Teilbarkeitsbeweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] 1\le k\le [/mm] n mit ggT(n,k)=1 natürliche Zahlen. Beweisen Sie, dass n ein Teiler von [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ist. |
Hallo
Ich wollte zuerst folgenden Hilfsatz beweisen:
Aus a|b*c und ggT(a,b)=1 folgt a|c.
Da a|b*c <=> b*c=a*x mit [mm] x\in\IN [/mm] und dem Wissen, dass a nicht b teilt folgt dass a|c. Richtig so?
Mit diesem Satz, wollte ich nun die Aufgabe weiter bearbeiten.
[mm] \vektor{n \\ k}=n*\bruch{n-1}{2}*.......*\bruch{n-(k-1)}{k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
[mm] n|n*\bruch{n-1}{2}*.......*\bruch{n-(k-1)}{k} [/mm] <=> [mm] n*\bruch{n-1}{2}*.......*\bruch{n-(k-1)}{k}=n*x [/mm] zwar sind n,k teilerfremd da ggT(n,k)=1 gilt, aber ist das hier nicht egal? n teilt n reicht doch vollkommen, um damit zuschließen [mm] n|\vektor{n \\ k} [/mm] oder? Oder ebenso [mm] n|\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] <=> [mm] n!*\bruch{1}{k!(n-k)}=n*y [/mm] mit [mm] y\in\IN, [/mm] würde nicht die Begründung reichen, dass n|n! teilt und somit [mm] n|\vektor{n \\ k}. [/mm] !?^^
Liebe Grüße, Daniel
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Hallo,
zwar kann ich dem ganzen nicht 100%ig folgen, aber einen kleinen logischen Fehler hab ich entdeckt:
> Oder ebenso
> [mm]n|\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] <=> [mm]n!*\bruch{1}{k!(n-k)}=n*y[/mm] mit
> [mm]y\in\IN,[/mm] würde nicht die Begründung reichen, dass n|n!
> teilt und somit [mm]n|\vektor{n \\ k}.[/mm] !?^^
>
> Liebe Grüße, Daniel
Wie weist du nach, dass [mm] y\in\IN [/mm] gilt? Oder ausführlicher: Warum ist [mm] \(\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\in\IN\)?
[/mm]
Mit freundlichem Gruß,
Roland.
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Könnte mir jemand bitte eine Rückmeldung geben, ob ich den ersten kleinen Satz richtig gefolgert habe?
Roland, leider verstehe ich nicht worauf du hinaus möchtest, bzw aufmerksam machen möchtest?!
Zu deiner Frage...
Wenn es gilt a|b dann ist das <=>(Äquivalent) mit der Aussage(oder es folgt daraus?), dass es ein x [mm] \in\IN [/mm] gibt, mit der Eigenschaft b=a*x
Das sagt uns die Definition der Teilbarkeit. ;)
Daher dann kommen y und x.
Gruß
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Hallo,
dein erster kleiner Satz sieht gut aus!
Was ich aber meinte ist, dass die Teilerfremdheit von k und n entscheidend ist! Einfaches Beispiel:
[mm] \vektor{6\\2}=15 [/mm] aber 6 ist kein Teiler von 15.
In deinem kleinen Satz vom Anfang hast du vorher festgelegt, dass [mm] x\in\IN [/mm] ist und daraus geschlossen, dass a|c. Doch bei dem y am Ende legtest hast du einen Faktor gleich y gesetzt und danach festgelegt, dass [mm] y\in\IN [/mm] ist. Aber man müsste beweisen, dass [mm] y\in\IN [/mm] ist! Und das gilt offenbar nur wenn ggT(n,k)=1 ist, wobei ich auch keinen Ansatz habe.
Hoffe das war etwas klarer. Ansonsten noch viel Erfolg,
Roland.
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Nabend,
Also wenn ich zeigen soll, dass n | [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] teilen soll...Dann irritiert mich dein Gegenbsp, dass 6 kein Teiler von [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] ist.
Hm und auch sonst, wird mir einfach nicht klar, wieso ich beweisen soll, das [mm] y\in\IN [/mm] ist.
n | [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ist das doch vergleichbar mit [mm] \vektor{n \\ k}=n*y [/mm] mit [mm] y\in\IN.
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k}=n*y [/mm] <=> [mm] n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}=n*y [/mm] => n|n! => n|n => [mm] n|\vektor{n \\ k}
[/mm]
Wäre schön, wenn ihr nochmal drüber schauen würdet! Schließe ich vllt an einer Stelle zu "voreilig" oder mache ich irgendetwas anders falsch?
Ich wünsche euch noch einen schönen Abend!^^
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:49 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also wenn ich zeigen soll, dass n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] teilen
> soll...Dann irritiert mich dein Gegenbsp, dass 6 kein
> Teiler von [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] ist.
Na, es is tja $ggT(6, 2) = 2$ und nicht gleich 1. Du sollst zeigen, dass $n$ ein Teiler von [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ist, wenn $ggT(n, k) = 1$ ist.
> Hm und auch sonst, wird mir einfach nicht klar, wieso ich
> beweisen soll, das [mm]y\in\IN[/mm] ist.
>
> n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] ist das doch vergleichbar mit [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm]
> mit [mm]y\in\IN.[/mm]
Also $n [mm] \mid \binom{n}{k}$ [/mm] ist aequivalent zu [mm] $\exists [/mm] y [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] \binom{n}{k} [/mm] = n y$.
> [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] <=> [mm]n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}=n*y[/mm]
Das stimmt wohl.
> => n|n!
Das stimmt auch, allerdings folgt es nicht aus dem vorherigen.
> => n|n
Das folgt auch, aber wozu? Das ist eine wahre Aussage, aber die bringt dir nichts?
> => [mm]n|\vektor{n \\ k}[/mm]
Wieso sollte das jetzt gelten? Das sollst du zeigen. Und nicht einfach hinschreiben.
Das hier ist eindeutig ein falscher Schluss, weil es keinen Grund gibt dass du dies schliessen kannst.
Schau dir doch mal [mm] $\binom{n - 1}{k - 1} \in \IN$ [/mm] aus. Es ist doch [mm] $\binom{n}{k} [/mm] = [mm] \frac{n}{k} \binom{n - 1}{k - 1}$. [/mm] Hier benutze jetzt die Hilfsaussage und zeige, dass $k$ ein Teiler von [mm] $\binom{n - 1}{k - 1}$ [/mm] ist.
LG Felix
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> Hallo!
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> > Also wenn ich zeigen soll, dass n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] teilen
> > soll...Dann irritiert mich dein Gegenbsp, dass 6 kein
> > Teiler von [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] ist.
>
> Na, es is tja [mm]ggT(6, 2) = 2[/mm] und nicht gleich 1. Du sollst
> zeigen, dass [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]\binom{n}{k}[/mm] ist, wenn [mm]ggT(n, k) = 1[/mm]
> ist.
>
> > Hm und auch sonst, wird mir einfach nicht klar, wieso ich
> > beweisen soll, das [mm]y\in\IN[/mm] ist.
> >
> > n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] ist das doch vergleichbar mit [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm]
> > mit [mm]y\in\IN.[/mm]
>
> Also [mm]n \mid \binom{n}{k}[/mm] ist aequivalent zu [mm]\exists y \in \IZ : \binom{n}{k} = n y[/mm].
>
> > [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] <=> [mm]n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}=n*y[/mm]
>
> Das stimmt wohl.
>
> > => n|n!
>
> Das stimmt auch, allerdings folgt es nicht aus dem
> vorherigen.
Hätten wir es so schreiben sollen: "Weil wir wissen das n|n! folgt dass [mm] n|n!*\bruch{1}{k!(n-k)!} [/mm] => [mm] n|\vektor{n \\ k}" [/mm] Ist hier von mir eine Folgerung gezogen worden, die man nicht machen darf?
>
> > => n|n
>
> Das folgt auch, aber wozu? Das ist eine wahre Aussage, aber
> die bringt dir nichts?
>
> > => [mm]n|\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> Wieso sollte das jetzt gelten? Das sollst du zeigen. Und
> nicht einfach hinschreiben.
>
> Das hier ist eindeutig ein falscher Schluss, weil es keinen
> Grund gibt dass du dies schliessen kannst.
>
> Schau dir doch mal [mm]\binom{n - 1}{k - 1} \in \IN[/mm] aus. Es ist
> doch [mm]\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm]. Hier
> benutze jetzt die Hilfsaussage und zeige, dass [mm]k[/mm] ein Teiler
> von [mm]\binom{n - 1}{k - 1}[/mm] ist.
Okay: [mm] n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y [/mm] mit [mm] y\in\IN [/mm] und weil wir wissen, dass n|n => n| [mm] n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] . Warum müssen wir jetzt noch zeigen, dass k ein Teiler von [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] ist?
>
> LG Felix
>
Lg Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> > > Also wenn ich zeigen soll, dass n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] teilen
> > > soll...Dann irritiert mich dein Gegenbsp, dass 6 kein
> > > Teiler von [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] ist.
> >
> > Na, es is tja [mm]ggT(6, 2) = 2[/mm] und nicht gleich 1. Du sollst
> > zeigen, dass [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]\binom{n}{k}[/mm] ist, wenn [mm]ggT(n, k) = 1[/mm]
> > ist.
> >
> > > Hm und auch sonst, wird mir einfach nicht klar, wieso ich
> > > beweisen soll, das [mm]y\in\IN[/mm] ist.
> > >
> > > n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] ist das doch vergleichbar mit [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm]
> > > mit [mm]y\in\IN.[/mm]
> >
> > Also [mm]n \mid \binom{n}{k}[/mm] ist aequivalent zu [mm]\exists y \in \IZ : \binom{n}{k} = n y[/mm].
>
> >
> > > [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] <=> [mm]n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}=n*y[/mm]
> >
> > Das stimmt wohl.
> >
> > > => n|n!
> >
> > Das stimmt auch, allerdings folgt es nicht aus dem
> > vorherigen.
>
> Hätten wir es so schreiben sollen: "Weil wir wissen das
> n|n! folgt dass [mm]n|n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}[/mm] => [mm]n|\vektor{n \\ k}"[/mm]
> Ist hier von mir eine Folgerung gezogen worden, die man
> nicht machen darf?
Nein, eben nicht! Das ist doch das worauf dich pi-roland die ganze Zeit hingewiesen hat! Du musst zeigen, dass der Rest, also [mm] $\frac{(n - 1)!}{k! (n - k)!}$ [/mm] ein Element aus [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
Und das ignorierst du offenbar einfach.
> > Schau dir doch mal [mm]\binom{n - 1}{k - 1} \in \IN[/mm] aus. Es ist
> > doch [mm]\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm]. Hier
> > benutze jetzt die Hilfsaussage und zeige, dass [mm]k[/mm] ein Teiler
> > von [mm]\binom{n - 1}{k - 1}[/mm] ist.
>
> Okay: [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] mit [mm]y\in\IN[/mm]
> und weil wir wissen, dass n|n => n|
> [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] .
Warum sollte diese Implikation gelten?! Nur weil $n$ im Produkt auf der rechten Seite steht, heisst das noch lange nicht, dass da auch was geteilt wird. Schliesslich gilt auch $2 = 4 [mm] \cdot \frac{1}{2}$, [/mm] aber du sagst doch auch nicht dass 4 ein Teiler von 2 ist, oder?!?
> Warum müssen wir
> jetzt noch zeigen, dass k ein Teiler von [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> ist?
Wnen es keiner ist, dann ist [mm] $\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}$ [/mm] kein Element von [mm] $\IZ$.
[/mm]
LG Felix
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> Hallo Daniel!
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> > > > Also wenn ich zeigen soll, dass n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] teilen
> > > > soll...Dann irritiert mich dein Gegenbsp, dass 6 kein
> > > > Teiler von [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] ist.
> > >
> > > Na, es is tja [mm]ggT(6, 2) = 2[/mm] und nicht gleich 1. Du sollst
> > > zeigen, dass [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]\binom{n}{k}[/mm] ist, wenn [mm]ggT(n, k) = 1[/mm]
> > > ist.
> > >
> > > > Hm und auch sonst, wird mir einfach nicht klar, wieso ich
> > > > beweisen soll, das [mm]y\in\IN[/mm] ist.
> > > >
> > > > n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] ist das doch vergleichbar mit [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm]
> > > > mit [mm]y\in\IN.[/mm]
> > >
> > > Also [mm]n \mid \binom{n}{k}[/mm] ist aequivalent zu [mm]\exists y \in \IZ : \binom{n}{k} = n y[/mm].
>
> >
> > >
> > > > [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] <=> [mm]n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}=n*y[/mm]
> > >
> > > Das stimmt wohl.
> > >
> > > > => n|n!
> > >
> > > Das stimmt auch, allerdings folgt es nicht aus dem
> > > vorherigen.
> >
> > Hätten wir es so schreiben sollen: "Weil wir wissen das
> > n|n! folgt dass [mm]n|n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}[/mm] => [mm]n|\vektor{n \\ k}"[/mm]
> > Ist hier von mir eine Folgerung gezogen worden, die man
> > nicht machen darf?
>
> Nein, eben nicht! Das ist doch das worauf dich pi-roland
> die ganze Zeit hingewiesen hat! Du musst zeigen, dass der
> Rest, also [mm]\frac{(n - 1)!}{k! (n - k)!}[/mm] ein Element aus [mm]\IZ[/mm]
> ist.
>
> Und das ignorierst du offenbar einfach.
Ja, wirklich nicht absichtlich, ich verstehe das noch nicht 100%
Ich muss zeigen dass der "Rest" [mm] \frac{(n - 1)!}{k! (n - k)!} [/mm] aus [mm] \IZ. [/mm] Wieso?
>
> > > Schau dir doch mal [mm]\binom{n - 1}{k - 1} \in \IN[/mm] aus. Es ist
> > > doch [mm]\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm]. Hier
> > > benutze jetzt die Hilfsaussage und zeige, dass [mm]k[/mm] ein Teiler
> > > von [mm]\binom{n - 1}{k - 1}[/mm] ist.
> >
> > Okay: [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] mit [mm]y\in\IN[/mm]
> > und weil wir wissen, dass n|n => n|
> > [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] .
>
> Warum sollte diese Implikation gelten?! Nur weil [mm]n[/mm] im
> Produkt auf der rechten Seite steht, heisst das noch lange
> nicht, dass da auch was geteilt wird. Schliesslich gilt
> auch [mm]2 = 4 \cdot \frac{1}{2}[/mm], aber du sagst doch auch nicht
> dass 4 ein Teiler von 2 ist, oder?!?
Mir ist das total schleierhaft! n steht sowohl auf der linken Seite als auch auf der Rechten(jeweils im Produkt). Folglich müssten beide Seiten also durch n teilbar sein. Wie hast du dir dein Beispielt ausgedacht, dass hat doch garnicht die Form: [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] mit [mm]y\in\IN[/mm] und y müsste doch eine Zahl sein und nicht 0,5? Jetzt zweifel ich gerade überhaupt an alles, weil ich deine Gedanken nicht mehr nachvollziehen kann. Sorry..
>
> > Warum müssen wir
> > jetzt noch zeigen, dass k ein Teiler von [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> > ist?
>
> Wnen es keiner ist, dann ist [mm]\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm]
> kein Element von [mm]\IZ[/mm].
Ok, merke: Wenn [mm] k|\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1} [/mm] dann würde daraus folgen, dass [mm] \frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}\in\IZ [/mm] und dann dürfte man aus [mm] n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y [/mm] folgern das [mm] n|\vektor{n \\ k}? [/mm] Ich hoffe mir wird nach deiner "hoffentlich" nächstens Antwort klar warum ich das so folgern muss....Wieso muss $ [mm] \frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}\in\IZ [/mm] $ [mm] \ZI [/mm] gefolgert werden, um weiter Schlüsse zuziehen?
> LG Felix
Schönen Abend, Daniel
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Hallo Daniel,
jetzt versuche ich nochmal mein Glück...
> > Hallo Daniel!
> >
> > > > > Also wenn ich zeigen soll, dass n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] teilen
> > > > > soll...Dann irritiert mich dein Gegenbsp, dass 6 kein
> > > > > Teiler von [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] ist.
> > > >
> > > > Na, es is tja [mm]ggT(6, 2) = 2[/mm] und nicht gleich 1. Du sollst
> > > > zeigen, dass [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]\binom{n}{k}[/mm] ist, wenn [mm]ggT(n, k) = 1[/mm]
> > > > ist.
> > > >
> > > > > Hm und auch sonst, wird mir einfach nicht klar, wieso ich
> > > > > beweisen soll, das [mm]y\in\IN[/mm] ist.
> > > > >
> > > > > n | [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] ist das doch vergleichbar mit [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm]
> > > > > mit [mm]y\in\IN.[/mm]
> > > >
> > > > Also [mm]n \mid \binom{n}{k}[/mm] ist aequivalent zu [mm]\exists y \in \IZ : \binom{n}{k} = n y[/mm].
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> > >
> > > >
> > > > > [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] <=> [mm]n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}=n*y[/mm]
> > > >
> > > > Das stimmt wohl.
> > > >
> > > > > => n|n!
> > > >
> > > > Das stimmt auch, allerdings folgt es nicht aus dem
> > > > vorherigen.
> > >
> > > Hätten wir es so schreiben sollen: "Weil wir wissen das
> > > n|n! folgt dass [mm]n|n!*\bruch{1}{k!(n-k)!}[/mm] => [mm]n|\vektor{n \\ k}"[/mm]
> > > Ist hier von mir eine Folgerung gezogen worden, die man
> > > nicht machen darf?
> >
> > Nein, eben nicht! Das ist doch das worauf dich pi-roland
> > die ganze Zeit hingewiesen hat! Du musst zeigen, dass der
> > Rest, also [mm]\frac{(n - 1)!}{k! (n - k)!}[/mm] ein Element aus [mm]\IZ[/mm]
> > ist.
> >
> > Und das ignorierst du offenbar einfach.
>
> Ja, wirklich nicht absichtlich, ich verstehe das noch nicht
> 100%
> Ich muss zeigen dass der "Rest" [mm]\frac{(n - 1)!}{k! (n - k)!}[/mm]
> aus [mm]\IZ.[/mm] Wieso?
>
Teilbar ist doch eine Zahl genau dann, wenn sie in ein Produkt aus zwei ganzen (hier reicht sicher auch natürlichen) Zahlen zerlegbar ist. Und auch wenn du mein Beispiel nicht mochtest, so bringe ich es nochmal:
[mm] \vektor{6\\2}=\frac{6!}{2!*4!}=6*\frac{5!}{2!*4!}=15
[/mm]
Ja, 6|6 - das ist offensichtlich. Aber der zweite Faktor [mm] \frac{5!}{2!*4!} [/mm] ist nicht durch 6 teilbar. Das ganze Produkt (15) ist auch nicht durch 6 teilbar.
> >
> > > > Schau dir doch mal [mm]\binom{n - 1}{k - 1} \in \IN[/mm] aus. Es ist
> > > > doch [mm]\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm]. Hier
> > > > benutze jetzt die Hilfsaussage und zeige, dass [mm]k[/mm] ein Teiler
> > > > von [mm]\binom{n - 1}{k - 1}[/mm] ist.
> > >
> > > Okay: [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] mit [mm]y\in\IN[/mm]
> > > und weil wir wissen, dass n|n => n|
> > > [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] .
> >
> > Warum sollte diese Implikation gelten?! Nur weil [mm]n[/mm] im
> > Produkt auf der rechten Seite steht, heisst das noch lange
> > nicht, dass da auch was geteilt wird. Schliesslich gilt
> > auch [mm]2 = 4 \cdot \frac{1}{2}[/mm], aber du sagst doch auch nicht
> > dass 4 ein Teiler von 2 ist, oder?!?
>
> Mir ist das total schleierhaft! n steht sowohl auf der
> linken Seite als auch auf der Rechten(jeweils im Produkt).
> Folglich müssten beide Seiten also durch n teilbar sein.
> Wie hast du dir dein Beispielt ausgedacht, dass hat doch
> garnicht die Form: [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm]
> mit [mm]y\in\IN[/mm] und y müsste doch eine Zahl sein und nicht
> 0,5? Jetzt zweifel ich gerade überhaupt an alles, weil ich
> deine Gedanken nicht mehr nachvollziehen kann. Sorry..
>
0,5 ist auch eine Zahl! Nur gehört sie nicht den Bereich der natürlichen Zahlen an.
> >
> > > Warum müssen wir
> > > jetzt noch zeigen, dass k ein Teiler von [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> > > ist?
> >
> > Wnen es keiner ist, dann ist [mm]\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm]
> > kein Element von [mm]\IZ[/mm].
>
> Ok, merke: Wenn [mm]k|\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}[/mm] dann
> würde daraus folgen, dass [mm]\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}\in\IZ[/mm]
> und dann dürfte man aus [mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm]
> folgern das [mm]n|\vektor{n \\ k}?[/mm] Ich hoffe mir wird nach
> deiner "hoffentlich" nächstens Antwort klar warum ich das
> so folgern muss....Wieso muss [mm]\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}\in\IZ[/mm]
> [mm]\ZI[/mm] gefolgert werden, um weiter Schlüsse zuziehen?
Warum [mm]\frac{1}{k} \binom{n - 1}{k - 1}\in\IZ[/mm] ?
[mm]n*\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] willst du folgern. Wenn [mm]\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1} \in \IR[/mm] gilt, dann muss [mm] \(y\in\IR\) [/mm] gelten. Du hast ja das eine durch das andere ersetzt. Aber wie ich oben schon geschrieben habe, braucht man ein [mm] \(y\in\IZ\) [/mm] oder [mm] \(y\in\IN\). [/mm]
> > LG Felix
>
> Schönen Abend, Daniel
Angenehme Nacht,
Roland.
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Hallo,
[mm] n|\vektor{n \\ k} [/mm] mit ggT(n,k)=1 und [mm] 1\le k\le [/mm] n
[mm] n|\vektor{n \\ k} [/mm] <=> [mm] \vektor{n \\ k}=n*y [/mm] mit [mm] \exists z\in\IN
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k}=n*y [/mm] <=> [mm] \bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y
[/mm]
Ich habe nun 2 Ideen:
(1) Ich benutze nun folgenden Hilfssatz a|b*c und ggT(a,b) => a|c
Aus [mm] \bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y [/mm] und ggT(n,k)=1 folgt das [mm] k|\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] => [mm] \exists [/mm] y [mm] \in\IN [/mm] : [mm] k|\vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
So nun können wir aus [mm] \bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y [/mm] folgern, dass [mm] n|\vektor{n \\ k} [/mm] teilt, weil [mm] \bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=y \in\IN [/mm] Ich hoffe, das ist nun so weit richtig argumentiert.
(2) [mm] \bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y [/mm] muss gezeigt werden das [mm] \bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1} \in\IN [/mm] <=> [mm] k|\vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
Beweis: Es gilt [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] <=> [mm] k*\vektor{n \\ k}=n*\vektor{n-1 \\ k-1}, [/mm] da ggT(n,k)=1 muss k Teiler von [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] und man müsste doch eigentlich auch direkt schließen dass [mm] n|\vektor{n \\ k}!? [/mm]
Wie würdet ihr meine beiden Ideen bewerten?
Vielen Danke aber für die bisherige Hilfe, sonst wäre ich niemals über diesen Trivialpunkt von n|n hinausgekommen ;) Also danke schön!
Grüße BeeRe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 03.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo BeeRe!
> [mm]n|\vektor{n \\ k}[/mm] mit ggT(n,k)=1 und [mm]1\le k\le[/mm] n
>
> [mm]n|\vektor{n \\ k}[/mm] <=> [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] mit [mm]\exists z\in\IN[/mm]
>
> [mm]\vektor{n \\ k}=n*y[/mm] <=> [mm]\bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm]
>
> Ich habe nun 2 Ideen:
> (1) Ich benutze nun folgenden Hilfssatz a|b*c und ggT(a,b)
> => a|c
>
> Aus [mm]\bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] und ggT(n,k)=1
> folgt das [mm]k|\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] => [mm]\exists[/mm] y [mm]\in\IN[/mm] :
> [mm]k|\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
>
> So nun können wir aus [mm]\bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm]
> folgern, dass [mm]n|\vektor{n \\ k}[/mm] teilt, weil
> [mm]\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=y \in\IN[/mm] Ich hoffe,
> das ist nun so weit richtig argumentiert.
Ja, das ist nun korrekt.
> (2) [mm]\bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}=n*y[/mm] muss gezeigt
> werden das [mm]\bruch{1}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1} \in\IN[/mm] <=>
> [mm]k|\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
>
> Beweis: Es gilt [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n}{k}*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> <=> [mm]k*\vektor{n \\ k}=n*\vektor{n-1 \\ k-1},[/mm] da ggT(n,k)=1
> muss k Teiler von [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] und man müsste doch
> eigentlich auch direkt schließen dass [mm]n|\vektor{n \\ k}!?[/mm]
Ja, du kannst auch direkt schliessen dass $n [mm] \mid \binom{n}{k}$ [/mm] gilt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 03.12.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
vielen Dank für eure Hilfe!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:42 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Halo!
> Ich wollte zuerst folgenden Hilfsatz beweisen:
>
> Aus a|b*c und ggT(a,b)=1 folgt a|c.
>
> Da a|b*c <=> b*c=a*x mit [mm]x\in\IN[/mm] und dem Wissen, dass a
> nicht b teilt folgt dass a|c. Richtig so?
Nein, das geht so nicht. Es ist ja z.B. auch 4 ein Teiler von $12 = 2 [mm] \cdot [/mm] 6$, jedoch ist 4 weder ein Teiler von 2 noch von 6. Du musst schon benutzen, dass $ggT(a, b) = 1$ ist, und nicht nur dass $a$ kein Teiler von $b$ ist.
Betrachte doch mal die Primfaktorzerlegung von $a$. Du musst zeigen, dass jede Primfaktorpotenz, die $a$ teilt, auch $c$ teilt.
LG Felix
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> Halo!
>
> > Ich wollte zuerst folgenden Hilfsatz beweisen:
> >
> > Aus a|b*c und ggT(a,b)=1 folgt a|c.
> >
> > Da a|b*c <=> b*c=a*x mit [mm]x\in\IN[/mm] und dem Wissen, dass a
> > nicht b teilt folgt dass a|c. Richtig so?
>
> Nein, das geht so nicht. Es ist ja z.B. auch 4 ein Teiler
> von [mm]12 = 2 \cdot 6[/mm], jedoch ist 4 weder ein Teiler von 2
> noch von 6. Du musst schon benutzen, dass [mm]ggT(a, b) = 1[/mm]
> ist, und nicht nur dass [mm]a[/mm] kein Teiler von [mm]b[/mm] ist.
Ist etwa meine Aussage nicht äquivalent zu deiner? Also "und dem Wissen, dass a nicht b teilt folgt <=> ggT(a,b)=1 "? Ist meine Folgerung nicht richtig?
>
> Betrachte doch mal die Primfaktorzerlegung von [mm]a[/mm]. Du musst
> zeigen, dass jede Primfaktorpotenz, die [mm]a[/mm] teilt, auch [mm]c[/mm]
> teilt.
Okay ich verstehe, dass so: Ich soll einerseits sagen bei b*c=a*x dass erstens gilt ggT(a,b)=1 UND zweitens noch zeigen ist, dass a|c NUR teilt, wenn ich beweisen kann, dass jede der Primfaktoren in a teilbar durch c gleich sind, und somit teilbar wären?
> LG Felix
>
lg daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> > > Ich wollte zuerst folgenden Hilfsatz beweisen:
> > >
> > > Aus a|b*c und ggT(a,b)=1 folgt a|c.
> > >
> > > Da a|b*c <=> b*c=a*x mit [mm]x\in\IN[/mm] und dem Wissen, dass a
> > > nicht b teilt folgt dass a|c. Richtig so?
> >
> > Nein, das geht so nicht. Es ist ja z.B. auch 4 ein Teiler
> > von [mm]12 = 2 \cdot 6[/mm], jedoch ist 4 weder ein Teiler von 2
> > noch von 6. Du musst schon benutzen, dass [mm]ggT(a, b) = 1[/mm]
> > ist, und nicht nur dass [mm]a[/mm] kein Teiler von [mm]b[/mm] ist.
>
> Ist etwa meine Aussage nicht äquivalent zu deiner? Also
> "und dem Wissen, dass a nicht b teilt folgt <=> ggT(a,b)=1
> "? Ist meine Folgerung nicht richtig?
Nun: $4$ teilt nicht $2$, aber $ggT(4, 2) = 2$.
Also stimmt das nicht.
> > Betrachte doch mal die Primfaktorzerlegung von [mm]a[/mm]. Du musst
> > zeigen, dass jede Primfaktorpotenz, die [mm]a[/mm] teilt, auch [mm]c[/mm]
> > teilt.
>
> Okay ich verstehe, dass so: Ich soll einerseits sagen bei
> b*c=a*x dass erstens gilt ggT(a,b)=1 UND zweitens noch
> zeigen ist, dass a|c NUR teilt, wenn ich beweisen kann,
> dass jede der Primfaktoren in a teilbar durch c gleich
> sind, und somit teilbar wären?
Jede Primfaktorpotenz!
In einem faktoriellen Ring gilt doch: ist $a = u [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$ [/mm] mit paarweise verschiedenen Primelementen [mm] $p_i$, [/mm] einer Einheit $u$ und [mm] $e_i \in \IN_{>0}$, [/mm] so gilt $a [mm] \mid [/mm] b$ genau dann, wenn [mm] $p_i^{e_i} \mid [/mm] b$ gilt fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$.
LG Felix
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