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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Mal eine simple Frage:
Wenn ich beispielsweise eine Gleichung der Form [mm] $a^2x^3+ax^2+x+1$ [/mm] habe und dann das $x$ heraushaben kann: [mm] $x(a^2x^2+ax+1)=-1$, [/mm] gilt dann:
$x~|~-1$
und
[mm] $(a^2x^2+ax+1)~|~1$
[/mm]
? Aus ersterem würde ja dann folgen, dass entweder $x=-1, x=0$ oder $x=1$ ist.
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Fr 20.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Mal eine simple Frage:
>
> Wenn ich beispielsweise eine Gleichung der Form
> [mm]a^2x^3+ax^2+x+1[/mm] habe und dann das [mm]x[/mm] heraushaben kann:
> [mm]x(a^2x^2+ax+1)=-1[/mm], gilt dann:
>
> [mm]x~|~-1[/mm]
>
> und
>
> [mm](a^2x^2+ax+1)~|~1[/mm]
Das ist i.A. falsch. Falls a*b=-1, dann könnte a=1/3 und b=-3 sein.
> Ist das so korrekt?
Nein. Aber du hast aber trotzdem eine Nullstelle erraten -1. Beachte, dass x=1 und x=0 keine Nullstellen sind.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Ja sorry, es geht hier nur um ganzzahlige Lösungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Fr 20.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Na dann, weißt mit Sicherheit eine Sache x=1, oder x=-1. Dann einfach in [mm] ax^2 [/mm] +... einsetzen und schauen ob es mit 1, -1 oder beides aufgeht. x=0 ist natürlich außer Frage.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Ok. Noch eine kleine Frage:
$a~|~b$ bedeutet ja, es gibt ein ganzes $n$, sodass $n [mm] \cdot [/mm] a = b$. Daraus folgt ja dann: $a~|~b [mm] \Rightarrow [/mm] a~|~(n [mm] \cdot [/mm] a - b)$. Nun will ich das auf folgendes anwenden:
Finde alle natürlichen Zahlen $n$ mit [mm] $n^2+11~|~n^3+13$.
[/mm]
Dann kann ich jetzt also aus [mm] $n^2+11~|~n^3+13$ [/mm] wie oben beschrieben [mm] $n^2+11~|~(n(n^2+11)-(n^3+13))=11n-13$ [/mm] folgern.
Was mich etwas stutzig macht: ist es wirklich erlaubt hier die gleichen Variablen zu verwenden, d.h. wenn es
[mm] $x^2+11~|~x^3+13$ [/mm] heißen würde, dann würde ich [mm] $x^2+11~|~(x(x^2+11)-(x^3+13))=11x-13$ [/mm] folgern können?
Ich meine, dass es so ist, weil die Variable hier ja nur für ein ganzzahliges Vielfaches steht und das ja dann mit der Teilbarkeitsdefinition übereinstimmt. Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 20.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]a~|~b[/mm] bedeutet ja, es gibt ein ganzes [mm]n[/mm], sodass [mm]n \cdot a = b[/mm].
> Daraus folgt ja dann: [mm]a~|~b \Rightarrow a~|~(n \cdot a - b)[/mm].
Das stimmt trivialerweise, da aus na=b na-b=0 folgt, also ist 0 durch a teilbar.
> Nun will ich das auf folgendes anwenden:
>
> Finde alle natürlichen Zahlen [mm]n[/mm] mit [mm]n^2+11~|~n^3+13[/mm].
Ich würde hier eher für ein ganzes positives k [mm] k(n^{2}+11)=n^{3}+13 [/mm] auswerten. Genaueres fällt mir leider nicht ein.
> Dann kann ich jetzt also aus [mm]n^2+11~|~n^3+13[/mm] wie oben
> beschrieben [mm]n^2+11~|~(n(n^2+11)-(n^3+13))=11n-13[/mm] folgern.
Das hat mit der Identität, die du am Anfang vorschlägst, nichts zu tun. Du willst wahrscheinlich eher so was machen:
Aus der Info, dass [mm] k(n^{2}+11)=n^{3}+13 [/mm] gilt, muss (laut deinem Vorschlag) [mm] n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13)) [/mm] gelten. Was du oben geschrieben hast, kann nur dann richtig sein wenn n=k, was nicht sein muss.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Wieso hat das bitte nichts mit der obigen von mir erwähnten Identität zu tun?
Denn [mm] $n^2+11~|~n^3+13 \Rightarrow n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13))$ [/mm] folgt doch aus [mm] $k(n^2+11) [/mm] = [mm] n^3+13$ [/mm] und der trivialerweise geltenden Beziehung $ a~|~b [mm] \Rightarrow [/mm] a~|~(k [mm] \cdot [/mm] a - b)$.
Und diese Ausführungen machen eben nur Sinn, wenn $n=k$ ist. Doch wenn ich falsch liege: Wieso gilt dann [mm] $n^2+11~|~n^3+13 \Rightarrow n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13))$?
[/mm]
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> Denn [mm]n^2+11~|~n^3+13 \Rightarrow n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13))[/mm]
> folgt doch aus [mm]k(n^2+11) = n^3+13[/mm] und der trivialerweise
> geltenden Beziehung [mm]a~|~b \Rightarrow a~|~(k \cdot a - b)[/mm].
>
> Und diese Ausführungen machen eben nur Sinn, wenn [mm]n=k[/mm] ist.
> Doch wenn ich falsch liege: Wieso gilt dann [mm]n^2+11~|~n^3+13 \Rightarrow n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13))[/mm]?
Hallo,
ein Grund für die Verwirrung ist, daß Du munter mit Buchstaben spielst, ohne daß deren Sinn geklärt ist.
> Denn [mm]n^2+11~|~n^3+13 \Rightarrow n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13))[/mm]
> folgt doch aus [mm]k(n^2+11) = n^3+13[/mm] und der trivialerweise
> geltenden Beziehung [mm]a~|~b \Rightarrow a~|~(k \cdot a - b)[/mm].
Ich hatte das in meinem anderen Post eben schon erwähnt:
wenn Du sagst [mm] "n^2+11|n^3+13", [/mm] so bedeutet das: es gibt ein k so, daß [mm] k(n^2+11)=n^3+13.
[/mm]
Dann ist [mm] (k(n^2+11)-(n^3+13))=(n^3+13)-(n^3+13)=0, [/mm] also [mm] n^2+11|0, [/mm] und das ist wieder etwas informationsschwach.
> Doch wenn ich falsch liege: Wieso gilt dann [mm]n^2+11~|~n^3+13 \Rightarrow n^2+11~|~(k(n^2+11)-(n^3+13))[/mm]?
Beh:.Es gelte [mm] n^2+11|n^3+13.
[/mm]
Für alle k gilt dann [mm] n^2+11|(k(n^2+11)-(n^3+13))
[/mm]
Beweis: Es sei [mm] n^2+11|n^3+13.
[/mm]
Dann gibt es ein m mit [mm] m(n^2+11)=n^3+13.
[/mm]
Also gilt für alle k: [mm] k(n^2+11)-(n^3+13)=k(n^2+11)-m(n^2+11)=(k-m)(n^2+11)
[/mm]
[mm] ==>n^2+11|(k(n^2+11)-(n^3+13)) [/mm] für alle k.
Wie im anderen Post bereits erwähnt, darfst Du nicht verschiedene Variable gleich benennen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
"Das stimmt trivialerweise, da aus na=b na-b=0 folgt, also ist 0 durch a teilbar."
Das ist nicht richtig, denn du denkst an die Definition $a~|~b [mm] \Leftrightarrow$ [/mm] es gibt ein $n$, sodass $n [mm] \cdot [/mm] a = b$. Hingegen steht das $n [mm] \cdot [/mm] a$ in $a~|~b [mm] \Rightarrow [/mm] a~|~(n [mm] \cdot [/mm] a - b) $ nur für ein beliebiges Vielfaches von $a$ mit $n [mm] \cdot [/mm] a > b$, was trivialerweise gilt, aber nicht notwendigerweise gleich $0$ sein muss.
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> "Das stimmt trivialerweise, da aus na=b na-b=0 folgt, also
> ist 0 durch a teilbar."
>
> Das ist nicht richtig, denn du denkst an die Definition
Hallo,
dormant hat da gar nicht großartig an Definitionen gedacht, sondern einfach das ausgewertet, was Du hier geschrieben hast.
So wie es da steht, teilst Du mit, daß aus a|b folgt, daß a|0 gilt. Was ja auch stimmt, allerdings wenig überrascht.
Wenn Du das aufschreiben möchtest, was Du eigentlich sagen wolltest, müßtest Du das anders machen:
a|b ==> Für alle [mm] n\in \IZ [/mm] gilt: a| (na - b).
Beweis:
a|b ==> es gibt ein [mm] k\in \IZ [/mm] mit b=ka.
Für alle [mm] n\in \IN [/mm] ist dann na - b=na-ka=(n-k)a ==> a|(na - b).
Du siehst, daß es darauf ankommt, daß man nicht verschiedene Dinge mit demselben Buchstaben benennt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Da hier immer noch einige Missverständnisse vorliegen, poste ich einfach mal den ganzen Beweis aus einem Zahlentheorie-Skriptum, um den es mir hier eigentlich geht:
Aufgabe: "Finde alle natürlichen Zahlen $n$ mit $ [mm] n^2+11~|~n^3+13$."
[/mm]
[mm] $n^2+11$ [/mm] ist ein Teiler von [mm] $n^3+13$, [/mm] also auch von [mm] $n(n^2+11)-(n^2+13)=11n-13$ [/mm] (trotz der vorangehenden Posts bin ich mir leider immer noch nicht darüber im Klaren, wieso das gilt). Der Rest folgt aus reinen Abschätzungs-Überlegungen:
Offenbar ist $n=1$ keine Lösung. Nun gilt für $n [mm] \ge [/mm] 2$: [mm] $n^2+11 \le [/mm] 11n-13$. Diese Ungleichung ist äquivalent zu [mm] $n^2-11n+24=n(n-11)+24 \le [/mm] 0$. Für $n [mm] \ge [/mm] 12$ gilt nun aber stets $n(n-11)+24 [mm] \ge [/mm] 12 [mm] \cdot [/mm] 1 +24 > 0$, folglich ist $n [mm] \le [/mm] 11$. Durchtesten der wenigen übrigbleibenden Fälle ergibt die beiden Lösungen $n=3$ und $n=8$.
Wie gesagt, bis auf den oben angesprochenen Punkt, herrscht eigentlich Klarheit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Fr 20.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]n^2+11[/mm] ist ein Teiler von [mm]n^3+13[/mm], also auch von
> [mm]n(n^2+11)-(n^2+13)=11n-13[/mm] (trotz der vorangehenden Posts
> bin ich mir leider immer noch nicht darüber im Klaren,
> wieso das gilt). Der Rest folgt aus reinen
[mm] \bruch{n(n^{2}+11)-(n^{3}+13)}{n^{2}+11}=\bruch{n(n^{2}+11)}{n^{2}+11}-\bruch{n^{3}+13}{n^{2}+11}=n-k.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Hallo,
danke für deine Antwort, aber kannst du das vielleicht etwas erläutern? Heißt das jetzt, dass $11n-13=n-k$ ist? Wieso genau wurde dieser Schritt überhaupt gemacht?
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> Hallo,
>
> danke für deine Antwort, aber kannst du das vielleicht
> etwas erläutern?
Hallo,
dormant hat Dir vorgerechnet, daß [mm] \bruch{n(n^{2}+11)-(n^{3}+13)}{n^{2}+11} [/mm] eine ganze Zahl ist.
> Heißt das jetzt, dass [mm]11n-13=n-k[/mm] ist?
Nein Es bedeutet, daß [mm] n^{2}+11 [/mm] die Zahl [mm] n(n^{2}+11)-(n^{3}+13)=11n-13 [/mm] teilt.
> Wieso genau wurde dieser Schritt überhaupt gemacht?
Weil er funktioniert.
Man weiß nun, wenn [mm] n^{2}+11 [/mm] die Zahl [mm] n^{3}+13 [/mm] teilt, so auch die Zahl 11n-13.
Es wird nun untersucht, für welche n gilt, daß [mm] n^{2}+11 [/mm] Teiler von 11n-13 ist.
Nur diese n kommen überhaupt als Lösung für die Ausgangsfrage in Betracht.
Die überlegungen führen dazu, daß überhaupt nur n, welche [mm] \le [/mm] 11 sind, infrage kommen.
Diese werden dann durchgetestet.
Gruß v. Angela
P.S.: Es wäre hilfreich, wenn Du Dein Profil so einstellen würdest, daß man in etwa abschätzen kann, wie weit Deine Mathematikausbildung fortgeschritten ist. Es ist ein Unterschied, ob man einem interessierten Mittelstufenschüler oder einem Studenten des 4.Semesters etwas erklärt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Hallo,
danke, ich glaube jetzt hab ich's kapiert.
PS: Bin übrigens in der 11. Klasse, siehe Profil.
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