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Tja wiedermal soeine Aufgabe wo ich absolut nicht weiss was ich überhaupt machen soll!
Zeigen Sie für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit m [mm] \le [/mm] n : Die Anzahl der m-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist [mm] \vektor{n \\ m}
[/mm]
Weiss gar nicht was ich da machen soll! und dann auch noch 4 Punkte!
bin für jede Lösung sehr dankbar!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo King!
Also, erstmal ist natürlich wichtig, dass du weißt, wie du den Binomialkoeffizienten auch schreiben kannst:
[mm] $\vektor{n\\k }=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$.
[/mm]
So, diesen Ausdruck musst du nun "interpretieren". Was gibt dir die Fakultät in der Kombinatorik an?
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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hmmm das sagt mir jetzt nicht so wirklich was!
kann mir da nix drunter vorstellen!
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Die sogenannte fallende Faktuelle [mm] $n^{\underline{k}}=n(n-1)...(n-k+1)$ [/mm] gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k aus n Objekten auszuwählen, wobei auf die Reihenfolge geachtet wird. Für die erste Auswahl gibt es nämlich n Möglichkeiten, für die zweite n-1 usw. Es wird allerdings bei einer Auswahl von drei aus fünf Objekten nicht zwischen $(5,2,4)$ und $(2,5,4)$ unterschieden. Insgesamt gibt es genau $k!$ (k beschreibt weiterhin die Anzahl der Objekte, die ausgewählt wurden) Möglichkeiten, eine jede Auswahl umzuordnen. Haben wir nämlich eine Auswahl von k Objekten getroffen und wollen sie anordnen, so gibt es für die erste Position genau k mögliche Objekte, für die zweite nur noch k-1, für die dritte nur noch k-2 usw., insgesamt also k!. Möchten wir also bei der Auswahl unserer k Objekte nicht auf deren Reihenfolge achten, so müssen wir die gesamte Zahl der geordneten Auswahlen durch die Zahl der Permutationen pro Auswahl teilen, um genau die Anzahl an ungeordneten Auswahlmöglichkeiten zu erhalten, welche wir suchen.
Somit ergibt sich der Term [mm] $\frac{n^{\underline{k}}}{k!}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\vektor{n\\ k}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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