Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
Beweisen Sie,dass [mm] p^2-q^2 [/mm] durch 24 teilbar ist. |
Hallo liebe Mitglieder,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin neu und das ist meine erste Frage.
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und hoffe ihr könnt mir helfen. Bis jetzt habe ich mir überlegt:
Zu zeigen ist, dass [mm] p^2-q^2 [/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es existiert ein x, sodass [mm] p^2-q^2=x*24. [/mm] ( wobei ich nicht weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe inchts steht).
Dann habe ich noch überlegt umzuschreiben, also:
[mm] p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht wie ich denn Beweis anfangen soll.
Hat jemand einen Ansatz?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Studentin
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> Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
> Beweisen Sie,dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist.
> Hallo liebe Mitglieder,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bin neu und das ist meine erste Frage.
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und hoffe
> ihr könnt mir helfen. Bis jetzt habe ich mir überlegt:
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> inchts steht).
>
> Dann habe ich noch überlegt umzuschreiben, also:
>
> [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
Die Faktorisierung ist gut. Überlege dir, dass stets einer der Faktoren durch 4 teilbar ist und der andere durch 2. Außerdem ist einer der Faktoren sicher durch 3 teilbar.
Folgere daraus die Behauptung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> Ich weiß jetzt nicht wie ich denn Beweis anfangen soll.
> Hat jemand einen Ansatz?
>
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> Studentin
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Mi 22.10.2014 | | Autor: | abakus |
> > Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
> > Beweisen Sie,dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist.
> > Hallo liebe Mitglieder,
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > ich bin neu und das ist meine erste Frage.
> > Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und
> hoffe
> > ihr könnt mir helfen. Bis jetzt habe ich mir überlegt:
> >
> > Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> > existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> > weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> > inchts steht).
> >
> > Dann habe ich noch überlegt umzuschreiben, also:
> >
> > [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
>
> Die Faktorisierung ist gut.
Hallo,
nur zur Ergänzung: damit ist der vordere Teil der Gleichungskette, also bis
" =(p+q)(p-q)", gemeint.
Gruß Abakus
> Überlege dir, dass stets einer
> der Faktoren durch 4 teilbar ist und der andere durch 2.
> Außerdem ist einer der Faktoren sicher durch 3 teilbar.
>
> Folgere daraus die Behauptung.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
>
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> > Ich weiß jetzt nicht wie ich denn Beweis anfangen soll.
> > Hat jemand einen Ansatz?
> >
> > Vielen Dank
> > Liebe Grüße
> > Studentin
> >
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> > Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
> > Beweisen Sie,dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist.
> > Hallo liebe Mitglieder,
> >
> >
> > Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> > existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> > weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> > inchts steht).
> >
> > Dann habe ich noch überlegt umzuschreiben, also:
> >
> > [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
>
> Die Faktorisierung ist gut. Überlege dir, dass stets einer
> der Faktoren durch 4 teilbar ist und der andere durch 2.
> Außerdem ist einer der Faktoren sicher durch 3 teilbar.
>
> Folgere daraus die Behauptung.
Also wir wissen schonmal, dass p und q beide >5 sind und Primzahlen sind.
Das heißt sie sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar.ich denke p+q durch 2 teilbar ist und p-q durch 3 und 4teilbar.
hab mir das an einpaar bsp.angeschaut aber wie kann man das denn allgemein sagen?
lg
studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 23.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
> > > Beweisen Sie,dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist.
> > > Hallo liebe Mitglieder,
> > >
> > >
>
> > > Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> > > existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> > > weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> > > inchts steht).
> > >
> > > Dann habe ich noch überlegt umzuschreiben, also:
> > >
> > > [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
> >
> > Die Faktorisierung ist gut. Überlege dir, dass stets einer
> > der Faktoren durch 4 teilbar ist und der andere durch 2.
> > Außerdem ist einer der Faktoren sicher durch 3 teilbar.
> >
> > Folgere daraus die Behauptung.
>
> Also wir wissen schonmal, dass p und q beide >5 sind und
> Primzahlen sind.
> Das heißt sie sind nur durch sich selbst und durch 1
> teilbar.ich denke p+q durch 2 teilbar ist
Das stimmt und das liegt nur daran, dass p und q ungerade sind, dann ist die Summe p+q gerade (warum ?)
> und p-q durch 3
> und 4teilbar.
Das stimmt nicht. Nimm p=17 und q=7. Dann ist p-q=10. 10 ist weder durch 3 noch durch 4 teilbar.
FRED
> hab mir das an einpaar bsp.angeschaut aber wie kann man
> das denn allgemein sagen?
>
> lg
> studentin
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> > > > [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
> > >
> > > Die Faktorisierung ist gut. Überlege dir, dass stets einer
> > > der Faktoren durch 4 teilbar ist und der andere durch 2.
> > > Außerdem ist einer der Faktoren sicher durch 3 teilbar.
> > >
> > > Folgere daraus die Behauptung.
> >
> > Also wir wissen schonmal, dass p und q beide >5 sind und
> > Primzahlen sind.
> > Das heißt sie sind nur durch sich selbst und durch 1
> > teilbar.ich denke p+q durch 2 teilbar ist
>
> Das stimmt und das liegt nur daran, dass p und q ungerade
> sind, dann ist die Summe p+q gerade (warum ?)
Da p und q Primzahlen sind, folgt, dass sie ungerade sind. Das heißt bei Division durch 2 bleibt immer der Rest 1 übrig. Und wenn man die beiden Reste von p und q aufaddiert hat man wieser 2 welches durch 2 teilbar ist, also eine gerade Zahl.
> > und p-q durch 3
> > und 4teilbar.
>
> Das stimmt nicht. Nimm p=17 und q=7. Dann ist p-q=10. 10
> ist weder durch 3 noch durch 4 teilbar.
Du hast Recht. Ich hab nicht richtig überlegt. Aber UniversellesObjekt meinte doch, dass der andere Faktor durch 4 teilbar ist. Deswegen hatte ich es einfach mal hingenommen.
Ich habe nun diese Faktorisierung:
[mm] p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=a*2*(p-q) [/mm] (da p+q durch 2 teilbar).
p-q ist ja nun nicht durch 3 oder 4 teilbar.
Dann habe ich mir überlegt, dass ja a*2 immer entweder durch 2, 3 oder 4 teilbar ist. Aber was mache ich nun mit dem p-q ?
lg
studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 24.10.2014 | | Autor: | abakus |
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> > > > > [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
> > > >
> > > > Die Faktorisierung ist gut. Überlege dir, dass stets einer
> > > > der Faktoren durch 4 teilbar ist und der andere durch 2.
> > > > Außerdem ist einer der Faktoren sicher durch 3 teilbar.
> > > >
> > > > Folgere daraus die Behauptung.
> > >
> > > Also wir wissen schonmal, dass p und q beide >5 sind und
> > > Primzahlen sind.
> > > Das heißt sie sind nur durch sich selbst und durch
> 1
> > > teilbar.ich denke p+q durch 2 teilbar ist
> >
> > Das stimmt und das liegt nur daran, dass p und q ungerade
> > sind, dann ist die Summe p+q gerade (warum ?)
>
> Da p und q Primzahlen sind, folgt, dass sie ungerade sind.
> Das heißt bei Division durch 2 bleibt immer der Rest 1
> übrig. Und wenn man die beiden Reste von p und q
> aufaddiert hat man wieser 2 welches durch 2 teilbar ist,
> also eine gerade Zahl.
>
> > > und p-q durch 3
> > > und 4teilbar.
> >
> > Das stimmt nicht. Nimm p=17 und q=7. Dann ist p-q=10. 10
> > ist weder durch 3 noch durch 4 teilbar.
>
> Du hast Recht. Ich hab nicht richtig überlegt. Aber
> UniversellesObjekt meinte doch, dass der andere Faktor
> durch 4 teilbar ist. Deswegen hatte ich es einfach mal
> hingenommen.
> Ich habe nun diese Faktorisierung:
>
> [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=a*2*(p-q)[/mm] (da p+q durch 2 teilbar).
> p-q ist ja nun nicht durch 3 oder 4 teilbar.
>
> Dann habe ich mir überlegt, dass ja a*2 immer entweder
> durch 2, 3 oder 4 teilbar ist. Aber was mache ich nun mit
> dem p-q ?
>
> lg
> studentin
Hallo,
p und q sind beide ungerade und lassen somit bei Teilung durch 4 den Rest 1 oder den Rest 3.
Untersuche die beiden möglichen Fälle "p und q mit gleichen Rest" und "eine der Zahlen hat Rest 1 und die andere Rest 3".
Gruß´Abakus
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Hallo abakus,
> Hallo,
> p und q sind beide ungerade und lassen somit bei Teilung
> durch 4 den Rest 1 oder den Rest 3.
> Untersuche die beiden möglichen Fälle "p und q mit
> gleichen Rest" und "eine der Zahlen hat Rest 1 und die
> andere Rest 3".
> Gruß´Abakus
Also Fall1 : p und q haben beide rest 1. Daraus ergibt sich ein Gesamtrest von 2. Daraus folgt, dass die Zahl p-q durch 2 teilbar ist.
Fall 2: Beide haben Rest 3. Gesamtrest von 6. Somit ist p-q durch 3 teilbar.
Fall 3: Eine Zahl hat Rest 1 und die andere Rest 3. Gesamtrest 4 d.h. p-q ist durch 4 teilbar.
Daraus folgt: Fall 1: [mm] p^2-q^2=a*2*2*x=4ax [/mm] (teilbar durch 2, 24 ist teilbar durch 4)
Fall 2: [mm] p^2-q^2=a*2*3*x=6ax, [/mm] (teilbar durch 3, 24 ist teilbar durch 3)
Fall 3: [mm] p^2-q^2=a*2*4*x=8ax [/mm] (teilbar durch 4, 24 ist teilbar durch 8)
Jetzt müsste aber in Fall 1: a [mm] \ge [/mm] 6, Fall 2: [mm] a\ge [/mm] 4 und in Fall 3: a [mm] \ge [/mm] 3 sein.
Kann man das denn so allgemein sagen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Fr 24.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> > Hallo,
> > p und q sind beide ungerade und lassen somit bei
> Teilung
> > durch 4 den Rest 1 oder den Rest 3.
> > Untersuche die beiden möglichen Fälle "p und q mit
> > gleichen Rest" und "eine der Zahlen hat Rest 1 und die
> > andere Rest 3".
> > Gruß´Abakus
>
> Also Fall1 : p und q haben beide rest 1. Daraus ergibt sich
...dass die Differenz (p-q) bei Teilung durch VIER den Rest 0 lässt
> ein Gesamtrest von 2. Daraus folgt, dass die Zahl p-q durch
> 2 teilbar ist.
>
> Fall 2: Beide haben Rest 3. Gesamtrest von 6. Somit ist p-q
> durch 3 teilbar.
Unfug. Wir reden von der Teilbarkeit durch 4.
Es ist in diesem Fall p=4k+3 und q=4n+3.
p-q ist dann 4(k-n), also auch durch 4 teilbar.
>
> Fall 3: Eine Zahl hat Rest 1 und die andere Rest 3.
> Gesamtrest 4 d.h. p-q ist durch 4 teilbar.
Unfug. Dann ist p PLUS q durch 4 teilbar.
>
> Daraus folgt: Fall 1: [mm]p^2-q^2=a*2*2*x=4ax[/mm] (teilbar durch 2,
> 24 ist teilbar durch 4)
>
> Fall 2: [mm]p^2-q^2=a*2*3*x=6ax,[/mm] (teilbar durch 3, 24 ist
> teilbar durch 3)
>
> Fall 3: [mm]p^2-q^2=a*2*4*x=8ax[/mm] (teilbar durch 4, 24 ist
> teilbar durch 8)
>
> Jetzt müsste aber in Fall 1: a [mm]\ge[/mm] 6, Fall 2: [mm]a\ge[/mm] 4 und
> in Fall 3: a [mm]\ge[/mm] 3 sein.
>
> Kann man das denn so allgemein sagen ?
>
>
Du hast völlig den Faden verloren.
Bei gleichen Resten bei der Teilung durch 4 ist p-q durch 4 teilbar.
Bei verschiedenen ungeraden Resten bei Teilung durch 4 ist p+q durch 4 teilbar.
Einer der beiden Terme p-q und p+q ist also immer durch 4 teilbar. Der andere Term ist wenigstens durch 2 teilbar (Summe oder Differenz zweier ungerader Zahlen). Somit ist das Produkt von (p-q) und (p+q) stets durch 8 teilbar.
JETZT erst kommen wir zur Teilbarkeit durch DREI.
p und q sind beide nicht durch 3 teilbar, lassen also bei Teilung durch 3 den Rest oder den Rest 2.
Mache eine Fallunterscheidung und prüfe für jeden Fall, ob p-q oder p+q durch 3 teilbar ist.
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Hallo abakus
> > Also Fall1 : p und q haben beide rest 1. Daraus ergibt
> sich
> ...dass die Differenz (p-q) bei Teilung durch VIER den
> Rest 0 lässt
> > ein Gesamtrest von 2. Daraus folgt, dass die Zahl p-q
> durch
> > 2 teilbar ist.
> >
> > Fall 2: Beide haben Rest 3. Gesamtrest von 6. Somit ist
> p-q
> > durch 3 teilbar.
> Unfug. Wir reden von der Teilbarkeit durch 4.
> Es ist in diesem Fall p=4k+3 und q=4n+3.
> p-q ist dann 4(k-n), also auch durch 4 teilbar.
> >
> > Fall 3: Eine Zahl hat Rest 1 und die andere Rest 3.
> > Gesamtrest 4 d.h. p-q ist durch 4 teilbar.
> Unfug. Dann ist p PLUS q durch 4 teilbar.
> Du hast völlig den Faden verloren.
> Bei gleichen Resten bei der Teilung durch 4 ist p-q durch
> 4 teilbar.
> Bei verschiedenen ungeraden Resten bei Teilung durch 4 ist
> p+q durch 4 teilbar.
> Einer der beiden Terme p-q und p+q ist also immer durch 4
> teilbar. Der andere Term ist wenigstens durch 2 teilbar
> (Summe oder Differenz zweier ungerader Zahlen). Somit ist
> das Produkt von (p-q) und (p+q) stets durch 8 teilbar.
> JETZT erst kommen wir zur Teilbarkeit durch DREI.
> p und q sind beide nicht durch 3 teilbar, lassen also
> bei Teilung durch 3 den Rest oder den Rest 2.
> Mache eine Fallunterscheidung und prüfe für jeden Fall,
> ob p-q oder p+q durch 3 teilbar ist.
Ich hatte wirklich den Faden verloren. Ok jetzt habe ich folgende Fälle bei der Teilbarkeit durch 3:
p und q haben gleichen Rest: p-q durch 3 teilbar, p+q durch2 teilbar
p und q haben versch. Reste: p-q durch 2 teilbar, p+q durch 3 teilbar.
Das heißt einer der Terme p+q und p-q ist immer durch 3 teilbar und der ander durch 2, d.h (p-q)*(p+q)/3=3*2*a*b, für a,b, [mm] \in \IN [/mm]
Dann kann ich bei der Teillung von p und q durch 3 doch schreiben:
[mm] (p^2-q^2)/3=3*2*a*b=6*a*b
[/mm]
Hm, irgendwas stimmt da doch nicht. Wenn ich die Gleichung jetzt wieder mit 3 multipliziere habe ich [mm] p^2-q^2=18*a*b, [/mm] aber ich will da nicht 18 sondern 24 stehen haben.
Was habe ich falsch gemacht ?
lg
studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 25.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus
>
> > > Also Fall1 : p und q haben beide rest 1. Daraus ergibt
> > sich
> > ...dass die Differenz (p-q) bei Teilung durch VIER den
> > Rest 0 lässt
> > > ein Gesamtrest von 2. Daraus folgt, dass die Zahl p-q
> > durch
> > > 2 teilbar ist.
> > >
> > > Fall 2: Beide haben Rest 3. Gesamtrest von 6. Somit
> ist
> > p-q
> > > durch 3 teilbar.
> > Unfug. Wir reden von der Teilbarkeit durch 4.
> > Es ist in diesem Fall p=4k+3 und q=4n+3.
> > p-q ist dann 4(k-n), also auch durch 4 teilbar.
> > >
> > > Fall 3: Eine Zahl hat Rest 1 und die andere Rest 3.
> > > Gesamtrest 4 d.h. p-q ist durch 4 teilbar.
> > Unfug. Dann ist p PLUS q durch 4 teilbar.
>
>
> > Du hast völlig den Faden verloren.
> > Bei gleichen Resten bei der Teilung durch 4 ist p-q
> durch
> > 4 teilbar.
> > Bei verschiedenen ungeraden Resten bei Teilung durch 4
> ist
> > p+q durch 4 teilbar.
> > Einer der beiden Terme p-q und p+q ist also immer durch
> 4
> > teilbar. Der andere Term ist wenigstens durch 2 teilbar
> > (Summe oder Differenz zweier ungerader Zahlen). Somit ist
> > das Produkt von (p-q) und (p+q) stets durch 8 teilbar.
> > JETZT erst kommen wir zur Teilbarkeit durch DREI.
> > p und q sind beide nicht durch 3 teilbar, lassen also
> > bei Teilung durch 3 den Rest oder den Rest 2.
> > Mache eine Fallunterscheidung und prüfe für jeden
> Fall,
> > ob p-q oder p+q durch 3 teilbar ist.
>
> Ich hatte wirklich den Faden verloren. Ok jetzt habe ich
> folgende Fälle bei der Teilbarkeit durch 3:
>
> p und q haben gleichen Rest: p-q durch 3 teilbar, p+q
> durch2 teilbar
> p und q haben versch. Reste: p-q durch 2 teilbar, p+q
> durch 3 teilbar.
Was willst du JETZT NOCH mit "durch 2 teilbar"?
Das ist längst gegessen, denn wir waren schon mal so weit, dass (p+q)(p-q) garantiert durch 8 teilbar ist.
Es geht jetzt NUR NOCH um die Teilbarkeit durch 3.
>
> Das heißt einer der Terme p+q und p-q ist immer durch 3
> teilbar und der ander durch 2, d.h (p-q)*(p+q)/3=3*2*a*b,
> für a,b, [mm]\in \IN[/mm]
>
> Dann kann ich bei der Teillung von p und q durch 3 doch
> schreiben:
>
> [mm](p^2-q^2)/3=3*2*a*b=6*a*b[/mm]
>
> Hm, irgendwas stimmt da doch nicht. Wenn ich die Gleichung
> jetzt wieder mit 3 multipliziere habe ich [mm]p^2-q^2=18*a*b,[/mm]
> aber ich will da nicht 18 sondern 24 stehen haben.
>
> Was habe ich falsch gemacht ?
>
> lg
> studentin
>
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> > folgende Fälle bei der Teilbarkeit durch 3:
> >
> > p und q haben gleichen Rest: p-q durch 3 teilbar, p+q
> > durch2 teilbar
> > p und q haben versch. Reste: p-q durch 2 teilbar, p+q
> > durch 3 teilbar.
> Was willst du JETZT NOCH mit "durch 2 teilbar"?
> Das ist längst gegessen, denn wir waren schon mal so
> weit, dass (p+q)(p-q) garantiert durch 8 teilbar ist.
> Es geht jetzt NUR NOCH um die Teilbarkeit durch 3.
ok. Dann gilt:
Bei gleichem Rest ist p-q durch 3 teilbar und bei verschiedenen Resten ist p+q durch 3 teilbar.
D.h. Fall1 (gleicher Rest): (p+q)*(p-q)=8k (da durch 8 teilbar) und (p+q)*(p-q)=(p+q)*3a ( da p-q durch 3 teilbar). Daraus folgt
(p+q)*(p-q)=8k=(p+q)*3a
Irgendwie komme ich hier nicht mehr weiter.
lg
studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > > folgende Fälle bei der Teilbarkeit durch 3:
> > >
> > > p und q haben gleichen Rest: p-q durch 3 teilbar,
> p+q
> > > durch2 teilbar
> > > p und q haben versch. Reste: p-q durch 2 teilbar,
> p+q
> > > durch 3 teilbar.
> > Was willst du JETZT NOCH mit "durch 2 teilbar"?
> > Das ist längst gegessen, denn wir waren schon mal so
> > weit, dass (p+q)(p-q) garantiert durch 8 teilbar ist.
> > Es geht jetzt NUR NOCH um die Teilbarkeit durch 3.
>
> ok. Dann gilt:
>
> Bei gleichem Rest ist p-q durch 3 teilbar und bei
> verschiedenen Resten ist p+q durch 3 teilbar.
>
> D.h. Fall1 (gleicher Rest): (p+q)*(p-q)=8k (da durch 8
> teilbar) und (p+q)*(p-q)=(p+q)*3a ( da p-q durch 3
> teilbar). Daraus folgt
>
> (p+q)*(p-q)=8k=(p+q)*3a
mir ist das gerade zu anstrengend, da alles nochmal rückwärts zu verfolgen.
Also: Es waren $p,q [mm] \in \IP$ [/mm] Primzahlen $> [mm] 5\,.$ [/mm] Wir betrachten
[mm] $p^2-q^2=(p+q)*(p-q)\,.$
[/mm]
Weil [mm] $p+q\,$ [/mm] gerade ist, und auch [mm] $p-q\,$ [/mm] gerade ist, folgt sofort
[mm] $\IZ \ni \frac{p^2-q^2}{4}=\underbrace{\frac{p+q}{2}}_{\in \IN_0}*\underbrace{\frac{p-q}{2}}_{\in \IZ}\,.$
[/mm]
[mm] $p\,$ [/mm] und [mm] $q\,$ [/mm] sind ungerade und $> [mm] 5\,,$ [/mm] also
[mm] $p=5+2*m\,$ [/mm] und $q=5+2*n$ mit je einem $m [mm] \in \IN$ [/mm] bzw. $n [mm] \in \IN$ [/mm] (hier $0 [mm] \notin \IN$).
[/mm]
Setzen wir das mal ein:
[mm] $\IZ \ni \frac{p^2-q^2}{4}=\underbrace{\frac{10+2m+2n}{2}}_{\in \IN_0}*(\underbrace{m-n}_{\in \IZ})=(\underbrace{5+m+n}_{\in \IN_0})*(\underbrace{m-n}_{\in \IZ})\,.$
[/mm]
Ich rede nun rechterhand vom [red]1. Faktor[red], wenn ich
[mm] $\red{5+m+n}$
[/mm]
meine, und vom 2. Faktor, wenn ich
[mm] $\blue{m-n}$
[/mm]
meine:
Sind [mm] $m,n\,$ [/mm] beide gerade oder ungerade, so ist der 2. Faktor gerade, und sind bei
[mm] $m,n\,$ [/mm] die eine Zahl gerade, die andere ungerade, so ist der 1. Faktor gerade.
Daher wissen wir, dass
[mm] $\frac{p^2-q^2}{8} \in \IZ$
[/mm]
gelten wird. Soweit scheint ihr bisher gekommen zu sein.
Wir brauchen also noch (Stichwort etwa: "Primfaktorzerlegung" von 24) die
Teilbarkeit von [mm] $p^2-q^2$ [/mm] durch 3.
Jetzt schauen wir mal: [mm] $5+2*2\,$ [/mm] ist keine Primzahl. Auch ist für jedes $k [mm] \in \IN$
[/mm]
$5+(2+k*3)*2$
keine Primzahl mehr - d.h. bei
$p=5+m*2$ und [mm] $q=5+n*2\,$
[/mm]
darf weder [mm] $m-2\,$ [/mm] noch [mm] $n-2\,$ [/mm] durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar sein (notwendige Bedingung!).
Das bedeutet, wir haben folgende Fälle:
1. Fall: $m-2=3*m'+1$ und $n-2=2*n'+1$ mit [mm] $m',\,n' \in \IN.$
[/mm]
2. Fall: $m-2=3*m'+1$ und $n-2=2*n'+2$ mit [mm] $m',\,n' \in \IN.$
[/mm]
3. Fall: $m-2=3*m'+2$ und $n-2=2*n'+1$ mit [mm] $m',\,n' \in \IN.$
[/mm]
4. Fall: $m-2=3*m'+2$ und $n-2=2*n'+2$ mit [mm] $m',\,n' \in \IN.$
[/mm]
(Nebenbei: Sowas wie $m-2=3m'+1$ kann man schöner schreiben, denn im
Endeffekt steht da nichts anderes als $3 [mm] \mid m\,.$ [/mm] Und damit sieht man
sofort im 1. Fall, dass oben der 2. Faktor durch 3 teilbar ist...)
So als Fazit solltest Du sehen:
Im 1. Fall ist der 1. Faktor durch 3 teilbar.
Im 2. Fall ist ebenfalls der 1. Faktor durch 3 teilbar.
Im 3. Fall sind wir symmetrisch zum 2. Fall, und auch hier ist der 1. Faktor
durch 3 teilbar.
Im 4. Fall ist zwar der 1. Faktor jetzt mal nicht durch 3 teilbar, dafür aber
der 2. Faktor.
P.S. Ja, ich gebe zu: Das ist sehr sehr detailliert und vielleicht auch teilweise
etwas extrem kleinschrittig. Dafür sollte es aber, wie ich hoffe, wenn man
sich genügend Zeit nimmt, durchaus komplett nachvollziehbar sein.
P.P.S. Beachte bitte oben, dass ich an einer Stelle (kurz) gezeigt habe:
[mm] $z=5+2*\ell$ [/mm] mit einem [mm] $\ell \in \IN$ [/mm] und $z [mm] \in \IP$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $3 [mm] \nmid (\ell-2)\,.$ [/mm]
Der Grund: Ist $3 [mm] \mid \ell-2\,,$ [/mm] so gibt es hier ein $j [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit
[mm] $\ell(j)=j*3+2\,.$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $z=5+2\ell=5+2*(j*3+2)=9+2*j*3=3*(3+2*j)\,.$
[/mm]
Du siehst hier, dass $3 [mm] \mid [/mm] z$ gilt; oder?!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Vielen Dank für deine Mühe. Ich habe alles nachvollzogen :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mi 22.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
> Beweisen Sie,dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist.
> Hallo liebe Mitglieder,
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bin neu und das ist meine erste Frage.
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und hoffe
> ihr könnt mir helfen. Bis jetzt habe ich mir überlegt:
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> inchts steht).
Hallo,
in dem Aufgabentext steht gar nichts von x. Du hast x doch selbst eingeführt und solltest damit auch wissen, für welchen Zweck du das getan hast.
Gruß Abakus
>
> Dann habe ich noch überlegt umzuschreiben, also:
>
> [mm]p^2-q^2=(p+q)*(p-q)=x*24=x*2*12[/mm]
>
> Ich weiß jetzt nicht wie ich denn Beweis anfangen soll.
> Hat jemand einen Ansatz?
>
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> Studentin
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien p und q Primzahlen, p,q > 5.
> Beweisen Sie,dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist.
> Hallo liebe Mitglieder,
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bin neu und das ist meine erste Frage.
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und hoffe
> ihr könnt mir helfen. Bis jetzt habe ich mir überlegt:
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> inchts steht).
Du wirst i.a. $x [mm] \in \IZ$ [/mm] fordern müssen. Nimmst Du o.E. $p [mm] \ge [/mm] q$ an, so kannst Du
$x [mm] \in \IN_0$ [/mm] schreiben.
Verwirrend ist aber, dass Du etwas machst, was Dir selbst nicht klar zu sein
scheint...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> > Zu zeigen ist, dass [mm]p^2-q^2[/mm] durch 24 teilbar ist, d.h. es
> > existiert ein x, sodass [mm]p^2-q^2=x*24.[/mm] ( wobei ich nicht
> > weiß aus welcher Menge x sein soll, da in der Aufgabe
> > inchts steht).
>
> Du wirst i.a. [mm]x \in \IZ[/mm] fordern müssen. Nimmst Du o.E. [mm]p \ge q[/mm]
> an, so kannst Du
> [mm]x \in \IN_0[/mm] schreiben.
>
> Verwirrend ist aber, dass Du etwas machst, was Dir selbst
> nicht klar zu sein
> scheint...
Ja es war mir nicht ganz klar, aber jetzt hab ichs verstanden.
lg
studentin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Sa 25.10.2014 | | Autor: | abakus |
>
> > > folgende Fälle bei der Teilbarkeit durch 3:
> > >
> > > p und q haben gleichen Rest: p-q durch 3 teilbar,
> p+q
> > > durch2 teilbar
> > > p und q haben versch. Reste: p-q durch 2 teilbar,
> p+q
> > > durch 3 teilbar.
> > Was willst du JETZT NOCH mit "durch 2 teilbar"?
> > Das ist längst gegessen, denn wir waren schon mal so
> > weit, dass (p+q)(p-q) garantiert durch 8 teilbar ist.
> > Es geht jetzt NUR NOCH um die Teilbarkeit durch 3.
>
> ok. Dann gilt:
>
> Bei gleichem Rest ist p-q durch 3 teilbar und bei
> verschiedenen Resten ist p+q durch 3 teilbar.
>
> D.h. Fall1 (gleicher Rest): (p+q)*(p-q)=8k (da durch 8
> teilbar) und (p+q)*(p-q)=(p+q)*3a ( da p-q durch 3
> teilbar). Daraus folgt
>
> (p+q)*(p-q)=8k=(p+q)*3a
>
> Irgendwie komme ich hier nicht mehr weiter.
>
> lg
> studentin
Warum wirfst du ohne Not ständig irgendwelche Variable rein?
1) (p+q)*(p-q)ist duch 8 teilbar.
2) (p+q)*(p-q) ist durch 3 teilbar.
3) 8 und 3 sind teilerfremd (das haben wir bisher nicht erwähnt, ist aber wichtig).
Aus 1), 2) und 3) folgt (8*3) teilt (p+q)*(p-q).
Gruß Abakus
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> Warum wirfst du ohne Not ständig irgendwelche Variable
> rein?
> 1) (p+q)*(p-q)ist duch 8 teilbar.
> 2) (p+q)*(p-q) ist durch 3 teilbar.
> 3) 8 und 3 sind teilerfremd (das haben wir bisher nicht
> erwähnt, ist aber wichtig).
> Aus 1), 2) und 3) folgt (8*3) teilt (p+q)*(p-q).
> Gruß Abakus
Hm, ja jetzt ist es einleuchtend. Danke für deine Hilfe :)
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