Teilfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Di 03.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien [mm] \{a_{n}\},\{b_{n}\} [/mm] Folgen in einem metrischem Raum (X,d).Sei
[mm] c_{n}:=\begin{cases} a_{\bruch{n}{2}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ b_{\bruch{n+1}{2}}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}.
[/mm]
Man zeige,dass [mm] \{c_{n}\} [/mm] genau dann gegen x [mm] \in [/mm] X konvergiert,wenn [mm] \{a_{n}\} [/mm] und [mm] \{b_{n}\} [/mm] gegen x konvergieren. |
Hallo^^
Ich habe die Aufgabe gemacht und wüsste gern ob das so einigermaßen in Ordnung ist.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Angenommen [mm] \{c_{n}\} [/mm] konvergiert gegen ein x [mm] \in [/mm] X.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthält jede beschränkte unendliche Folge reeller Zahlen eine unedliche konvergente Teilfolge.
So, da ich annheme dass [mm] c_{n} [/mm] konvergiert, folgt, dasss [mm] \{c_{n}\} [/mm] beschränkt ist und unendlich ist sie auch. Daraus folgt jetzt, dass [mm] \{c_{n}\} [/mm] mindestens eine unendliche konvergente Teilfolge [mm] t_{n_{k}} [/mm] enthält. Jetzt setze ich einfach [mm] t_{n_{1}}=a_{n} [/mm] und [mm] t_{n_{2}}=b_{n}.
[/mm]
Es bleibt also noch zu zeigen, dass [mm] \{a_{n}\} [/mm] und [mm] \{b_{n}\} [/mm] gegem das gleiche x konvergieren wie [mm] c_{n}. c_{n} [/mm] konvergiert gegen x, d.h.
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: d(c_{n},x)< \varepsilon \forall [/mm] n>N.
Da nun aber [mm] c_{n}=a_{\bruch{n}{2}} [/mm] für n gerade und [mm] c_{n}=b_{\bruch{n+1}{2}} [/mm] für n ungerade, kann ich dieses einfach einsetzen und habe [mm] d(a_{n},x)< \varepsilon \forall [/mm] n>N und [mm] d(b_{n},x)< \varepsilon \forall [/mm] n>N.
Soviel zur Hinrichtung.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Angenommen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] konvergieren gegen x [mm] \in [/mm] X.
Dann folgt, dass die beiden beschränkt sind. Da nun [mm] c_{n}=\{b_{1},a_{1},b_{2},a_{2},b_{3},a_{3},...\}, [/mm] muss [mm] c_{n} [/mm] auch gegen x konvergieren.
Das ist eigentlich schon so klar, dass ich nicht weiß,wie ich es anders beweisen soll.
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Di 03.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]\{a_{n}\},\{b_{n}\}[/mm] Folgen in einem metrischem Raum
> (X,d).Sei
>
> [mm]c_{n}:=\begin{cases} a_{\bruch{n}{2}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ b_{\bruch{n+1}{2}}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}.[/mm]
>
> Man zeige,dass [mm]\{c_{n}\}[/mm] genau dann gegen x [mm]\in[/mm] X
> konvergiert,wenn [mm]\{a_{n}\}[/mm] und [mm]\{b_{n}\}[/mm] gegen x
> konvergieren.
> Hallo^^
>
> Ich habe die Aufgabe gemacht und wüsste gern ob das so
> einigermaßen in Ordnung ist.
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Angenommen [mm]\{c_{n}\}[/mm] konvergiert gegen ein x
> [mm]\in[/mm] X.
> Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthält jede
> beschränkte unendliche Folge reeller Zahlen eine unedliche
> konvergente Teilfolge.
Du bist hier nicht in [mm] \IR [/mm] ! In einem metr. Raum muß der Satz von Bolzano-Weierstraß nicht gelten !
>
> So, da ich annheme dass [mm]c_{n}[/mm] konvergiert, folgt, dasss
> [mm]\{c_{n}\}[/mm] beschränkt ist und unendlich ist sie auch.
> Daraus folgt jetzt, dass [mm]\{c_{n}\}[/mm] mindestens eine
> unendliche konvergente Teilfolge [mm]t_{n_{k}}[/mm] enthält.
Was soll das ? Das ist doch trivial, wenn Du voraussetzt, dass [mm] (c_n) [/mm] konvergiert !!!
>Jetzt
> setze ich einfach [mm]t_{n_{1}}=a_{n}[/mm] und [mm]t_{n_{2}}=b_{n}.[/mm]
> Es bleibt also noch zu zeigen, dass [mm]\{a_{n}\}[/mm] und
> [mm]\{b_{n}\}[/mm] gegem das gleiche x konvergieren wie [mm]c_{n}. c_{n}[/mm]
> konvergiert gegen x, d.h.
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: d(c_{n},x)< \varepsilon \forall[/mm]
> n>N.
> Da nun aber [mm]c_{n}=a_{\bruch{n}{2}}[/mm] für n gerade und
> [mm]c_{n}=b_{\bruch{n+1}{2}}[/mm] für n ungerade, kann ich dieses
> einfach einsetzen und habe [mm]d(a_{n},x)< \varepsilon \forall[/mm]
> n>N und [mm]d(b_{n},x)< \varepsilon \forall[/mm] n>N.
Nein, so geht das nicht !
Mach Dir klar: [mm] (a_n)=(c_{2n}) [/mm] und [mm] (b_{n})= (c_{2n-1}).
[/mm]
Dann sind also [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Teilfolgen von [mm] (c_n)
[/mm]
Wenn [mm] (c_n) [/mm] gegen x konv., was folgt dann für [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] ?
>
> Soviel zur Hinrichtung.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Angenommen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] konvergieren gegen
> x [mm]\in[/mm] X.
> Dann folgt, dass die beiden beschränkt sind. Da nun
> [mm]c_{n}=\{b_{1},a_{1},b_{2},a_{2},b_{3},a_{3},...\},[/mm] muss
> [mm]c_{n}[/mm] auch gegen x konvergieren.
Ja, das solltest Du aber noch sauber begründen.
FRED
> Das ist eigentlich schon so klar, dass ich nicht weiß,wie
> ich es anders beweisen soll.
>
> Vielen Dank
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
Danke für deine Hilfe,
> Nein, so geht das nicht !
Schade!
>
> Mach Dir klar: [mm](a_n)=(c_{2n})[/mm] und [mm](b_{n})= (c_{2n-1}).[/mm]
>
Das ist klar.
> Dann sind also [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Teilfolgen von [mm](c_n)[/mm]
>
> Wenn [mm](c_n)[/mm] gegen x konv., was folgt dann für [mm](a_n)[/mm] und
> [mm](b_n)[/mm] ?
> >
Eigentlich folgt ja die Behauptung, aber so gehts ja leider nicht.
Wenn [mm] \{c_{n}\} [/mm] gegen x [mm] \in [/mm] X konvergiert, bedeutet das zunächst einmal,dass [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: d(c_{n},x)< \varepsilon \forall [/mm] n>N und [mm] c_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall [/mm] n>N, somit auch [mm] c_{2n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall [/mm] n>N und [mm] c_{2n-1} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall [/mm] n>N.Da aber [mm] \{a_{n}\} [/mm] und [mm] \{b_{n}\} [/mm] Teilfolgen sind, bedeutet das,dass auch [mm] a_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall [/mm] n>N und [mm] b_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall [/mm] n>N.
Und daraus folgt eben die Behauptung. Das finde ich jetzt schon einleuchtend. Oder kann man hier überhaupt nicht über die Epsilon-Kugeln argumentieren?
lg
|
|
|
| |
|
Moin Mandy,
> Hallo,
> Danke für deine Hilfe,
> > Nein, so geht das nicht !
>
> Schade!
> >
> > Mach Dir klar: [mm](a_n)=(c_{2n})[/mm] und [mm](b_{n})= (c_{2n-1}).[/mm]
> >
>
> Das ist klar.
> > Dann sind also [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Teilfolgen von [mm](c_n)[/mm]
> >
> > Wenn [mm](c_n)[/mm] gegen x konv., was folgt dann für [mm](a_n)[/mm] und
> > [mm](b_n)[/mm] ?
> > >
> Eigentlich folgt ja die Behauptung, aber so gehts ja leider nicht.
> Wenn [mm]\{c_{n}\}[/mm] gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, bedeutet das
> zunächst einmal,dass [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: d(c_{n},x)< \varepsilon \forall[/mm]
> n>N und [mm]c_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall[/mm] n>N, somit
> auch [mm]c_{2n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall[/mm] n>N und [mm]c_{2n-1} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall[/mm] n>N.
Hier bist du fast schon fertig. Du hast gezeigt, dass sich in jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder von [mm] c_{2n} [/mm] und [mm] c_{2n-1} [/mm] und außerhalb dieser [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebungen nur endlich viele Folgenglieder befinden. Es folgt [mm] c_{2n}=a_n\to [/mm] x und [mm] c_{2n-1}=b_n\to [/mm] x, [mm] n\to\infty.
[/mm]
> Da aber
> [mm]\{a_{n}\}[/mm] und [mm]\{b_{n}\}[/mm] Teilfolgen sind, bedeutet das,dass
> auch [mm]a_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall[/mm] n>N und [mm]b_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon) \forall[/mm] n>N.
> Und daraus folgt eben die Behauptung. Das finde ich jetzt
> schon einleuchtend. Oder kann man hier überhaupt nicht
> über die Epsilon-Kugeln argumentieren?
>
> lg
>
>
>
LG
P.S: Tipp zur Lesbarkeit: Versuche zu viel Quantoren zu vermeiden, es wirkt dadurch schnell etwas unübersichtlich.
|
|
|
|
