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Hallo zusammen,
ich hoffe, ich bin in diesem Forum halbwegs richtig mit meinem Problem. Wenn nicht, sagt mir bitte, wo es hingehört.
Es ist keine direkte Aufgabe, sondern eine Frage, die mir beim Beweis von Euklid, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] eine irrationale Zahl ist, gekommen ist. Dieser benutzt, dass wenn eine Quadratzahl durch 2 teilbar ist, das auch für deren Wurzel gilt.
1. Frage:
Warum ist das so? Die eine Richtung ist simpel:
a=2n [mm] \Rightarrow a^{2} [/mm] = [mm] 4n^{2}
[/mm]
aber wir haben hier ja keine Äquivalenz...
2. Frage:
Gilt das nur für 2 oder auch für andere Zahlen? Wenn ja, welche? Ist mir aufgefallen, als ich prüfen wollte, warum der Widerspruchsbeweis für /wurzel{4}=2 nicht geht.
Ich wäre Euch dankbar für die Hilfe. Ich gebe nämlich jemandem Nachhilfe und möchte auch verstanden haben, was ich erkläre.
Viele Grüße
Cindy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Warum ist das so? Die eine Richtung ist simpel:
> a=2n [mm]\Rightarrow a^{2}[/mm] = [mm]4n^{2}[/mm]
> aber wir haben hier ja keine Äquivalenz...
Da 2 eine Primzahl ist, gilt aus [m]p|a*b[/m] folgt [m]p|a[/m] oder [m]p|b[/m]. Wende das auf die Quadratzahl [m]n=a^2[/m] an, und du hast das Ergebnis. Im Übrigen kommen die Primzahlpotenzen der Quadratzahl als Quadrate vor.
> Gilt das nur für 2 oder auch für andere Zahlen?
Es gilt genau für Primzahlen und Produkte von paarweise verschieden Primzahlen (überprüfe mittels Primzahlzerlegungen der Quadratzahl).
SEcki
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Vielen Dank. Damit kann ich es gut nachvollziehen.
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