Teilbarkeit. Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
wie kann man beweisen, dass der Ausdruck
(66^777)-1 restlos durch 13 teilbar ist?
Mein Ansatz: Zunächst den Beweis erstellen, dass der Ausdruck durch 1001 restlos teilbar ist. Kann mir jemand helfen? Der Beweis soll ganz einfach sein.
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Mi 19.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Ferma!
> wie kann man beweisen, dass der Ausdruck
> (66^777)-1 restlos durch 13 teilbar ist?
> Mein Ansatz: Zunächst den Beweis erstellen, dass der
> Ausdruck durch 1001 restlos teilbar ist. Kann mir jemand
> helfen? Der Beweis soll ganz einfach sein.
Es ist $66 = 5 [mm] \cdot [/mm] 13 + 1$. Da steht also $(1 + 5 [mm] \cdot 13)^{777} [/mm] - 1$. Wenn du jetzt die binomische Formel anwendest, siehst du, dass jeder Term durch 13 teilbar ist (der Term in $(1 + 5 [mm] \cdot 13)^{777}$ [/mm] der es nicht ist ist 1, und wird von der -1 weggemacht).
Wenn du Modulo-Rechnung verwenden darfst: [mm] $66^{777} [/mm] - 1 [mm] \equiv 1^{777} [/mm] - 1 [mm] \equiv [/mm] 1 - 1 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{13}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Ferma |
wie sieht es aus mit:( 77^666)-1
das ist auch restlos teilbar durch 13. Hier gilt 77=6*13-1
Bitte erkläre mir das mit der Modulo-Rechnung. Wie liest man deinen letzten Ausdruck in Worten? wieso gilt: 66^777 identisch 1^777?
VG Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du was "modulo" Rechnung ist? also etwa was 66 mod 13 ist dann erklär wie du a=2mod 13 , b=3mod 13 a*b=? mod 13 rechnest.
vielleicht kennst du es besser unter der Bezeichnung Restklassen . etwa [mm] \IZ_{13}
[/mm]
Wenn du solche aufgaben bearbeitest solltest du das doch gehabt haben?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mi 19.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> wie sieht es aus mit:( 77^666)-1
> das ist auch restlos teilbar durch 13. Hier gilt
> 77=6*13-1
Wieder mit dem binomischen Lehrsatz kannst du [mm] $77^{666} [/mm] = (-1 + [mm] 6\cdot13)^{666}$ [/mm] schreiben als [mm] $(-1)^{666} [/mm] + 13 [mm] \cdot [/mm] X$ mit irgendeiner ganzen Zahl $X$. Nun ist [mm] $(-1)^{666}$ [/mm] wieder gleich 1, womit [mm] $77^{777} [/mm] - 1 = 1 + 13 [mm] \cdot [/mm] X - 1$ durch 13 teilbar ist.
Du kannst uebrigens 666 durch irgendeine andere gerade ganze Zahl ersetzen... Und die 777 bei [mm] $66^{777} [/mm] - 1$ durch jede beliebige ganze Zahl.
> Bitte erkläre mir das mit der Modulo-Rechnung. Wie liest
> man deinen letzten Ausdruck in Worten? wieso gilt: 66^777
> identisch 1^777?
Das "identisch" ist Teil der Modulo-Schreibweise: man schreibt $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{c}$ [/mm] genau dann, wenn $c$ ein Teiler von $b - a$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Do 20.10.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo Felix,
danke für die kompetente und verständliche Hilfe.
Viele Grüße
Ferma
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