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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 So 24.09.2006 | | Autor: | Burli |
| Aufgabe | Beispiel: Für alle natürlichen Zahlen n ist 8 ein Teiler von [mm] 9^n-1
[/mm]
Verankerung: n=1
[mm] 9^1 [/mm] -1=8=8*1
--> 8 ist ein Teiler von [mm] 9^1-1
[/mm]
Vererbung: von n auf n+1
Annahme: 8 ist ein Teiler von [mm] 9^n-1
[/mm]
Zu zeigen:
8 ist ein Teiler von [mm] 9^{n+1}-1
[/mm]
Nachweis:
[mm] 9^{n+1}=9^n*9-1
[/mm]
[mm] =9*(9^n-1)+9-1
[/mm]
=9*8m+8
=8*(9m+1)
[mm] =8*m_{1} [/mm] |
Hallo
also wir sollen dieses Bsp. verstehen um es in der nächsten Stunde vor dem Kurs zu erklären...
Also der Nachweis ist mein Problem, wäre nett wenn ihn einer von euch mal gut erklären könnte. Ich versteh den Text aus dem Buch nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 So 24.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Beispiel: Für alle natürlichen Zahlen n ist 8 ein Teiler
> von [mm]9^n-1[/mm]
>
> Verankerung: n=1
> [mm]9^1[/mm] -1=8=8*1
> --> 8 ist ein Teiler von [mm]9^1-1[/mm]
>
> Vererbung: von n auf n+1
> Annahme: 8 ist ein Teiler von [mm]9^n-1[/mm]
>
> Zu zeigen:
> 8 ist ein Teiler von [mm]9^{n+1}-1[/mm]
>
> Nachweis:
> [mm]9^{n+1}=9^n*9-1[/mm]
> [mm]=9*(9^n-1)+9-1[/mm]
> =9*8m+8
> =8*(9m+1)
> [mm]=8*m_{1}[/mm]
> Hallo
> also wir sollen dieses Bsp. verstehen um es in der
> nächsten Stunde vor dem Kurs zu erklären...
> Also der Nachweis ist mein Problem, wäre nett wenn ihn
> einer von euch mal gut erklären könnte. Ich versteh den
> Text aus dem Buch nicht.
Was genau verstehst du denn daran nicht? Kennst du denn allgemein das Prinzip der Vollständigen Induktion?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 24.09.2006 | | Autor: | Burli |
Doch kenn ich, dazu hab ich auch eine Aufgabe eben gelöst
aber wie komm ich auf den zweiten Schritt im Nachweis?
aber da hakt es bei mir
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Hallo!
> Beispiel: Für alle natürlichen Zahlen n ist 8 ein Teiler
> von [mm]9^n-1[/mm]
>
> Verankerung: n=1
> [mm]9^1[/mm] -1=8=8*1
> --> 8 ist ein Teiler von [mm]9^1-1[/mm]
>
> Vererbung: von n auf n+1
> Annahme: 8 ist ein Teiler von [mm]9^n-1[/mm]
>
> Zu zeigen:
> 8 ist ein Teiler von [mm]9^{n+1}-1[/mm]
>
> Nachweis:
> [mm]9^{n+1}=9^n*9-1[/mm]
> [mm]=9*(9^n-1)+9-1[/mm]
> =9*8m+8
> =8*(9m+1)
> [mm]=8*m_{1}[/mm]
Den zweiten Schritt? Also auf [mm] $=9*(9^n-1)+9-1$. [/mm] Wie man darauf kommt - keine Ahnung, muss man sich wohl überlegen, dass man irgendwas rausbekommt, mit dem man weiterkommt. Aber dass das das Gleiche ist, ist doch klar, oder? Wenn du es ausmultiplizierst steht da: [mm] $9*9^n-9+9-1$ [/mm] und das ist das Gleiche wie [mm] $9^{n+1}-1$ [/mm] und das stand ja vorher da.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Burli und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beispiel: Für alle natürlichen Zahlen n ist 8 ein Teiler
> von [mm]9^n-1[/mm]
>
> Verankerung: n=1
> [mm]9^1[/mm] -1=8=8*1
> --> 8 ist ein Teiler von [mm]9^1-1[/mm]
>
> Vererbung: von n auf n+1
> Annahme: 8 ist ein Teiler von [mm]9^n-1[/mm]
>
> Zu zeigen:
> 8 ist ein Teiler von [mm]9^{n+1}-1[/mm]
zu zeigen: [mm]9^{n+1}-1[/mm] kann man als ein Vielfaches von 8 schreiben.
>
> Nachweis:
> [mm]9^{n+1}=9^n*9-1[/mm]
besser/richtiger: [mm]9^{n+1}-1=9^n*9-1[/mm]
$= 9* [mm] 9^n \red{-9} (\green{+9} [/mm] -1)$
[mm]=9*\underbrace{(9^n \red{-1})}_{= 8*m \mbox{ wegen Annahme oben}} +\underbrace{(\green{9}-1)}_{=8}[/mm]
> =9*8*m+8
> =8*(9*m+1)
> [mm]=8*m_{1}[/mm]
> Hallo
> also wir sollen dieses Bsp. verstehen um es in der
> nächsten Stunde vor dem Kurs zu erklären...
> Also der Nachweis ist mein Problem, wäre nett wenn ihn
> einer von euch mal gut erklären könnte. Ich versteh den
> Text aus dem Buch nicht.
Ich habe mal zum besseren Verständnis ein paar Zwischenschritte eingefügt.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mo 25.09.2006 | | Autor: | jasko |
Also,beim Prinzip der vollständigen Induktion geht man vollgendermaßen vor:
1)Für die zu beweisende Gleichung (die meistens über n gegeben ist - in deinem Fall: [mm]9^n-1[/mm] setzt man im ersten Schritt für n = 1 ein und überprüft ob die Annahme stimmt,also in deinem Fall:
[mm]9^1-1 = 9-1=8 \Rightarrow [/mm] 8 ist ein Teiler von 8 [mm] \Rightarrow T[/mm]!
2)Im zweiten Schritt kommt die Annahme das die zu beweisende Gleichung tatsechlich für n stimmt,also: 8 ist ein Teiler von [mm] 9^n-1[/mm]
3)Im dritten Schritt kommt dann der Nachweis das die zu beweisende Gleichung auch für n = n+1 stimmt,also in deinem Fall:
$ [mm] 9^{n+1}=9^n\cdot{}9-1 [/mm] $
$ [mm] =9\cdot{}(9^n-1)+9-1 [/mm] $
=9*8m+8
=8*(9m+1)
$ [mm] =8\cdot{}m_{1} [/mm] $,
womit bewiesen wäre das 8 ein Teiler von [mm]9^n-1[/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist!
Konkret zu deiner Frage:im 3. Schritt gillt es die,nach dem einsetzen von n = n+1,erhaltene Gleichung(in deinem Fall: [mm]9^{n+1}-1[/mm])so umzuformen das darin die Anfangsgleichung vorkommt(in deinem Fall: ( [mm]9^n-1[/mm])weil du für sie im 2. Schritt schon angenommen hast das sie mit 8 teilbar ist und demnach auch anstelle dieser gleichung dann 8m(steht für eine dürch 8 teilbare Zahl)schreiben kannst.In deinem Fall wurde im 2. Schritt des Nachweises einfach nur eine 9 zu der Gleichung adiert und von ihr wieder subtrahiert (kann man machen weil sich dadurch in der Gleichung nichts ändert),also es wurde folgendes gemacht:
[mm]9^n\cdot{}9-1 = 9^n\cdot{}9-1+9-9=9\cdot{}(9^n-1)+9-1[/mm].
Der Rest des Nachweises dürfte dann klar sein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Di 26.09.2006 | | Autor: | Burli |
danke für die vielen antworten..
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