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Hallo Leute,
ich stehe mit der Exponentialgleichung irgendwie auf Kriegsfuss. Ich habe mitlerweile verstanden, dass exp(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} x^{n}/n! [/mm] ist.
Nun meine Frage: Wie kann ich die Reihe denn mit Hilfe der Taylorreihe entwickeln??? (Frage steht so in unserem Skript)
Also ich soll durch die Taylorreihenentwicklung auf [mm] \summe_{i=0}^{\infty} x^{n}/n! [/mm] kommen.
Liebe Grüße
Sabine
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Hallo!
> Hallo Leute,
> ich stehe mit der Exponentialgleichung irgendwie auf
> Kriegsfuss. Ich habe mitlerweile verstanden, dass exp(x) =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^{n}/n![/mm] ist.
> Nun meine Frage: Wie kann ich die Reihe denn mit Hilfe der
> Taylorreihe entwickeln??? (Frage steht so in unserem
> Skript)
> Also ich soll durch die Taylorreihenentwicklung auf
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^{n}/n![/mm] kommen.
Mir ist zwar jetzt nicht ganz klar, was ihr benutzen dürft, aber du brauchst nur Folgendes:
- Die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] ist wieder [mm] e^{x}.
[/mm]
- Es gilt [mm] e^{0} [/mm] = 1.
Wenn ihr das beides benutzen dürft, brauchst du doch nur in die Taylor-Formel
$T(x) = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{n}(0)}{n!}*x^{n}$
[/mm]
für Entwicklungspunkt 0 einzusetzen!
Anmerkung: Wenn ihr wirklich nur die Potenzreihe für [mm] e^{x} [/mm] gegeben habt, kannst du zumindest [mm] e^{0} [/mm] schonmal leicht verifizieren. Da die Potenzreihe absolut konvergiert, darfst du außerdem gliedweise ableiten...
Grüße,
Stefan
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Ja, also wir wissen breits beides. Wenn ich jetzt also nach 0 entwickeln soll, kann ich sagen:
e(x) = 1 + e(1)*x + e(2)/2 * [mm] x^{2} [/mm] + ....
oder?
Hmm, aber wir kommt man denn überhauptdarauf? Kann man das iwie nachvollziehbar folgern (also auch für mich verständlich)?! Oder wurde das früher mal durch einen sehr schweren Beweis so hergeleitet und gilt seitdem als "bekannt"? Ich kann die Herleitung warum e(x) = $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty} x^{n}/n! [/mm] $ gilt nämlich wirklich nirgendwo finden...
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, also wir wissen breits beides. Wenn ich jetzt also nach
> 0 entwickeln soll, kann ich sagen:
>
> e(x) = 1 + e(1)*x + e(2)/2 * [mm]x^{2}[/mm] + ....
>
> oder?
????????????? Wie kommst Du denn da drauf ? Stefan hats doch gesagt:
$ [mm] e^x [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{n}(0)}{n!}\cdot{}x^{n} [/mm] $
mit [mm] f(x)=e^x
[/mm]
Nun berechne doch mal die n-ten Ableitungen im Nullpunkt
FRED
> Hmm, aber wir kommt man denn überhauptdarauf? Kann man
> das iwie nachvollziehbar folgern (also auch für mich
> verständlich)?! Oder wurde das früher mal durch einen
> sehr schweren Beweis so hergeleitet und gilt seitdem als
> "bekannt"? Ich kann die Herleitung warum e(x) =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^{n}/n![/mm] gilt nämlich wirklich
> nirgendwo finden...
>
> Liebe Grüße
> Sabine
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Hallo,
noch als Ergänzung:
Meist definiert man [mm] $\exp(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$, [/mm] da gibt es also nichts zu zeigen, warum das so ist!
Grüße,
Stefan
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