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| Aufgabe | | Geben Sie eine unbeschränkte Folge in [mm] \IR [/mm] an, die eine konvergente Teilfolge hat. Geben Sie eine unbeschränkte Folge in [mm] \IR [/mm] an, die genau drei Häufungspunkte hat. |
Hallo,
ich habe hier zwei Aufgabe, bei der ich mich Frage, ob es dafür ein bestimmtes "Rezept" gibt.
Ich kenne die Ausdrücke, weiß aber nicht, wie ich davon auf eine Beispiel-Folge kommen kann.
Konvergenz: Eine Folge [mm] a_{n} [/mm] heißt konvergent gegen a, falls gilt: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] n_{0} [/mm] mit der Eigenschaft [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Häufungspunkt: Eine reelle Zahl x heißt Häufungspunkt einer reellen Folge [mm] (a_{n})_{n}, [/mm] wenn es eine Teilfolge [mm] (a_{n{k}})_{k} [/mm] von [mm] (a_{n})_{n} [/mm] gibt, die gegen x konvergiert.
Vielen Dank und schönes Wochenende
kaykay_22
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie eine unbeschränkte Folge in [mm]\IR[/mm] an, die eine
> konvergente Teilfolge hat. Geben Sie eine unbeschränkte
> Folge in [mm]\IR[/mm] an, die genau drei Häufungspunkte hat.
> Hallo,
>
> ich habe hier zwei Aufgabe, bei der ich mich Frage, ob es
> dafür ein bestimmtes "Rezept" gibt.
> Ich kenne die Ausdrücke, weiß aber nicht, wie ich davon
> auf eine Beispiel-Folge kommen kann.
>
> Konvergenz: Eine Folge [mm]a_{n}[/mm] heißt konvergent gegen a,
> falls gilt: Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]n_{0}[/mm]
> mit der Eigenschaft [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>
> Häufungspunkt: Eine reelle Zahl x heißt Häufungspunkt
> einer reellen Folge [mm](a_{n})_{n},[/mm] wenn es eine Teilfolge
> [mm](a_{n{k}})_{k}[/mm] von [mm](a_{n})_{n}[/mm] gibt, die gegen x
> konvergiert.
zu der Aufgabe mit den 3 Häufungspunkten (denn, wenn Du die verstanden
hast, sollte Dir die andere keine Probleme mehr machen, zumal eine Lösung der Aufgabe mit den 3 Häufungspunkten auch die vorangestellte
Aufgabe eigentlich mit löst - ist Dir das klar?):
Probiere es doch mal mit der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $$a_n:=\begin{cases} n, & \mbox{falls } n \mbox{ teilbar ist durch }4 \\ r, & \mbox{falls } n \mbox{ bei der Division durch }4 \text{ den Rest }r \not=0 \text{ läßt}\\ \end{cases}$$
[/mm]
(Beachte: Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass der Rest bei der Division von [mm] $n\,$ [/mm] durch
[mm] $4\,$ [/mm] ein Element der Menge [mm] $\{0,1,2,3\}$ [/mm] ist!)
Minimal komplizierter wäre etwa die Folge der [mm] $b_n$ [/mm] mit
[mm] $$b_n:=\begin{cases} n, & \mbox{falls } n \mbox{ teilbar ist durch }4 \\ r+1/n, & \mbox{falls } n \mbox{ bei der Division durch }4 \text{ den Rest }r \not=0 \text{ läßt}\\ \end{cases}$$
[/mm]
P.S. Die Unbeschränktheit der Folge der [mm] $a_n$ [/mm] (oder der Folge der [mm] $b_n$)
[/mm]
ist ja fast trivial. Zeige nun, dass die Menge der Häufungspunkte [mm] $H\,$ [/mm]
gegeben ist durch
[mm] $$H=\{1,2,3\}\,,$$
[/mm]
indem Du einerseits zeigst, dass [mm] $\{1,2,3\} \subseteq [/mm] H$ gilt (d.h., zu zeigen ist, dass sowohl [mm] $1\,$ [/mm] als auch [mm] $2\,$ [/mm] als auch [mm] $3\,$ [/mm] Häufungspunkte der betrachteten
Folge sind, und natürlich ist auch zu zeigen, dass $H [mm] \subseteq \{1,2,3\}$ [/mm] gilt:
D.h., dass jeder Häufungspunkt der Folge entweder [mm] $1\,$ [/mm] oder [mm] $2\,$ [/mm] oder
[mm] $3\,$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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Man könnte eine Folge mit drei Häufungspunkten auch direkt angeben:
[mm]0,1,2,-1,-2,0,1,3,-1,-3,0,1,4,-1,-4,0,1,5,-1,-5,\ldots[/mm]
Wenn man wollte, ließe sich das leicht in Formeln gießen. Aber welchen zusätzlichen Erkenntnisgewinn hätte man davon?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man könnte eine
UNBESCHRÄNKTE (Deine Folge ist das auch, aber diese Forderung steht
nichtsdestotrotz in der Aufgabe, also erwähne ich sie auch nochmal!)
> Folge mit drei Häufungspunkten auch
> direkt angeben:
>
> [mm]0,1,2,-1,-2,0,1,3,-1,-3,0,1,4,-1,-4,0,1,5,-1,-5,\ldots[/mm]
Ja, ich kann meine auch direkt angeben (bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
[mm] $$(a_n)_{n \in \IN}=(a_1,a_2,\ldots)=(1,2,3,\underbrace{4}_{=1*4},1,2,3,\underbrace{8}_{=2*4},1,2,3,\underbrace{12}_{=3*4},1,2,3,\underbrace{16}_{=4*4},1,2,3,\underbrace{20}_{=5*4},1,2,3,\ldots)$$
[/mm]
> Wenn man wollte, ließe sich das leicht in Formeln gießen.
> Aber welchen zusätzlichen Erkenntnisgewinn hätte man
> davon?
Es kann helfen, beim Beweis die Übersicht zu bewahren. Außerdem ist der
Erkenntnisgewinn, so etwas in Formeln zu gießen, alleine schon der
Gewinn, zu erkennen, ob man es kann. (Schließlich habe ich gerade zu
Studienbeginn auch mal schnell etwas "in Formeln gegossen" - und nicht
immer entsprach die Formel dann dem, was ich haben wollte; und aus
Fehlern lernt man bekanntlich, von daher würde ich jedem empfehlen, auch
zu versuchen, das ganze in Formeln zu gießen. Dir natürlich nicht, denn
gemäß Deinen Erfahrungswerten wird Dir das sicher eh gelingen - aber
gerade bei Erst-/Zweitsemestlern sieht die Sachlage da meist anders aus!)
P.S. Die 'direkte' Angabe einer solchen Folge erspart übrigens nicht den
Beweis, dass die Folge auch die gewünschten Eigenschaften hat. Zudem
hat eine 'nicht in Formeln gegossene' Folge eigentlich in der Tat ein
weiteres Problem:
[mm] $$0,1,2,-1,-2,0,1,3,-1,-3,0,1,4,-1,-4,0,1,5,-1,-5,\ldots$$
[/mm]
Wer sagt denn, wie die [mm] $\ldots$ [/mm] eigentlich weitergehen? Es könnte ja
durchaus sein, dass bei Dir ab dem 21. Folgeglied alle Folgenglieder den
Wert [mm] $0\,$ [/mm] haben - klar, schematisch würde das nicht passen, aber selbst,
wenn man sagt, dass die [mm] $\ldots$ [/mm] das Schema fortsetzen sollen: Das
Schema wurde nirgends definiert. Streng genommen ist diese
[mm] $\ldots$-Notation [/mm] eigentlich etwas, wo sich jeder Student beschweren
könnte und sagen könnte: "Die Folge ist gar nicht komplett definiert."
Das ist eigentlich ein altbekanntes 'Problem', vor allem in der Analyis, das
man nichtsdestotrotz, weil es sich halt auch bewährt hat, ignoriert.
Ich kann aber auch hingehen und schreiben:
[mm] $$2,4,8,\ldots$$
[/mm]
Wie geht's nun weiter? Die meisten würden denken:
[mm] $$2=2^1, 4=2^2, 8=2^3$$
[/mm]
also folgt
[mm] $$16,32,64,\ldots$$
[/mm]
Aber ich habe mir gedacht: Ich SETZE [mm] $a_1:=2, a_2:=4\,$ [/mm] und für natürliches $n [mm] \ge [/mm] 2$ nun [mm] $a_{n+1}:=a_n*a_{n-1}\,.$
[/mm]
[mm] $$2,4,8,32,256,\ldots$$
[/mm]
Also umgekehrt: [mm] $\ldots$-Notationen [/mm] sind eigentlich sogar etwas, was
man vermeiden sollte; sie sind eher dann verwendbar, wenn man sich
etwa klarmachen will, wie 'die ersten Folgenglieder einer Folge definiert
sind' und "wie sich die Folge wohl entwickeln 'sollte'".
Gruß,
Marcel
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