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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Do 13.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Seien $a,b,c,n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $ggT(a,b)=1$ und [mm] $a*b=c^n$. [/mm]
Zeigen Sie: Es existieren $d,e [mm] \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $a=d^n$ [/mm] und [mm] $b=e^n$ [/mm] gilt. |
Hallo Forum,
ich hab gestern schon etwas länger an dieser Aufgabe gesessen. Die zündende Idee habe ich leider noch nicht.
Ich wäre so gut wie fertig, wenn ich zeigen könnte, daß $a$ in der Form [mm] $a=x^n$ [/mm] bei $x [mm] \in \IN$ [/mm] existiert. Ich weiß aber noch nicht genau, wie ich das zeigen kann.
Grüße,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Do 13.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Seien [mm]a,b,c,n \in \IN[/mm] mit [mm]ggT(a,b)=1[/mm] und [mm]a*b=c^n[/mm].
> Zeigen Sie: Es existieren [mm]d,e \in \IN[/mm], so dass [mm]a=d^n[/mm] und
> [mm]b=e^n[/mm] gilt.
Hallo,
das funktioniert trivial für d=1 und e=c.
Gruß Abakus
> Hallo Forum,
> ich hab gestern schon etwas länger an dieser Aufgabe
> gesessen. Die zündende Idee habe ich leider noch nicht.
>
> Ich wäre so gut wie fertig, wenn ich zeigen könnte, daß
> [mm]a[/mm] in der Form [mm]a=x^n[/mm] bei [mm]x \in \IN[/mm] existiert. Ich weiß aber
> noch nicht genau, wie ich das zeigen kann.
>
> Grüße,
> Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 13.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo abakus!
> > Seien [mm]a,b,c,n \in \IN[/mm] mit [mm]ggT(a,b)=1[/mm] und [mm]a*b=c^n[/mm].
> > Zeigen Sie: Es existieren [mm]d,e \in \IN[/mm], so dass [mm]a=d^n[/mm]
> und
> > [mm]b=e^n[/mm] gilt.
> das funktioniert trivial für d=1 und e=c.
Nein, diese Wahlen von c und d funktionieren nur im Falle $a=1$.
(Beachte, dass $a$ und $b$ vorgegeben sind.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
ich würde das über die Primfaktorzerlegung von [mm] $c^n$ [/mm] machen. Aufgrund der Teilerfremdheit von a und b haben diese ja verschiedene Primfaktoren. Und die Gleichung [mm] $ab=c^n$ [/mm] liefert die Vielfachheiten der Primteiler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Do 13.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Ja, das werde ich so probieren und dann meinen Entwurf hier einsetzen. Vielen Dank für die Antworten und viele Grüße,
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Fr 14.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum, ich stelle jetzt mal meinen Ansatz ein und würde mich über Kommentare freuen.
Da a und b teilerfremd sind, sind die Mengen der Primteiler von $a$ und $b$ disjunkt und aufgrund von [mm] $a*b=c^n$ [/mm] existieren $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] für die gilt [mm] $x^n*y^n=c^n$. [/mm] Es kann also $a$ als [mm] $a=x^n$ [/mm] und $b$ als [mm] $b=y^n$ [/mm] ausgedrückt werden.
[mm] $a*b=c^n$
[/mm]
[mm] $a*y^n=c^n$
[/mm]
[mm] $a=\frac{c^n}{y^n}$
[/mm]
[mm] $a=(\frac{c}{y})^n
[/mm]
Da [mm] b=y^n [/mm] ein Teiler von [mm] c^n [/mm] ist, so gilt auch $y|c$ und es existiert ein $d$ [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $d=\frac{c}{y}$. [/mm] Somit ist [mm] $a=(\frac{c}{y})^n=d^n$, [/mm] was zu zeigen war.
Viele Grüße,
Micha
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> Hallo Forum, ich stelle jetzt mal meinen Ansatz ein und
> würde mich über Kommentare freuen.
>
>
> Da a und b teilerfremd sind, sind die Mengen der Primteiler
> von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] disjunkt und aufgrund von [mm]a*b=c^n[/mm] existieren
> [mm]x,y \in \IN[/mm] für die gilt [mm]x^n*y^n=c^n[/mm]. Es kann also [mm]a[/mm] als
> [mm]a=x^n[/mm] und [mm]b[/mm] als [mm]b=y^n[/mm] ausgedrückt werden.
Das ist doch gerade zu zeigen. Und du behauptest es nur.
z.B. ist [mm] $36\cdot 1=36=4\cdot [/mm] 9$, es gilt aber nicht 4=36 und 9=1 liefert also keine Darstellung von a und b.
Im weiteren Verlauf verwendest du auch nur [mm] $b=y^n$.
[/mm]
> [mm]a*b=c^n[/mm]
> [mm]a*y^n=c^n[/mm]
> [mm]a=\frac{c^n}{y^n}[/mm]
> [mm]$a=(\frac{c}{y})^n[/mm]
>
> Da [mm]b=y^n[/mm] ein Teiler von [mm]c^n[/mm] ist, so gilt auch [mm]y|c[/mm] und es
> existiert ein [mm]d[/mm] [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]d=\frac{c}{y}[/mm]. Somit ist
> [mm]a=(\frac{c}{y})^n=d^n[/mm], was zu zeigen war.
>
>
> Viele Grüße,
> Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Fr 14.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Stimmt! Das habe ich mir zu einfach gemacht. Ich muss wohl doch über die kanonische Primzahlzerlegung von a,b und c gehen.
Ich arbeite das mal aus und stelle mein Ergebnis dann ein. Trotzdem vielen Dank für deine Mühe,
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Fr 14.02.2014 | | Autor: | wauwau |
jeder Primfaktor von [mm] $c^n$ [/mm] kommt entweder in a oder in b vor!
der Exponent des Primfaktors von [mm] $c^n$ [/mm] ist immer durch n teilbar
Mehr brauchst du nicht argumentieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 14.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum,
die Kommentare nehme ich danken auf. Hier die überarbeitete Version:
Seien [mm] $\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i}=a$ [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung von a und sei [mm] $\produkt_{i=1}^{m} q_i^{f_i}=b$ [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung von b.
Da nach Vorgabe gilt: $ggT(a,b)=1$, sind die Mengen der Primfaktoren von a und b disjunkt. Somit gilt:
[mm] $c^n=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{m} q_i^{f_i}$
[/mm]
Da $c [mm] \in \IN$ [/mm] ist müssen die Exponenten aller Primfaktoren sowohl von a, als auch von b durch n teilbar sein und es existieren x,y [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $\wurzel[n]{a}=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{\frac{e_i}{n}}=x$ [/mm] und [mm] $\wurzel[n]{b}=\produkt_{i=1}^{m} q_i^{\frac{f_i}{n}}=y$
[/mm]
Also gilt auch [mm] $a=x^n$ [/mm] und [mm] $b=y^n$.
[/mm]
*
[mm] $a*b=c^n$
[/mm]
[mm] $a*y^n=c^n$
[/mm]
[mm] $a=\frac{c^n}{y^n}$
[/mm]
[mm] $a=(\frac{c}{y})^n
[/mm]
Da [mm] b=y^n [/mm] ein Teiler von [mm] c^n [/mm] ist, so gilt auch $y|c$ und es existiert ein $d [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $d=\frac{c}{y}$. [/mm] Somit ist [mm] $a=(\frac{c}{y})^n=d^n$, [/mm] was zu zeigen war.
Der Beweis für [mm] $b=e^n$ [/mm] ist ab * gleich, was ich jetzt nicht noch ein mal schreibe. Ich hoffe meine Ausführungen sind jetzt besser nachvollziehbar. Aber auch wenn das nicht so sein sollte, würde ich mich über einen Kommentar freuen.
Viele Grüße und besten Dank,
Micha
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> Hallo Forum,
> die Kommentare nehme ich danken auf. Hier die
> überarbeitete Version:
>
> Seien [mm]\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i}=a[/mm] die kanonische
> Primfaktorzerlegung von a und sei [mm]\produkt_{i=1}^{m} q_i^{f_i}=b[/mm]
> die kanonische Primfaktorzerlegung von b.
> Da nach Vorgabe gilt: [mm]ggT(a,b)=1[/mm], sind die Mengen der
> Primfaktoren von a und b disjunkt. Somit gilt:
>
> [mm]c^n=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i} * \produkt_{i=1}^{m} q_i^{f_i}[/mm]
>
> Da [mm]c \in \IN[/mm] ist müssen die Exponenten aller Primfaktoren
> sowohl von a, als auch von b durch n teilbar sein und es
> existieren x,y [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]\wurzel[n]{a}=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{\frac{e_i}{n}}=x[/mm] und
> [mm]\wurzel[n]{b}=\produkt_{i=1}^{m} q_i^{\frac{f_i}{n}}=y[/mm]
>
> Also gilt auch [mm]a=x^n[/mm] und [mm]b=y^n[/mm].
>
> *
Und damit bist du eigentlich schon fertig.
> [mm]a*b=c^n[/mm]
> [mm]a*y^n=c^n[/mm]
> [mm]a=\frac{c^n}{y^n}[/mm]
> [mm]$a=(\frac{c}{y})^n[/mm]
>
> Da [mm]b=y^n[/mm] ein Teiler von [mm]c^n[/mm] ist, so gilt auch [mm]y|c[/mm] und es
> existiert ein [mm]d \in \IN[/mm] mit [mm]d=\frac{c}{y}[/mm]. Somit ist
> [mm]a=(\frac{c}{y})^n=d^n[/mm], was zu zeigen war.
>
> Der Beweis für [mm]b=e^n[/mm] ist ab * gleich, was ich jetzt nicht
> noch ein mal schreibe. Ich hoffe meine Ausführungen sind
> jetzt besser nachvollziehbar. Aber auch wenn das nicht so
> sein sollte, würde ich mich über einen Kommentar freuen.
> Viele Grüße und besten Dank,
> Micha
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 So 16.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
> > Hallo Forum,
> > die Kommentare nehme ich danken auf. Hier die
> > überarbeitete Version:
> >
> > Seien [mm]\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i}=a[/mm] die kanonische
> > Primfaktorzerlegung von a und sei [mm]\produkt_{i=1}^{m} q_i^{f_i}=b[/mm]
> > die kanonische Primfaktorzerlegung von b.
> > Da nach Vorgabe gilt: [mm]ggT(a,b)=1[/mm], sind die Mengen der
> > Primfaktoren von a und b disjunkt. Somit gilt:
> >
> > [mm]c^n=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i} * \produkt_{i=1}^{m} q_i^{f_i}[/mm]
>
> >
> > Da [mm]c \in \IN[/mm] ist müssen die Exponenten aller Primfaktoren
> > sowohl von a, als auch von b durch n teilbar sein und es
> > existieren x,y [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > [mm]\wurzel[n]{a}=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{\frac{e_i}{n}}=x[/mm] und
> > [mm]\wurzel[n]{b}=\produkt_{i=1}^{m} q_i^{\frac{f_i}{n}}=y[/mm]
> >
>
> > Also gilt auch [mm]a=x^n[/mm] und [mm]b=y^n[/mm].
> >
> > *
> Und damit bist du eigentlich schon fertig.
... Stimmt, wenn ich mir das jetzt so ansehe!
Irgendwie hatte sich die Lösung so entwickelt, daß ich den Bezug zur eigentlichen Frage nicht mehr direkt im Auge hatte.
Vielen Dank für deine Meinung und noch einen schönen Abend,
Micha
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