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| Aufgabe | Bestimmen und skizzieren sie die durch folgende bedingung festegelegte Teilmenge M der komplexen Zahlen
1. [mm] z\overline{z} [/mm] - 2Re(-iz) < 0
2. [mm] \vmat{ \bruch{1}{z}-1} \le [/mm] 1 |
Hallo, die Lösung der ersten Gleichung ist kein Problem aber ichkomme mit diesem Betrag nicht zurecht.
Im angehängten Bild ist die Musterlösung die uns bei der Besprechung der Klausuraufgabe gegeben wurde, ich und ein Freund von mir haben versucht die Aufgabe selber zu lösen sind jedoch immer wieder gescheitert, wir haben auch versucht z vonbeginn an mal aufzulösen.
die Schritte die ich rot markiert habe verstehe ich nicht.
bei der ersten Markierung kann ich nicht nachvollziehen warum dann plötzlich das [mm] z^4 [/mm] stehen bleiben darf und [mm] z^2 [/mm] wegfällt
bei der zweiten Markierung habe ich das Problem, dass doch eigentlich -i*-i = [mm] i^2 [/mm] =-1 ist aber in der rechnung mit 1 angenommen wird
ich hoffe ihr könnt uns helfen!
Gruß
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Bestimmen und skizzieren sie die durch folgende Bedingung
> festegelegte Teilmenge M der komplexen Zahlen
>
> 1. [mm]z\overline{z}[/mm] - 2Re(-iz) < 0
>
> 2. [mm]\vmat{ \bruch{1}{z}-1} \le[/mm] 1
> Hallo, die Lösung der ersten Gleichung ist kein Problem
> aber ich komme mit diesem Betrag nicht zurecht.
>
> Im angehängten Bild ist die Musterlösung, die uns bei der
> Besprechung der Klausuraufgabe gegeben wurde; ich und ein
> Freund von mir haben versucht die Aufgabe selber zu lösen
> sind jedoch immer wieder gescheitert, wir haben auch
> versucht z von Beginn an mal aufzulösen.
>
> die Schritte die ich rot markiert habe verstehe ich nicht.
>
> bei der ersten Markierung kann ich nicht nachvollziehen
> warum dann plötzlich das [mm]z^4[/mm] stehen bleiben darf und [mm]z^2[/mm]
> wegfällt
Es fällt nichts weg !
Es wurde einfach, um einmal links die äusseren Betrags-
striche loszuwerden, beidseitig quadriert, nach dem Muster:
[mm] $\blue{|x-iy-A|\le A \Rightarrow |(x-A)-iy|\le A \Rightarrow |(x-A)-iy|^2\le A^2\Rightarrow (x-A)^2+y^2\le A^2}$
[/mm]
(mit [mm] $\blue{A=|z|^2}$ [/mm] und demzufolge [mm] $\blue{x,y,A\in\IR)}$ [/mm]
> bei der zweiten Markierung habe ich das Problem, dass doch
> eigentlich -i*-i = [mm]i^2[/mm] =-1 ist aber in der rechnung mit 1
> angenommen wird
Es geht immer noch um die Berechnung des Betrags-
Quadrats (und ich merke gerade, dass in der Zeile
zwischen den roten Markierungen links nicht
klar ist, ob da nun noch Betragsstriche oder nur noch
runde Klammern sind !! Richtig muss es dort heißen:
[mm] $\red{\vmat{(x-|z|^2)-iy}^2\le |z|^4}$
[/mm]
[mm] $\red{\gdw ((x-|z|^2)-iy)*\overline{(x-|z|^2)-iy}=((x-|z|^2)-iy)*((x-|z|)^2+iy)=(x-|z|^2)^2+y^2\le |z|^4}$
[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Noch eine kleine Bemerkung zu [mm] |z|\not=0 [/mm] : dies darf
man hier tatsächlich voraussetzen, weil in der
Ausgangs-Gleichung der Term [mm] \bruch{1}{z} [/mm] vorkommt, welcher
für $\ z=0$ nicht definiert wäre.
An sich hat die Gleichung in der vorletzten Zeile
des Manuskripts neben den Lösungen $\ z=x+iy$ mit [mm] x\ge\bruch{1}{2} [/mm]
durchaus noch die Lösung z=0 !
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Der Verfasser der angehängten "Musterlösung" ist ein begnadeter Hohlblock !
2. Es geht einfacher, kürzer und übersichtlicher, wenn mann beachtet: [mm] $|w|^2 [/mm] = w [mm] \overline{w}$:
[/mm]
$| [mm] \bruch{1}{z}-1| \le [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] |1-z| [mm] \le [/mm] |z| [mm] \gdw [/mm] (1-z)(1- [mm] \overline{z}) \le |z|^2 \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] z+ [mm] \overline{z} [/mm] = 2Re(z) [mm] \gdw [/mm] Re(z) [mm] \ge [/mm] 1/2$
FRED
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> [mm]| \bruch{1}{z}-1| \le 1 \gdw |1-z| \le |z| \gdw (1-z)(1- \overline{z}) \le |z|^2 \gdw 1 \le z+ \overline{z} = 2Re(z) \gdw Re(z) \ge 1/2[/mm]
Geht sogar noch ein bisschen kürzer:
$\ [mm] |\bruch{1}{z}-1| \le [/mm] 1 [mm] \gdw \underbrace{|1-z|}_{r_1} \le \underbrace{|z|}_{r_0}\qquad r_1=d(z,1)\qquad r_0=d(z,0)$
[/mm]
Elementare Geometrie:
Die $\ z$ mit [mm] r_1\le r_0 [/mm] sind genau jene mit $\ Re(z) [mm] \ge \bruch{1}{2}$ [/mm] .
(vorher bin ich einfach auf die vorliegende Argumentation
des Skripts eingegangen, das immerhin eine korrekte
Lösung darstellt ...)
Gruß Al
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ok danke!
aber könnt ihr mir meine zwei Fragen von vorhin noch beantworten?
und wie komme ich auch diesen Schritt:
[mm] \vmat{ 1 -z } \le \vmat{ z }^2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (1-z) (1-\overline{z}) \le \vmat{ z }^2 [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok danke!
>
> aber könnt ihr mir meine zwei Fragen von vorhin noch
> beantworten?
Hat Al das nicht schon getan ?
>
> und wie komme ich auch diesen Schritt:
>
> [mm]\vmat{ 1 -z } \le \vmat{ z }^2[/mm]
???? Das habe ich nicht geschrieben !! Sondern:
[mm]\vmat{ 1 -z } \le \vmat{ z }[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm](1-z) (1-\overline{z}) \le \vmat{ z }^2[/mm]
Dieses entsteht durch quadrieren und $w [mm] \overline{w} [/mm] = [mm] |w|^2$
[/mm]
FRED
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> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm](1-z) (1-\overline{z}) \le \vmat{ z }^2[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Aldiimwald |
oh stimmt habe übersehen dass in den Zitaten was eingefügt war
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