]
>
> >
> >
> > Das Restglied nach Lagrange ergibt sich doch zu:
> >
> > [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> Ja stimmt, habs übersehen. In den Nenner gehört auch noch
> 3! wenn ich mich nicht irre.
> >
Da irrst Du nicht.
> >
> > >
> > > Kann mir bitte jemand sagen welche Werte ich für x und t
> > > einsetzen muss?
> >
> >
> > Das Restglied [mm]R_{2}\left(x\right)[/mm] ist jetzt betragsmäßig
> > abzuschätzen.
> >
>
> Ok, kannst du mir bitte dabei helfen?
>
> Muss ich das Restglied für x [mm]\rightarrow \infty[/mm] und x
> [mm]\rightarrow[/mm] 0 abschätzen?
> In der Angabe steht ja: Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom
> Grad 2 und das Restglied [mm]R_{2}[/mm] in Langrange-Form von
> [mm]\red{f: \IR \rightarrow \IR},[/mm]
>
> [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
>
> bei Entwicklung um [mm]x_{0}[/mm] = 1. Bestimmen Sie weiters das
> asymptotische Verhalten für [mm]x \rightarrow \pm \infty.[/mm]
>
> Wie gehe ich nun vor?
>
> Ich weiß nicht wie ich mit dem Abschätzen anfangen soll.
>
> |R(x,0)| [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> [mm]|R(x,\infty)| \le[/mm] ...
>
> Ist das brauchbar, oder totaler Unsinn?
Die Ungleichung
|R(x,0)| [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
ist brauchbar.
>
> Vielen Dank!
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hallo, ich bins wieder.
> Die Ungleichung
>
> |R(x,0)| [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> ist brauchbar.
>
Ok, setze ich nun [mm] x_{0} [/mm] = 0 ein?
Welchen Wert nehme ich für t an?
Ich hab jetzt mal für t den Wert 0 angenommen.
$|R(x,0)| [mm] \le \bruch{-\bruch{3(0-2)}{(0^{2} - 0 + 5)^{\bruch{5}{2}}}}{3!}\cdot (x-0)^{3}$
[/mm]
$|R(x,0)| [mm] \le \bruch{x^{3}}{5^{\bruch{5}{2}}} [/mm] $
Kann das stimmen??
>
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Lg
>
>
> Gruss
> MathePower
Lg
dreamweaver
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Hallo dreamweaver,
> Hallo, ich bins wieder.
>
> > Die Ungleichung
> >
> > |R(x,0)| [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> >
> > ist brauchbar.
> >
>
> Ok, setze ich nun [mm]x_{0}[/mm] = 0 ein?
[mm]x_{0}[/mm] ist doch die Entwicklungsstelle [mm]x_{0}=1[/mm]
> Welchen Wert nehme ich für t an?
> Ich hab jetzt mal für t den Wert 0 angenommen.
>
> [mm]|R(x,0)| \le \bruch{-\bruch{3(0-2)}{(0^{2} - 0 + 5)^{\bruch{5}{2}}}}{3!}\cdot (x-0)^{3}[/mm]
>
> [mm]|R(x,0)| \le \bruch{x^{3}}{5^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> Kann das stimmen??
>
Nein, das stimmt nicht.
[mm]|R(x,x_{0})|[/mm] ist durch das Maximum von [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}}[/mm] abzuschätzen.
>
> >
> > >
> > > Vielen Dank!
> > >
> > > Lg
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Lg
> dreamweaver
>
Gruss
MathePower
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> Hallo dreamweaver,
>
> > Hallo, ich bins wieder.
> >
> > > Die Ungleichung
> > >
> > > |R(x,0)| [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ist brauchbar.
> > >
> >
> > Ok, setze ich nun [mm]x_{0}[/mm] = 0 ein?
>
>
> [mm]x_{0}[/mm] ist doch die Entwicklungsstelle [mm]x_{0}=1[/mm]
>
>
> > Welchen Wert nehme ich für t an?
> > Ich hab jetzt mal für t den Wert 0 angenommen.
> >
> > [mm]|R(x,0)| \le \bruch{-\bruch{3(0-2)}{(0^{2} - 0 + 5)^{\bruch{5}{2}}}}{3!}\cdot (x-0)^{3}[/mm]
>
> >
> > [mm]|R(x,0)| \le \bruch{x^{3}}{5^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
> >
> > Kann das stimmen??
> >
>
>
> Nein, das stimmt nicht.
>
> [mm]|R(x,x_{0})|[/mm] ist durch das Maximum von
> [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}}[/mm] abzuschätzen.
Das Maximum von [mm] \vmat{f^{\left(3\right)}} [/mm] bekomm ich in diesem Fall doch mit [mm] x_{0} [/mm] = 1 oder?
Also setze ich [mm] x_{0} [/mm] = 1 und t = 0 in die Ungleichung ein um das Maximum zu erlangen?
$|R(x,1)| [mm] \le \bruch{f^{(3)}(1+1\cdot(x-1))}{3!} (x-1)^{3}$
[/mm]
Setze ich nun in die Funktion [mm] f^{(3)} [/mm] folgendes ein: [mm] (1+0\cdot(x-1)) [/mm] ?
Ok ich habs jetzt mal so gemacht.
Dann krieg ich folgendes raus:
$|R(x,1)| [mm] \le \bruch{-\bruch{3(1-2)}{(1^{2}-4+5)^{\bruch{5}{2}}}}{3!} (x-1)^{3}$
[/mm]
$|R(x,1)| [mm] \le \bruch{1}{2\cdot \wurzel{2^{5}}} \cdot (x-1)^{3}$
[/mm]
Stimmt es nun?
Lg
dreamweaver
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Hallo dreamweaver,
> > Hallo dreamweaver,
> >
> > > Hallo, ich bins wieder.
> > >
> > > > Die Ungleichung
> > > >
> > > > |R(x,0)| [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{\red{3!}} (x-x_{0})^{\blue{3}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > ist brauchbar.
> > > >
> > >
> > > Ok, setze ich nun [mm]x_{0}[/mm] = 0 ein?
> >
> >
> > [mm]x_{0}[/mm] ist doch die Entwicklungsstelle [mm]x_{0}=1[/mm]
> >
> >
> > > Welchen Wert nehme ich für t an?
> > > Ich hab jetzt mal für t den Wert 0 angenommen.
> > >
> > > [mm]|R(x,0)| \le \bruch{-\bruch{3(0-2)}{(0^{2} - 0 + 5)^{\bruch{5}{2}}}}{3!}\cdot (x-0)^{3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]|R(x,0)| \le \bruch{x^{3}}{5^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
> > >
> > > Kann das stimmen??
> > >
> >
> >
> > Nein, das stimmt nicht.
> >
> > [mm]|R(x,x_{0})|[/mm] ist durch das Maximum von
> > [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}}[/mm] abzuschätzen.
>
> Das Maximum von [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}}[/mm] bekomm ich in
> diesem Fall doch mit [mm]x_{0}[/mm] = 1 oder?
>
> Also setze ich [mm]x_{0}[/mm] = 1 und t = 0 in die Ungleichung ein
> um das Maximum zu erlangen?
>
> [mm]|R(x,1)| \le \bruch{f^{(3)}(1+1\cdot(x-1))}{3!} (x-1)^{3}[/mm]
>
> Setze ich nun in die Funktion [mm]f^{(3)}[/mm] folgendes ein:
> [mm](1+0\cdot(x-1))[/mm] ?
>
> Ok ich habs jetzt mal so gemacht.
> Dann krieg ich folgendes raus:
>
> [mm]|R(x,1)| \le \bruch{-\bruch{3(1-2)}{(1^{2}-4+5)^{\bruch{5}{2}}}}{3!} (x-1)^{3}[/mm]
>
>
> [mm]|R(x,1)| \le \bruch{1}{2\cdot \wurzel{2^{5}}} \cdot (x-1)^{3}[/mm]
>
> Stimmt es nun?
Nein.
Ich glaube, da wirst Du um die Bestimmung
des Maximums von [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}}[/mm] nicht herumkommen.
>
> Lg
> dreamweaver
>
Gruss
MathePower
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Ok um das Maximum der Funktion [mm] f^{(3)}(x) [/mm] zu erhalten muss ich diese Funktion erstmal ableiten oder?
[mm] f^{(3)}(x) [/mm] = -3 (x-2) [mm] (x^{2} [/mm] - 4x + [mm] 5)^{-\bruch{5}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}
[/mm]
Jetzt muss ich die Funktion [mm] f^{(4)}(x) [/mm] nullsetzen oder?
[mm] 12x^{2}-48x+45 [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Also ist mein Maximum das [mm] x_{1} [/mm] ?
Das setze ich nun für x ein? Und für [mm] x_{0} [/mm] setze ich 1 ein?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Ok um das Maximum der Funktion [mm]f^{(3)}(x)[/mm] zu erhalten muss
> ich diese Funktion erstmal ableiten oder?
>
> [mm]f^{(3)}(x)[/mm] = -3 (x-2) [mm](x^{2}[/mm] - 4x + [mm]5)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
>
> [mm]f^{(4)}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
>
> Jetzt muss ich die Funktion [mm]f^{(4)}(x)[/mm] nullsetzen oder?
>
> [mm]12x^{2}-48x+45[/mm] = 0
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Also ist mein Maximum das [mm]x_{1}[/mm] ?
Ob an [mm]x_{1}[/mm] ein Maximum vorliegt, müßtest
Du jetzt mit [mm]f^{\left(5\right)}[/mm] prüfen. Betragsmäßig
kommt an der Stelle [mm]x_{1}[/mm] als auch an der
Stelle [mm]x_{2}[/mm] dasselbe heraus.
>
> Das setze ich nun für x ein? Und für [mm]x_{0}[/mm] setze ich 1
> ein?
Ja, genau.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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> Hallo dreamweaver,
>
> > Ok um das Maximum der Funktion [mm]f^{(3)}(x)[/mm] zu erhalten muss
> > ich diese Funktion erstmal ableiten oder?
> >
> > [mm]f^{(3)}(x)[/mm] = -3 (x-2) [mm](x^{2}[/mm] - 4x + [mm]5)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> >
> > [mm]f^{(4)}(x)[/mm] =
> > [mm]\bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
> >
> > Jetzt muss ich die Funktion [mm]f^{(4)}(x)[/mm] nullsetzen oder?
> >
> > [mm]12x^{2}-48x+45[/mm] = 0
> >
> > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> > [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> >
> > Also ist mein Maximum das [mm]x_{1}[/mm] ?
>
>
> Ob an [mm]x_{1}[/mm] ein Maximum vorliegt, müßtest
> Du jetzt mit [mm]f^{\left(5\right)}[/mm] prüfen. Betragsmäßig
> kommt an der Stelle [mm]x_{1}[/mm] als auch an der
> Stelle [mm]x_{2}[/mm] dasselbe heraus.
Wie kann ich das mit der Ableitung prüfen?
Wie kommst du drauf das für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] dasselbe rauskommt? Meinst du jetzt bei [mm] f^{\left(5\right)}?
[/mm]
>
>
> >
> > Das setze ich nun für x ein? Und für [mm]x_{0}[/mm] setze ich 1
> > ein?
>
>
> Ja, genau.
>
>
> >
> > Lg
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo dreamweaver,
> > Hallo dreamweaver,
> >
> > > Ok um das Maximum der Funktion [mm]f^{(3)}(x)[/mm] zu erhalten muss
> > > ich diese Funktion erstmal ableiten oder?
> > >
> > > [mm]f^{(3)}(x)[/mm] = -3 (x-2) [mm](x^{2}[/mm] - 4x + [mm]5)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> > >
> > > [mm]f^{(4)}(x)[/mm] =
> > > [mm]\bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
> > >
> > > Jetzt muss ich die Funktion [mm]f^{(4)}(x)[/mm] nullsetzen oder?
> > >
> > > [mm]12x^{2}-48x+45[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> > > [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> > >
> > > Also ist mein Maximum das [mm]x_{1}[/mm] ?
> >
> >
> > Ob an [mm]x_{1}[/mm] ein Maximum vorliegt, müßtest
> > Du jetzt mit [mm]f^{\left(5\right)}[/mm] prüfen.
> Betragsmäßig
> > kommt an der Stelle [mm]x_{1}[/mm] als auch an der
> > Stelle [mm]x_{2}[/mm] dasselbe heraus.
>
> Wie kann ich das mit der Ableitung prüfen?
Nun, über den Vorzeichenwechsel von [mm]f^{\left(4\right)}[/mm]
> Wie kommst du drauf das für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] dasselbe
Für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] kommt betragsmäßig dasselbe heraus.
[mm]\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{1}\right)}=\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{2}\right)}[/mm]
> rauskommt? Meinst du jetzt bei [mm]f^{\left(5\right)}?[/mm]
Nein, ich meine [mm]f^{\left(3\right)}.[/mm]
Gruss
MathePower
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> Hallo dreamweaver,
>
> > > Hallo dreamweaver,
> > >
> > > > Ok um das Maximum der Funktion [mm]f^{(3)}(x)[/mm] zu erhalten muss
> > > > ich diese Funktion erstmal ableiten oder?
> > > >
> > > > [mm]f^{(3)}(x)[/mm] = -3 (x-2) [mm](x^{2}[/mm] - 4x + [mm]5)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f^{(4)}(x)[/mm] =
> > > > [mm]\bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
> > > >
> > > > Jetzt muss ich die Funktion [mm]f^{(4)}(x)[/mm] nullsetzen oder?
> > > >
> > > > [mm]12x^{2}-48x+45[/mm] = 0
> > > >
> > > > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> > > > [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> > > >
> > > > Also ist mein Maximum das [mm]x_{1}[/mm] ?
> > >
> > >
> > > Ob an [mm]x_{1}[/mm] ein Maximum vorliegt, müßtest
> > > Du jetzt mit [mm]f^{\left(5\right)}[/mm] prüfen.
> > Betragsmäßig
> > > kommt an der Stelle [mm]x_{1}[/mm] als auch an der
> > > Stelle [mm]x_{2}[/mm] dasselbe heraus.
> >
> > Wie kann ich das mit der Ableitung prüfen?
>
>
> Nun, über den Vorzeichenwechsel von [mm]f^{\left(4\right)}[/mm]
Was meinst du damit? Soll ich jetzt die errechneten Werte also [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in [mm] f^{\left(4\right)} [/mm] einsetzen und schaun ob sich das Vorzeichen ändert? Und wenn sie sich nicht ändern, hab ich das wirkliche Maximum?
>
>
> > Wie kommst du drauf das für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] dasselbe
>
>
> Für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] kommt betragsmäßig dasselbe heraus.
>
> [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{1}\right)}=\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{2}\right)}[/mm]
>
>
> > rauskommt? Meinst du jetzt bei [mm]f^{\left(5\right)}?[/mm]
>
>
> Nein, ich meine [mm]f^{\left(3\right)}.[/mm]
Ok, das nützt mir jetzt aber noch nichts, da ich ja erst noch überprüfen muss, ob ich wirklich das Maximum gefunden habe oder?
Und wenn ich das Maximum dann gefunden habe, kann ich den Wert für die Restgliedberechnung heranziehen?
>
>
> Gruss
> MathePower
Lg
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Hallo dreamweaver,
> > Hallo dreamweaver,
> >
> > > > Hallo dreamweaver,
> > > >
> > > > > Ok um das Maximum der Funktion [mm]f^{(3)}(x)[/mm] zu erhalten muss
> > > > > ich diese Funktion erstmal ableiten oder?
> > > > >
> > > > > [mm]f^{(3)}(x)[/mm] = -3 (x-2) [mm](x^{2}[/mm] - 4x + [mm]5)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f^{(4)}(x)[/mm] =
> > > > > [mm]\bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
> > > > >
> > > > > Jetzt muss ich die Funktion [mm]f^{(4)}(x)[/mm] nullsetzen oder?
> > > > >
> > > > > [mm]12x^{2}-48x+45[/mm] = 0
> > > > >
> > > > > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> > > > > [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> > > > >
> > > > > Also ist mein Maximum das [mm]x_{1}[/mm] ?
> > > >
> > > >
> > > > Ob an [mm]x_{1}[/mm] ein Maximum vorliegt, müßtest
> > > > Du jetzt mit [mm]f^{\left(5\right)}[/mm] prüfen.
> > > Betragsmäßig
> > > > kommt an der Stelle [mm]x_{1}[/mm] als auch an der
> > > > Stelle [mm]x_{2}[/mm] dasselbe heraus.
> > >
> > > Wie kann ich das mit der Ableitung prüfen?
> >
> >
> > Nun, über den Vorzeichenwechsel von [mm]f^{\left(4\right)}[/mm]
> Was meinst du damit? Soll ich jetzt die errechneten Werte
> also [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] in [mm]f^{\left(4\right)}[/mm] einsetzen und
> schaun ob sich das Vorzeichen ändert? Und wenn sie sich
> nicht ändern, hab ich das wirkliche Maximum?
Setze einen Wert kleiner als [mm]x_{1}[/mm] und eine Wert
größer als [mm]x_{1}[/mm] in [mm]f^{\left(3\right)}[/mm] ein und stelle fest,
in welcher Weise sich das Vorzeichen ändert.
> >
> >
> > > Wie kommst du drauf das für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] dasselbe
> >
> >
> > Für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] kommt betragsmäßig dasselbe heraus.
> >
> >
> [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{1}\right)}=\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{2}\right)}[/mm]
> >
> >
> > > rauskommt? Meinst du jetzt bei [mm]f^{\left(5\right)}?[/mm]
> >
> >
> > Nein, ich meine [mm]f^{\left(3\right)}.[/mm]
>
> Ok, das nützt mir jetzt aber noch nichts, da ich ja erst
> noch überprüfen muss, ob ich wirklich das Maximum
> gefunden habe oder?
> Und wenn ich das Maximum dann gefunden habe, kann ich den
> Wert für die Restgliedberechnung heranziehen?
Ja.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hallo,
>
> Setze einen Wert kleiner als [mm]x_{1}[/mm] und eine Wert
> größer als [mm]x_{1}[/mm] in [mm]f^{\left(3\right)}[/mm] ein und stelle
> fest,
> in welcher Weise sich das Vorzeichen ändert.
Also bei einem Wert < [mm] x_{1} [/mm] kommt ein positives Ergebnis raus.
Bei einem Wert > [mm] x_{1} [/mm] ein negatives.
Das bedeutet also, dass [mm] x_{1} [/mm] das Maximum ist, da bei allen größeren x Werten das Ergebnis kleiner wird?
Die Werte müssen doch in [mm] $f^{3}(x)$ [/mm] eingesetzt werden oder?
Wofür brauch ich dann die 5. Ableitung?
>
>
> > >
> > >
> > > > Wie kommst du drauf das für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] dasselbe
> > >
> > >
> > > Für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] kommt betragsmäßig dasselbe heraus.
> > >
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> [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{1}\right)}=\vmat{f^{\left(3\right)}\left(x_{2}\right)}[/mm]
> > >
> > >
> > > > rauskommt? Meinst du jetzt bei [mm]f^{\left(5\right)}?[/mm]
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> > >
> > > Nein, ich meine [mm]f^{\left(3\right)}.[/mm]
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> > Ok, das nützt mir jetzt aber noch nichts, da ich ja erst
> > noch überprüfen muss, ob ich wirklich das Maximum
> > gefunden habe oder?
> > Und wenn ich das Maximum dann gefunden habe, kann ich
> den
> > Wert für die Restgliedberechnung heranziehen?
>
>
> Ja.
>
>
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> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Lg
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo dreamweaver,
> Hallo,
>
> >
> > Setze einen Wert kleiner als [mm]x_{1}[/mm] und eine Wert
> > größer als [mm]x_{1}[/mm] in [mm]f^{\left(3\right)}[/mm] ein und stelle
> > fest,
> > in welcher Weise sich das Vorzeichen ändert.
>
> Also bei einem Wert < [mm]x_{1}[/mm] kommt ein positives Ergebnis
> raus.
> Bei einem Wert > [mm]x_{1}[/mm] ein negatives.
> Das bedeutet also, dass [mm]x_{1}[/mm] das Maximum ist, da bei
> allen größeren x Werten das Ergebnis kleiner wird?
>
> Die Werte müssen doch in [mm]f^{3}(x)[/mm] eingesetzt werden oder?
> Wofür brauch ich dann die 5. Ableitung?
>
Die 5. Ableitung benötigst Du jetzt nicht mehr,
da die Art des Extremums über den Vorzeichenwechsel entschieden wurde.
Gruss
MathePower
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Alles klar.
Also hab jetzt das Restglied folgendermaßen berechnet:
[mm] $|R_{2}(x, x_{0})| \le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{3!}(x-x_{0})^{3}$
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] x_{0} [/mm] = 1
x = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
t = 1
[mm] $|R_{2}(\bruch{5}{2}, [/mm] 1)| [mm] \le \bruch{f^{(3)}(1+1(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} [/mm] = -0,4829$
[mm] x_{0} [/mm] = 1
x = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
t = 0
[mm] $|R_{2}(\bruch{5}{2}, [/mm] 1)| [mm] \le \bruch{f^{(3)}(1+0(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} [/mm] = 0,298$
Ich gehe davon aus, dass die zweite Berechnung mit t = 0 eher stimmt. Stimmt die Berechnung nun? Woher weiß ich, welchen Wert t annimmt?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Alles klar.
>
> Also hab jetzt das Restglied folgendermaßen berechnet:
>
> [mm]|R_{2}(x, x_{0})| \le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{3!}(x-x_{0})^{3}[/mm]
>
> Eingesetzt:
> [mm]x_{0}[/mm] = 1
> x = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> t = 1
> [mm]|R_{2}(\bruch{5}{2}, 1)| \le \bruch{f^{(3)}(1+1(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} = -0,4829[/mm]
>
>
> [mm]x_{0}[/mm] = 1
> x = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> t = 0
> [mm]|R_{2}(\bruch{5}{2}, 1)| \le \bruch{f^{(3)}(1+0(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} = 0,298[/mm]
>
> Ich gehe davon aus, dass die zweite Berechnung mit t = 0
> eher stimmt. Stimmt die Berechnung nun? Woher weiß ich,
> welchen Wert t annimmt?
Diese Frage hast Du auch hier gestellt.
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> Lg
Gruss
MathePower
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Ja tut mir leid, wollte auch nochmal alles zusammenfassen.
Wird nicht mehr vorkommen.
Lg
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