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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:17 Mo 17.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Beweise mit vollständiger Induktion: [mm] $9^{n}+15$ [/mm] ist für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] durch $24$ teilbar. |
hallo,
wie geht man solche "Teilbarkeits"-Beweise überhaupt an?
Also
IA: [mm] 9^{1}+15=24 [/mm] 24 ist teilbar durch 24.
[mm] 9^{n+1}+15 [/mm]
Dann muss ich das irgendwie auf etwas zurückführen was durch 24 teilbar ist und dann ist der Beweis fertig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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> Beweise mit vollständiger Induktion: [mm]9^{n}+15[/mm] ist für
> alle [mm]n\in \IN[/mm] durch [mm]24[/mm] teilbar.
> hallo,
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> wie geht man solche "Teilbarkeits"-Beweise überhaupt an?
Hallo,
ich formuliere mir für Teilbarkeit die Aussage immer etwas für mich griffiger um:
Behauptung: für jedes [mm] n\in \IN [/mm] findest man ein passendes [mm] k\in \IN [/mm] so, daß [mm]9^{n}+15[/mm] =24k.
>
>
> Also
>
> IA: [mm]9^{1}+15=24[/mm] 24 ist teilbar durch 24.
>
> [mm]9^{n+1}+15[/mm]
>
> Dann muss ich das irgendwie auf etwas zurückführen was
> durch 24 teilbar ist und dann ist der Beweis fertig?
Ja.
Wir machen das jetzt ausführlich.
Nach dem Induktionsanfang notiert man die Induktionsvoraussetzung.
Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] findet man ein [mm] k\in \IN [/mm] mit
[mm]9^{n}+15[/mm] =24k
Es folgt der Induktionsschluß, in welchem unter der eben gemachten Voraussetzung zu zeigen ist, daß die Behauptung dann auch für die darauffolgende natürliche Zahl, also für n+1, gilt.
Induktionsschluß:
zu zeigen: dann gibt es auch zu n+1 eine [mm] k'\in \IN [/mm] mit [mm]9^{(n+1)}+15[/mm] =24k'
Beweis: [mm]9^{(n+1)}+15[/mm] = [mm] 9*\green{9^n} [/mm] + 15 = ...
Für [mm] 9^n [/mm] kannst Du hier die Induktionsvoraussetzung umformen und einsetzen.
Dann das Erhaltene in die Form 24* (eine natürliche Zahl) bringen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:36 Mo 17.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo angela.h.b.,
ich komme auf die Form:
[mm] $9^{n+1}+5\cdot24 [/mm] +15 = [mm] 24\cdot(9k)$ [/mm]
bin ich damit schon fertig?
dankesehr für die Anleitung!
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> Hallo angela.h.b.,
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> ich komme auf die Form:
>
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> [mm]9^{n+1}+5\cdot24 +15 = 24\cdot(9k)[/mm]
Hallo,
ich kann hieraus überhaupt nicht erkennen, was Du getan hast.
Ich müßte und möchte von Dir mindestens den kompletten Induktionsschluß mit allen Rechnungen sehen -
am besten auch noch die Induktionsvoraussetzung.
Sei mal nicht so sparsam bei der Tipperei...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 17.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Rechnungsweg:
Induktionsanfang: [mm] $9^{1}+15$ [/mm] ist teilbar durch $24$
Induktionsvoraussetzung: [mm] $9^{n}+15=24k$ [/mm]
Induktionsschluss:
[mm] $9^{n+1}+15=9\cdot 9^{n} [/mm] + 15$
[mm] $9^{n+1}+15 [/mm] = [mm] 9\cdot [/mm] (24k-15)+15$
[mm] $9^{n+1}+15= [/mm] 216k-135+15$
[mm] $9^{n+1}+5\cdot [/mm] 24 + 15 = 24 [mm] \cdot [/mm] 9k$
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> Rechnungsweg:
>
> Induktionsanfang: [mm]9^{1}+15[/mm] ist teilbar durch [mm]24[/mm]
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> Induktionsvoraussetzung: [mm]9^{n}+15=24k[/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
>
> Induktionsschluss:
>
> [mm]9^{n+1}+15=9\cdot 9^{n} + 15[/mm]
>
> = [mm] 9\cdot [/mm] (24k-15)+15[/mm]
>
> =216k-135+15[/mm]
Hallo,
bis hierher ist's i.O.
Aber schreib es doch als schöne Gleichungskette auf und nicht immer [mm] 9^{n+1}+15 [/mm] vorne dran.
Und nun geht's so weiter:
[mm] 9^{n+1}-15= [/mm] ... = 216k-135+15 =216k - 120= 24*(9k -5).
Damit ist [mm] 9^{n+1}-15 [/mm] ein Vielfaches von 24, also teilbar durch 24.
Gruß v. Angela
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> [mm]9^{n+1}+5\cdot 24 + 15 = 24 \cdot 9k[/mm]
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Hallo,
für den Induktionsschluss kannst du alternativ auch so vorgehen:
Benutzt werden:
(1) [mm] $a\mid b\Rightarrow a\mid m\cdot{}b$ [/mm] für [mm] $m\in\IN$
[/mm]
(2) [mm] $a\mid b\wedge a\mid c\Rightarrow a\mid(b-c)$
[/mm]
Nach IV gilt: [mm] $24\mid\left(9^n+15\right)$
[/mm]
Damit auch nach (1): [mm] $24\mid\left(9\cdot{}\left(9^n+15\right)\right)=\left(9^{n+1}+135\right)=\left(\left(9^{n+1}+15\right)+120\right)$
[/mm]
Mit [mm] $24\mid\left(\left(9^{n+1}+15\right)+120\right)$ [/mm] und [mm] $24\mid [/mm] 120$ teilt es auch die Differenz nach (2), also [mm] $24\mid\left(9^{n+1}+15\right)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mo 17.05.2010 | | Autor: | kushkush |
ok,
Danke angela.h.b. und schachuzipus!
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