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Gilt es als Axiom, dass das Ergebnis von a/b nur 2 sein kann, wenn die (Quersumme aus a + die Quersumme aus b) durch 3 ganzzahlig teilbar ist?
MfG Gafgharion
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, das ist einfach falsch z.Bsp 105/21
und wenn es wahr wäre, wäre es kein Axiom sondern ein Satz.
ich nehm natürlich an a,b ganze Zahlen
Gruss leduart
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Super Danke erstmal für deine schnelle Antwort aber ich glaube du hast mich falsch verstanden oder ich habe mich falsch ausgedrückt.
Aber du hast schon recht, dass ich ganzzahlige Zahlen a und b meine.
Aber die Frage an sich sollte so sein 6/3=2
Quersumme von 6+Quersumme von 3 = 9
9 ist durch drei teilbar
70/35=2
Quersumme von 70+Quersumme von 35= 15
15 ist durch 3 teilbar.
Das ist meine Vermutung allerdings würde ich gerne ein Mittel wissen um dies zu beweisen, falls das nicht schon bewiesen ist.
Ich hoffe ich konnte meine Frage jetzt deutlicher Stellen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super Danke erstmal für deine schnelle Antwort aber ich
> glaube du hast mich falsch verstanden oder ich habe mich
> falsch ausgedrückt.
> Aber du hast schon recht, dass ich ganzzahlige Zahlen a und
> b meine.
> Aber die Frage an sich sollte so sein 6/3=2
> Quersumme von 6+Quersumme von 3 = 9
> 9 ist durch drei teilbar
> 70/35=2
> Quersumme von 70+Quersumme von 35= 15
> 15 ist durch 3 teilbar.
> Das ist meine Vermutung allerdings würde ich gerne ein
> Mittel wissen um dies zu beweisen, falls das nicht schon
> bewiesen ist.
das ist eine einfache Aussage, und die läßt sich beweisen (ich habe es unten getan) - daher denke ich, dass die auch schon bekannt und bewiesen ist:
Deine Formulierung war nur falsch. Die Aussage lautet nicht:
Nur, falls [mm] $a/b=2\,$ [/mm] ist, dann ist [mm] (Quersumme($a\,$)+Quersumme($b\,$)) [/mm] auch durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar. Denn das würde bedeuten, dass die "Quersummenaussage" impliziert, dass [mm] $a/b=2\,.$
[/mm]
Sondern:
Falls [mm] $a/b=2\,,$ [/mm] dann ist [mm] (Quersumme($a\,$)+Quersumme($b\,$)) [/mm] auch durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar.
In der obigen Formulierung hast Du einfach eine Aussage formuliert, die nicht das meinte, was Du formulieren wolltest. Du wolltest sozusagen sagen, dass für gewisse Aussagen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] gilt
$$A [mm] \Rightarrow B\,,$$
[/mm]
aber behauptet hast Du:
[mm] $$(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg B)\,,$$
[/mm]
oder was eine gleichwertige Behauptung ist
$$B [mm] \Rightarrow A\,.$$
[/mm]
Also: Das Problem lag' nicht daran, dass Leduart Dich falsch verstanden hat, sondern es lag daran, dass Leduart genau das verstanden hat, was Du gesagt hast - aber Du hast was anderes gemeint, als Du gesagt hast!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gilt es als Axiom, dass das Ergebnis von a/b nur 2 sein
> kann, wenn die (Quersumme aus a + die Quersumme aus b)
> durch 3 ganzzahlig teilbar ist?
Leduart hat ja schon geschrieben, dass die Aussage in obiger Formulierung falsch ist. Vielleicht meinst Du:
Falls [mm] $a/b=2\,,$ [/mm] dann ist die Quersumme von [mm] $a\,$ [/mm] + Quersumme von [mm] $b\,$ [/mm] auch durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar?
Das wäre leicht zu beweisen:
Eine ganze Zahl [mm] $z\,$ [/mm] ist nämlich genau dann durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar, wenn die Quersumme der Zahl [mm] $z\,$ [/mm] auch durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar ist. Das ist bekannt (und kann ich Dir auch beweisen|mithilfe des binomischen Satzes sieht man: $a=Quersumme(a)+s$ mit einer durch [mm] $9\,$ [/mm] teilbaren Zahl [mm] $s\,.$).
[/mm]
Wenn [mm] $a/b=2\,$ [/mm] ist, dann ist aber [mm] $a=2b\,$ [/mm] und damit
[mm] $$z=a+b=3b\,.$$
[/mm]
Also wird $z=a+b$ auf jeden Fall schonmal durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar sein.
Wenn nun [mm] $a\,,b$ [/mm] beide durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar sind, dann ist eh obige Behauptung klar [mm] ($Quersumme(a)\,$ [/mm] ist durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar und auch [mm] $Quersumme(b)\,,$ [/mm] also auch die Summe der beiden Quersummen).
Wenn [mm] $a\,$ [/mm] nicht durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar ist, dann kann, weil [mm] $z=a+b\,$ [/mm] durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar ist, auch [mm] $b\,$ [/mm] nicht durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar sein.
Nun soll [mm] $b\,$ [/mm] bei Division durch [mm] $3\,$ [/mm] den Rest $r [mm] \in \{1,2\}$ [/mm] lassen, d.h. dann gilt $b=k*3+r$ mit einem $k [mm] \in \IZ$ [/mm] und $r [mm] \in \{1,2\}\,.$ [/mm] Dann läßt sich wegen
$$a=2b$$
dann [mm] $a\,$ [/mm] schreiben als
[mm] $$a=(2k)*3+2r\,.$$
[/mm]
Logisch: [mm] $z\,$ [/mm] war durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar, also addieren sich die Reste von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$, [/mm] die bei Divison durch [mm] $3\,$ [/mm] bleiben, zu [mm] $3\,.$
[/mm]
Nun läßt die $Quersumme(a)$ bei Division durch [mm] $3\,$ [/mm] den gleichen Rest wie die Zahl [mm] $a\,$ [/mm] bei Division durch [mm] $3\,$ [/mm] (das ist nicht ganz trivial, kann man sich aber überlegen - es folgt aber mit der obigen Erkenntnis: [mm] $a\,=Quersumme(a)+$eine [/mm] durch 9 teilbare Zahl ). Also addieren sich auch die Reste von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] (wir hatten vorausgesetzt, dass beide nicht durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar wären) zu [mm] $3\,.$ [/mm] Also ist die Summe der Quersummen durch [mm] $3\,$ [/mm] teilbar.
P.S.:
Ich denke, dass man das sicher auch leichter einsehen kann. Aber ich denke auch, dass ich da keinen Fehler gemacht habe?! Kontrolliere es aber auf jeden Fall nochmal!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Do 19.01.2012 | | Autor: | Gafgharion |
Ja Danke das ist alles nachvollziehbar und hat mein Problem gelöst! Vielen Dank
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