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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige: Sind a,b [mm] \in \IZ [/mm] mit ggT(a,b)=d, so gilt a [mm] \IZ [/mm] + b [mm] \IZ [/mm] = d [mm] \IZ
[/mm]
(wobei [mm] n\IZ [/mm] := [mm] \{ kn | k \in \IZ}) [/mm] |
Hallo, ich stehte bei der Aufgabe an.
ZZ:
a k + b z = d u
mit k,t,u [mm] \in \IZ
[/mm]
Habt ihr ein Tipp für mich, was ich anwenden muss? Habt leider gar keine Idee...
Danke,
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moin sissile,
Das erste, was du hier machen solltest, ist dir klar zu machen, dass du es hier mit Mengen zu tun hast.
Und wie zeigt man die Gleichheit von Mengen normalerweise?
Um [mm] $\subseteq$ [/mm] zu zeigen überlege dir wieso es reicht zu zeigen, dass $a,b [mm] \in d\IZ$.
[/mm]
Für [mm] $\supseteq$ [/mm] kennst du sicher einen gewissen Algorithmus von einem gewissen Euklid.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Um $ [mm] \subseteq [/mm] $ zu zeigen überlege dir wieso es reicht zu zeigen, dass $ a,b [mm] \in d\IZ [/mm] $.
ggT(a,b)=d
d / a , d/b
[mm] \exists [/mm] t,s [mm] \in \IZ [/mm] : a=d*t, b=d*s
d*t+d*s=d*(t+s) = d * [mm] \IZ
[/mm]
Falsch gedacht?
LG
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Nun, du hast jetzt gezeigt, dass $a,b$ sowie $a+b$ in [mm] $d\IZ$ [/mm] liegen.
Wie zeigst du aber, dass jedes Element aus [mm] $a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ$ [/mm] in [mm] $d\IZ$ [/mm] liegt?
Welche Form hat ein jedes solches Element?
Und natürlich fehlt die Rückrichtung noch.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Wie zeigst du aber, dass jedes Element aus $ [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] $ in $ [mm] d\IZ [/mm] $ liegt?
> Welche Form hat ein jedes solches Element?
Ist nicht automatisch, wenn a + b [mm] \in [/mm] d [mm] \IZ [/mm] (d.h. a+b= [mm] \{ k * (a+b) | k \in \IZ \}
[/mm]
auch a [mm] \IZ [/mm] + b [mm] \IZ \in [/mm] d [mm] \IZ [/mm] ?
[mm] a\IZ [/mm] + b [mm] \IZ [/mm] := [mm] \{ u*a+h*b | u,h \in \IZ \}
[/mm]
Setze ich dann u=h ?
Wäre toll, wenn du mir noch einmal helfen könntest, blicke noch nicht ganz durch!
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Naja, werfen wir mal mit einer ganzen Reihe Variablen um uns:
$a = d*x$, $b=d*y$
Sei $a*m + b*n [mm] \in (a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ)$
[/mm]
Dann ist $am + bn = dxm+dyn = d(xm+yn) [mm] \in d\IZ$
[/mm]
Nun überlege dir noch, wieso alle Vielfache von $d$ sich als Linearkombination von $a$ und $b$ schreiben lassen (wie gesagt: Euklid).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
ich danke dir.
ggT(a,b)=d
sokann man d=ax+by wobei x,y [mm] \in \IZ [/mm] schreiben
[mm] \IZ [/mm] * d = [mm] \IZ [/mm] ggT(a,b) = ggT(a [mm] \IZ, [/mm] b [mm] \IZ)
[/mm]
d [mm] \IZ= a\IZ*x [/mm] + b [mm] \IZ*y [/mm] wobei x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
Reicht das?
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> ich danke dir.
>
> ggT(a,b)=d
> sokann man d=ax+by wobei x,y [mm]\in \IZ[/mm] schreiben
>
> [mm]\IZ[/mm] * d = [mm]\IZ[/mm] ggT(a,b) = ggT(a [mm]\IZ,[/mm] b [mm]\IZ)[/mm]
> d [mm]\IZ= a\IZ*x[/mm] + b [mm]\IZ*y[/mm] wobei x,y [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Reicht das?
Die Form ist noch etwas sehr gewöhnungsbedürftig, aber die Grundideen sind zu erkennen.
Wie gesagt handelt es sich bei [mm] $d\IZ$ [/mm] um eine Menge, also versuch den Beweis wirklich wie einen Mengenbeweis aufzuziehen.
Sei $e [mm] \in d\IZ$. [/mm] Dann ist $e = d*f$ für ein $f [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Dies lässt sich auch schreiben als $(ax+by)*f$ ...
Außerdem darfst du nicht Mathe mit Rechnen verwechseln.
Ein wenig Text zur Erklärung und zum besseren Verständnis, was man da macht, ist immer hilfreich.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
Hei, danke
> Sei $ e [mm] \in d\IZ [/mm] $. Dann ist $ e = [mm] d\cdot{}f [/mm] $ für ein $ f [mm] \in \IZ [/mm] $.
Dies lässt sich auch schreiben als $ [mm] (ax+by)\cdot{}f [/mm] $ da ggT(a,b) =d und somit sich das d als Linearkombination von a und b darstellen lässt (d=ax+by mit x,y [mm] \in \IZ)
[/mm]
Ausmultipliziert ergibt das a*x*f+b*y*f wobei x*f [mm] \in \IZ [/mm] und y*f [mm] \in \IZ, [/mm] da die Multiplikation zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ist.
a*x*f+b*y*f [mm] \in (a\IZ [/mm] + b [mm] \IZ)
[/mm]
d.h [mm] e=d*\IZ \in a\IZ [/mm] + b [mm] \IZ
[/mm]
Wärst du so zufrieden?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
danke,lg
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