Teilchen in Luftströmung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 09.02.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Ein Teilchen der Masse m gerät in eine Luftströmung der konst. Geschw. [mm] w_{0} [/mm] und wird mitgerissen. Auf das Teilchen wirkt eine Kraft [mm] k(w_{0}-v)^{2}, [/mm] die also dem Quadrat der Geschwindigkeitsdifferenz proportional sei. Man bestimme den Weg x und die Geschwindigkeit v des Teilchens als Funktionen der Zeit t unter den Anfangsbed. x(0)=0 und v(0)=0. Wird das Teilchen jemals schneller als die Strömung? Begründen Sie ihre Antwort mathematisch. |
Hallo :),
ich bin beim Lernen über diese Altklausurfrage gestolpert und wollte einmal fragen, ob die folgenden Gedanken dazu so schon einmal stimmen:
Kraft F sei prop. zum Quadrat der Geschwindigkeitsdifferenzen, also
(1) [mm] F=k(w_{0}-v)^{2} [/mm] mit Proportionalitätsfaktor k.
(2) Daraus kann ich mir ja sofort v durch umstellen bestimmen (nehme ich mal unwissend an)...
Also wäre v(t) = [mm] w_{0} \pm \wurzel{\bruch{F}{k}}.
[/mm]
(Kann man eine der Lösungen aus physik. Sicht wegfallen lassen? Ich kenne mich da nicht aus, würde also erstmal mit beiden parallel weiterrechnen...)
(3)x(t) kann man ja dann auch eigentlich sofort per Hauptsatz derIntegralrechnung ausrechnen. Braucht man hier dann überhaupt DGL?
Ich habe hier das Gefühl irgendwas zu übersehen...vllt. muss man die Masse des Teilchens noch mit einbeziehen, indem man sagt, dass ja F=m*a (mit a der Beschleunigung des Teilchens) gilt.
Ich hoffe ihr seht da etwas mehr als ich. Vielen Dank schonmal fürs Drüberschauen. :)
Orchis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 09.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Ein Teilchen der Masse m gerät in eine Luftströmung der
> konst. Geschw. [mm]w_{0}[/mm] und wird mitgerissen. Auf das Teilchen
> wirkt eine Kraft [mm]k(w_{0}-v)^{2},[/mm] die also dem Quadrat der
> Geschwindigkeitsdifferenz proportional sei. Man bestimme
> den Weg x und die Geschwindigkeit v des Teilchens als
> Funktionen der Zeit t unter den Anfangsbed. x(0)=0 und
> v(0)=0. Wird das Teilchen jemals schneller als die
> Strömung? Begründen Sie ihre Antwort mathematisch.
> Hallo :),
> ich bin beim Lernen über diese Altklausurfrage gestolpert
> und wollte einmal fragen, ob die folgenden Gedanken dazu so
> schon einmal stimmen:
> Kraft F sei prop. zum Quadrat der
> Geschwindigkeitsdifferenzen, also
>
> (1) [mm]F=k(w_{0}-v)^{2}[/mm] mit Proportionalitätsfaktor k.
>
> (2) Daraus kann ich mir ja sofort v durch umstellen
> bestimmen (nehme ich mal unwissend an)...
> Also wäre v(t) = [mm]w_{0} \pm \wurzel{\bruch{F}{k}}.[/mm]
> (Kann
> man eine der Lösungen aus physik. Sicht wegfallen lassen?
> Ich kenne mich da nicht aus, würde also erstmal mit beiden
> parallel weiterrechnen...)
Hallo,
wegen der Anfangsbedingung [mm] v_0=0 [/mm] ist (zumindest am Anfang) eine der beiden Lösungen unmöglich.
Im Prinzip wäre es aber auch möglich, dass das Teilchen in den Luftstrom hineingeschossen würde, so dass es am Anfang eine höhere Geschwindigkeit als die Umgebungsluft hätte und von ihr gebremst würde.
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> (3)x(t) kann man ja dann auch eigentlich sofort per
> Hauptsatz derIntegralrechnung ausrechnen. Braucht man hier
> dann überhaupt DGL?
>
> Ich habe hier das Gefühl irgendwas zu übersehen...vllt.
> muss man die Masse des Teilchens noch mit einbeziehen,
> indem man sagt, dass ja F=m*a (mit a der Beschleunigung des
> Teilchens) gilt.
Aus [mm]F=k(w_{0}-v)^{2}[/mm] folgt [mm]m*a=k(w_{0}-v)^{2}[/mm] bzw. [mm]a=\frac{k}{m}(w_{0}-v)^{2}=k_1(w_{0}-v)^{2}[/mm].
Da k und m Konstanten sind, ist auch der Bruch [mm]\frac{k}{m}=k_1[/mm] eine (andere) Konstante.
Gruß Abakus
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> Ich hoffe ihr seht da etwas mehr als ich. Vielen Dank
> schonmal fürs Drüberschauen. :)
> Orchis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 So 09.02.2014 | | Autor: | Orchis |
Ahhh, ich danke dir! Das führt dann natürlich auf eine einfache DGL, die man mit Trennung der Variablen lösen kann. Dann hätte man also v bestimmt! Den Weg x bekomme ich dann durch das Integral von v (jeweils Anfangsbedingungen einsetzen) und entsprechend das Maximum von v abschätzen, um zu beantworten, ob das teilchen jemals schneller werden könnte als die Strömung (, was ich aber nicht glaube ...).
Nochmals danke!!!
Vg Orchis
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