Teilmengen / Folgen linear abh < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Sa 05.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sind die folgenden Teilmengen (bzw. Folgen) der angegebenen R-Vektorräume linear unabhängig?
a) {(2,1),(1,2)} [mm] \subseteq R^2. [/mm]
b) {f1, f2, f3} [mm] \subseteq [/mm] Abb(R,R), wobei [mm] f_{i}(x) [/mm] = [mm] x^i [/mm] ist (i= 1,2,3).
c) ((2,0,2), (1,3,4),(3,5,8) in [mm] R^3.
[/mm]
d) {e} [mm] \cup {e_{i} | i \in N} \subseteq [/mm] Abb(N,R), wobei e(j)=1 für alle j [mm] \in [/mm] N und
[mm] e_{i}(j)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } j = i \mbox{} \\ 0, & \mbox{} sonst \mbox{} \end{cases} [/mm] |
Moin,
a) [mm] r*\vektor{2 \\ 1} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
nach Umformung
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -3 }
[/mm]
=> linear abhängig.
b) Ist der Ansatz so richtig?
r*x [mm] +s*x^2 [/mm] + [mm] t*x^3 [/mm] =0
x*(r +s*x + [mm] t*x^2) [/mm] =0
ist null, wenn
r = -sx [mm] -tx^2 [/mm] ist.
r= -x (s+tx)
ist null wenn
s+ tx=0
s= -x(t)
es gibt r=0 ; s=-2x -> t=2 also eine Lösung, bei der nicht alle Koeffizienten =0 sind.
Also linear abhängig... oder wie zeige ich das sonst???
c) [mm] r*\vektor{2 \\ 0 \\2 } [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 3 \\4} [/mm] + [mm] t*\vektor{3 \\5 \\8}= \vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
nach Umformung
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3\\ 0 & 3 &5 \\ 0& 0& 0} [/mm] => linear abhängig.
d) Ich habe mal eingesetzt
{e} [mm] \cup e_{i} [/mm]
d.h. ich erhalte
für j [mm] \ne [/mm] i immer das Element (1;1)
und für j = i immer das Element (1;0)
Ist das korrekt?
Dann wären die beiden Elemente linear unabhängig!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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> Sind die folgenden Teilmengen (bzw. Folgen) der angegebenen
> R-Vektorräume linear unabhängig?
>
> a) {(2,1),(1,2)} [mm]\subseteq R^2.[/mm]
> b) {f1, f2, f3} [mm]\subseteq[/mm] Abb(R,R), wobei [mm]f_{i}(x)[/mm] = [mm]x^i[/mm]
> ist (i= 1,2,3).
> c) ((2,0,2), (1,3,4),(3,5,8) in [mm]R^3.[/mm]
> d) {e} [mm]\cup \{e_{i} | i \in N\} \subseteq[/mm] Abb(N,R), wobei
> e(j)=1 für alle j [mm]\in[/mm] N und
>
> [mm]e_{i}(j)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } j = i \mbox{} \\ 0, & \mbox{} sonst \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Moin,
>
> a) [mm]r*\vektor{2 \\ 1}[/mm] + [mm]s*\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> nach Umformung
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -3 }[/mm]
>
> => linear abhängig.
Hallo,
ich bin mir ziemlich sicher, daß das nur ein Fehler aus Unkonzentriertheit ist, sie sind natürlich linear unabhängig.
Nachzudenken wäre noch, womit Du das "==> linear unabhängig" begründest, denn lineare Unabhängigkeit bedeutet ja zunächst einmal: es gibt keine nichttriviale Linearkombination der Null.
Du solltest hier also schreiben, daß die Lösung des GSs r=s=0 ergibt, und daß folglich die Vektoren linear unabhängig sind.
Wenn Du allerdings auf einen Satz zugreifen kannst, der etwas sagt über die Lineare Unabhängigkeit und den Rang der Matrix, die aus den zu betrachtenden Vektoren besteht, kannst Du das auch verwenden.
Dann müßtest Du schreiben: die Matrix hat den Rang 2, daher sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
>
>
> b) Ist der Ansatz so richtig?
Jein. Du hast es hier mit dem Vektorraum der reellen Funktionen zu zu tun, und sollst prufen, ob [mm] (f_1,f_2,f_3) [/mm] linear unabhängig ist, ob also aus
[mm] rf_1+sf_2+tf_2=n [/mm] \ \ \ [mm] (n:\IR\to \IR [/mm] mit n(x):=0, also das neutrale Element bzgl + im Funktionenraum)
folgt, daß r=s=t=0 gilt.
Es sei also
[mm] rf_1+sf_2+tf_2=n
[/mm]
==> es ist [mm] rf_1(x)+sf_2(x)+tf_2(x)=n(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
==>
>
> r*x [mm]+s*x^2[/mm] + [mm]t*x^3[/mm] =0
für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Was Du dann weiter getan hast, ist ziemlicher Unfug.
Ich habe vor einiger Zeit hier die lineare (Un)Abhängigkeit von Funktionen wie ich meine recht brauchbar erklärt.
Studier das mal, und versuche anschließend, Deine Aufgabe zu einem glücklichen Ende zu bringen.
> c) [mm]r*\vektor{2 \\ 0 \\2 }[/mm] + [mm]s*\vektor{1 \\ 3 \\4}[/mm] +
> [mm]t*\vektor{3 \\5 \\8}= \vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> nach Umformung
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3\\ 0 & 3 &5 \\ 0& 0& 0}[/mm] => linear
> abhängig.
Zu den Begründungen: s.o.
>
>
> d) Ich habe mal eingesetzt
>
> {e} [mm]\cup e_{i}[/mm]
>
> d.h. ich erhalte
>
> für j [mm]\ne[/mm] i immer das Element (1;1)
>
> und für j = i immer das Element (1;0)
>
> Ist das korrekt?
Nein, Du hast die zu betrachtende Menge überhaupt nicht verstanden - möglicherweise hast Du die Aufgabe nicht gründlich gelesen...
Bei {e} [mm][mm] \cup \{e_{i} | i \in N\} [/mm] hast Du es, wie ja in der Aufgabe ausdrücklich geschrieben steht, mit einer Teilmenge der Menge der Abbildungen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] zu tun, also mit einer Teilemenge der Menge, die landläufig als Folgen bezeichnet wird.
Welche Folgen sind in der Menge, die Du betrachten sollst?
zunächst einmal e.
e ist lt. Def. in der Aufgabe die Folge, welche konstant 1 ist, wurde man sie als Tupel schreiben, also e:=(1,1,1,...).
Dann sind in der Menge noch die Folgen [mm] e_i [/mm] enthalten, welche die Eigenschaft haben, daß sie mit Ausnahme der i-ten Stelle überall den Wert 0 haben und an der i-ten Stelle den Wert 1 annehmen.
[mm] e_3 [/mm] sähe als Tupel also so aus: [mm] e_3:=(0,0,1,0,0,...).
[/mm]
Wenn man das begriffen hat, muß man sich klarmachen, daß man hier eine unendliche Menge v. Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen hat.
Hier lohnt sich ein Blick in die Unterlagen um herauszufinden, wie das eigentlich definiert ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
> > Sind die folgenden Teilmengen (bzw. Folgen) der angegebenen
> > R-Vektorräume linear unabhängig?
> > b) {f1, f2, f3} [mm]\subseteq[/mm] Abb(R,R), wobei [mm]f_{i}(x)[/mm] = [mm]x^i[/mm]
> > ist (i= 1,2,3).
> > d) {e} [mm]\cup \{e_{i} | i \in N\} \subseteq[/mm] Abb(N,R),
> wobei
> > e(j)=1 für alle j [mm]\in[/mm] N und
> >
> > [mm]e_{i}(j)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } j = i \mbox{} \\ 0, & \mbox{} sonst \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> > b) Ist der Ansatz so richtig?
>
> Jein. Du hast es hier mit dem Vektorraum der reellen
> Funktionen zu zu tun, und sollst prufen, ob [mm](f_1,f_2,f_3)[/mm]
> linear unabhängig ist, ob also aus
>
> [mm]rf_1+sf_2+tf_2=n[/mm] \ \ \ [mm](n:\IR\to \IR[/mm] mit n(x):=0, also
> das neutrale Element bzgl + im Funktionenraum)
>
> folgt, daß r=s=t=0 gilt.
>
>
> Es sei also
>
> [mm]rf_1+sf_2+tf_2=n[/mm]
>
> ==> es ist [mm]rf_1(x)+sf_2(x)+tf_2(x)=n(x)[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm]
>
> ==>
> >
> > r*x [mm]+s*x^2[/mm] + [mm]t*x^3[/mm] =0
>
> für alle [mm]x\in \IR.[/mm]
>
>
> Was Du dann weiter getan hast, ist ziemlicher Unfug.
>
> Ich habe vor einiger Zeit hier die lineare
> (Un)Abhängigkeit von Funktionen wie ich meine recht
> brauchbar erklärt.
> Studier das mal, und versuche anschließend, Deine Aufgabe
> zu einem glücklichen Ende zu bringen.
Danke für den Link!!
Ich habe jetzt
[mm] r*f_1 [/mm] + [mm] s*f_2 [/mm] + [mm] t*f_3 [/mm] =0
da [mm] f_3 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] - [mm] f_1
[/mm]
habe ich eingesetzt...
[mm] r*f_1 [/mm] + [mm] s*f_2 [/mm] + [mm] t*(f_2- f_1) [/mm] =0
[mm] (r-t)*f_1 [/mm] + [mm] s(+t)*f_2 [/mm] =0
soweit ok?
[mm] (r-t)*sin^2 [/mm] x + [mm] (s+t)*cos^2 [/mm] x =0
muss für alle x [mm] \in [/mm] R gelten, suche hier also zwei x und stelle ein LGS auf...
für x=0 [mm] (r-t)*sin^2 [/mm] (0) + [mm] (s+t)*cos^2 [/mm] (0) =0
für x=1 [mm] (r-t)*sin^2 [/mm] (1) + [mm] (s+t)*cos^2 [/mm] (1) =0
mithilfe von
[mm] sin^2 [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2}*(1 [/mm] - cos(2x))
[mm] cos^2 [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2}*(1 [/mm] + cos(2x))
erhalte ich
[mm] (r-t)*\bruch{1}{2}*(1 [/mm] - cos(2x)) + [mm] (s+t)*\bruch{1}{2}*(1 [/mm] + cos(2x)) =0
also
1. [mm] (r-t)*\bruch{1}{2}*(1 [/mm] - cos(2*0)) + [mm] (s+t)*\bruch{1}{2}*(1 [/mm] + cos(2*0)) =0
(r-t)*0 + (s+t)*1 = 0
2. [mm] (r-t)*\bruch{1}{2}*(1 [/mm] - cos(2*1)) + [mm] (s+t)*\bruch{1}{2}*(1 [/mm] + cos(2*1)) =0
(r-t)*0,0003 + (s+t)*0,9997 = 0
=> s+t=0
r-t =0
r=t , s=-1 und t beliebig wählbar => linear abhängig.
stimmt das so?
>
> > d) Ich habe mal eingesetzt
> >
> > {e} [mm]\cup e_{i}[/mm]
> >
> > d.h. ich erhalte
> >
> > für j [mm]\ne[/mm] i immer das Element (1;1)
> >
> > und für j = i immer das Element (1;0)
> >
> > Ist das korrekt?
>
> Nein, Du hast die zu betrachtende Menge überhaupt nicht
> verstanden - möglicherweise hast Du die Aufgabe nicht
> gründlich gelesen...
>
> Bei {e} [mm][mm]\cup \{e_{i} | i \in N\}[/mm] hast Du es, wie ja in der > Aufgabe ausdrücklich geschrieben steht, mit einer Teilmenge der Menge > der Abbildungen von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IR[/mm] zu tun, also mit
> einer Teilmenge der Menge, die landläufig als Folgen bezeichnet wird.
> Welche Folgen sind in der Menge, die Du betrachten sollst?
> zunächst einmal e.
> e ist lt. Def. in der Aufgabe die Folge, welche konstant 1 ist, wurde man > sie als Tupel schreiben, also e:=(1,1,1,...).
> Dann sind in der Menge noch die Folgen [mm]e_i[/mm] enthalten, welche > die Eigenschaft haben, daß sie mit Ausnahme der i-ten Stelle überall den > Wert 0 haben und an der i-ten Stelle den Wert 1 annehmen.
> [mm]e_3[/mm] sähe als Tupel also so aus: [mm]e_3:=(0,0,1,0,0,...).[/mm]
> Wenn man das begriffen hat, muß man sich klarmachen, daß man hier
> eine unendliche Menge v. Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen > hat.
> Hier lohnt sich ein Blick in die Unterlagen um herauszufinden, wie das
> eigentlich definiert ist.
Herausgefunden habe ich, dass jedes Erzeugendensystem von M eine endliche Basis enthält. Dies gilt m.W. auch für unendliche Mengen.
Dann müßte die Menge linear abhängig sein.
Gruß
Wolfgang
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> > > Sind die folgenden Teilmengen (bzw. Folgen) der angegebenen
> > > R-Vektorräume linear unabhängig?
>
> > > b) {f1, f2, f3} [mm]\subseteq[/mm] Abb(R,R), wobei [mm]f_{i}(x)[/mm] = [mm]x^i[/mm]
> > > ist (i= 1,2,3).
>
> > > d) {e} [mm]\cup \{e_{i} | i \in N\} \subseteq[/mm] Abb(N,R),
> > wobei
> > > e(j)=1 für alle j [mm]\in[/mm] N und
> > >
> > > [mm]e_{i}(j)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } j = i \mbox{} \\ 0, & \mbox{} sonst \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > > b) Ist der Ansatz so richtig?
> >
> > Jein. Du hast es hier mit dem Vektorraum der reellen
> > Funktionen zu zu tun, und sollst prufen, ob [mm](f_1,f_2,f_3)[/mm]
> > linear unabhängig ist, ob also aus
> >
> > [mm]rf_1+sf_2+tf_2=n[/mm] \ \ \ [mm](n:\IR\to \IR[/mm] mit n(x):=0, also
> > das neutrale Element bzgl + im Funktionenraum)
> >
> > folgt, daß r=s=t=0 gilt.
> >
> >
> > Es sei also
> >
> > [mm]rf_1+sf_2+tf_2=n[/mm]
> >
> > ==> es ist [mm]rf_1(x)+sf_2(x)+tf_2(x)=n(x)[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm]
>
> >
> > ==>
> > >
> > > r*x [mm]+s*x^2[/mm] + [mm]t*x^3[/mm] =0
> >
> > für alle [mm]x\in \IR.[/mm]
> >
> >
> > Was Du dann weiter getan hast, ist ziemlicher Unfug.
> >
> > Ich habe vor einiger Zeit hier die lineare
> > (Un)Abhängigkeit von Funktionen wie ich meine recht
> > brauchbar erklärt.
> > Studier das mal, und versuche anschließend, Deine
> Aufgabe
> > zu einem glücklichen Ende zu bringen.
>
> Danke für den Link!!
>
> Ich habe jetzt
>
> [mm]r*f_1[/mm] + [mm]s*f_2[/mm] + [mm]t*f_3[/mm] =0
>
> da [mm]f_3[/mm] = [mm]f_2[/mm] - [mm]f_1[/mm]
Halt! Hilfe! --- Jetzt bist Du dabei, mich abzuhängen.
Welche Aufgabe bearbeitest Du gerade?
Die von Deinem Aufgabenblatt ist es nicht... Aber auch nicht die Aus dem Link...
Wenn Du drei Funktionen vorliegen hast, bei denen Du - wie anscheinend bei Deinen drei Gehimfunktionen - sofort siehst, daß [mm]f_3[/mm] = [mm]f_2[/mm] - [mm]f_1[/mm] bist Du doch fertig.
Da hast Du doch nichttrivial die Null linearkombiniert.
> > Bei {e} [mm][mm]\cup \{e_{i} | i \in N\}[/mm] hast Du es, wie ja in der > Aufgabe ausdrücklich geschrieben steht, mit einer Teilmenge der Menge > der Abbildungen von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IR[/mm] zu tun, also mit
> einer Teilmenge der Menge, die landläufig als Folgen bezeichnet wird.
> Welche Folgen sind in der Menge, die Du betrachten sollst?
> zunächst einmal e.
> e ist lt. Def. in der Aufgabe die Folge, welche konstant 1 ist, wurde man > sie als Tupel schreiben, also e:=(1,1,1,...).
> Dann sind in der Menge noch die Folgen [mm]e_i[/mm] enthalten, welche > die Eigenschaft haben, daß sie mit Ausnahme der i-ten Stelle überall den > Wert 0 haben und an der i-ten Stelle den Wert 1 annehmen.
> [mm]e_3[/mm] sähe als Tupel also so aus: [mm]e_3:=(0,0,1,0,0,...).[/mm]
> Wenn man das begriffen hat, muß man sich klarmachen, daß man hier
> eine unendliche Menge v. Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen > hat.
> Hier lohnt sich ein Blick in die Unterlagen um herauszufinden, wie das
> eigentlich definiert ist.
Herausgefunden habe ich, dass jedes Erzeugendensystem von M eine endliche Basis enthält. Dies gilt m.W. auch für unendliche Mengen.
Dann müßte die Menge linear abhängig sein.
Ich weiß nicht, wo Du das herausgefunden hast.
Was stand denn da genau? (Inkl. der Voraussetzungen!)
Daß jedes Erzeugendensystem eines Vektorraumes eine endliche Basis enthält, kann doch lediglich für endlichdimensionale Vektorräume gelten.
Ob Deine Menge ein solcher ist? Ich bin mir nicht sehr sicher...
Du brauchst wie erwähnt die Definition für die Lineare Unabhängigkeit in einer Version, die auch paßt, wenn man unendlich viele Vektoren auf Unabhängigkeit zu prüfen hat - und ich möchte Dir das Suchen dieser Version nur ungern abnehmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Oh, sorry... da bin ich wohl etwas durcheinander gekommen!
[mm] f_1= x^1
[/mm]
[mm] f_2= x^2
[/mm]
[mm] f_3= x^3
[/mm]
[mm] r*f_1 [/mm] + [mm] s*f_2 [/mm] + [mm] t*f_3 [/mm] =0
r*x + [mm] s*x^2 [/mm] + [mm] t*x^3 [/mm] =0
da dies für alle x [mm] \in [/mm] R gelten muss... wähle ich mir drei x und stelle ein LGS auf... bin mir nur nicht sicher; wenn ich x=0 nehme habe ich doch schon lineare Abhängigkeit, oder darf ich das nicht wählen?
ok, ich mach noch mal weiter...
ich wähle...
x=1
x=-1
x= 2
r*1 + s*1 +t*1 = 0
r*(-1) [mm] +s*(-1)^2 +t*(-1)^3 [/mm] = 0
r*2 + s*4 +t*8 = 0
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 8}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -6}
[/mm]
=> t=s=r=0 also linear unabhängig.
???
Gruß
Wolfgang
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> [mm]f_1= x^1[/mm]
>
> [mm]f_2= x^2[/mm]
>
> [mm]f_3= x^3[/mm]
>
> [mm]r*f_1[/mm] + [mm]s*f_2[/mm] + [mm]t*f_3[/mm] =0
(Die Null ist hierr die Null im Funktionenraum.)
>
> r*x + [mm]s*x^2[/mm] + [mm]t*x^3[/mm] =0
(Die Null ist hier die Null der reellen Zahlen.)
>
> da dies für alle x [mm]\in[/mm] R gelten muss...
Genau. Das ist das entscheidende.
> wähle ich mir drei
> x und stelle ein LGS auf... bin mir nur nicht sicher; wenn
> ich x=0 nehme habe ich doch schon lineare Abhängigkeit,
Lineare Abhängigkeit hast Du damit noch nicht. lineare Abhängigkeit hast Du erst, wenn Du nachwegiesen hast, daß es eine nichttriviale Linearkombination gibt mit
[mm]r*f_1(x)[/mm] + [mm]s*f_2(x)[/mm] + [mm]t*f_3(x)[/mm] =0 für alle x.
> oder darf ich das nicht wählen?
Du darfst das. Aber es liefert keine verwertbare Information.
>
> ok, ich mach noch mal weiter...
>
> ich wähle...
>
> x=1
> x=-1
> x= 2
>
> r*1 + s*1 +t*1 = 0
>
> r*(-1) [mm]+s*(-1)^2 +t*(-1)^3[/mm] = 0
>
> r*2 + s*4 +t*8 = 0
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 8}[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -6}[/mm]
>
> => t=s=r=0 also linear unabhängig.
>
> ???
Ja, so geht das.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
wenn die Funktionen [mm] $f_1,f_2,f_3$ [/mm] linear abhängig sind, so folgt für jede Wahl von drei paarweise verschiedenen Punkten [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] aus dem Definitionsbereich, dass das Gleichungssystem
(I) [mm] $\lambda_1 f_1(x_1)+\lambda_2 f_2(x_1)+\lambda_3 f_3(x_1)=0$
[/mm]
(II) [mm] $\lambda_1 f_1(x_2)+\lambda_2 f_2(x_2)+\lambda_3 f_3(x_3)=0$
[/mm]
(III) [mm] $\lambda_1 f_1(x_3)+\lambda_2 f_2(x_3)+\lambda_3 f_3(x_3)=0$
[/mm]
eine nichttriviale Lösung in [mm] $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ [/mm] haben muss.
Denn die Gleichung
[mm] $\lambda_1 f_1(x)+\lambda_2 f_2(x)+\lambda_3 f_3(x) \equiv [/mm] 0$
(d.h., es muss FÜR ALLE x gelten:
[mm] $\lambda_1 f_1(x)+\lambda_2 f_2(x)+\lambda_3 f_3(x)=0$)
[/mm]
hat dann eine Lösung [mm] $\lambda'_1,\lambda'_2$ [/mm] und [mm] $\lambda'_3$, [/mm] wobei diese nicht alle $=0$ sind.
Also hat im Falle der linearen Abhängigkeit der drei Funktionen für JEDE WAHL von [mm] $x_1,x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichung (I), (II) und (III) eine nichttriviale Lösung (in der Variablen [mm] $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$).
[/mm]
Wenn Du nun also zeigen kannst, dass es eine Wahl von Punkten [mm] $x_1, x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] so gibt, dass das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (I), (II) und (III) nur die triviale Lösung in [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$ [/mm] hat, d.h. dass man solche x-Werte angeben kann, dass aus (I), (II) und (III) schon folgt, dass [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ [/mm] gelten muss, so hast Du damit gezeigt, dass das Gleichungssystem NICHT FÜR JEDE WAHL von Punkten [mm] $x_1,x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] eine nichttriviale Lösung in [mm] $\lambda$ [/mm] hat.
Denn damit hast Du gezeigt, dass das Gleichungssystem für eine spezielle Wahl von Punkten nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=(0,0,0)$ [/mm] hat. Dann sind aber [mm] $f_1,f_2$ [/mm] und [mm] $f_3$ [/mm] nicht linear abhängig, also linear unabhängig.
Das ist eigentlich die Logik, die dahinter steckt.
Und wenn Du nun überlegst, was bei Dir die Konsequenz für das Gleichungssystem wäre, wenn Du für ein $k$ dann [mm] $x_k=0$ [/mm] wählen würdest, so erkennst Du, was Angela damit dann hier meint, dass das keine verwertbare Information liefern würde.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Di 08.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Ich habe gerade gefunden:
(iv) Es sei M eine beliebige unendliche Menge. Dann ist die Dimension
des K-Vektorraums $ [mm] K^{(M)} [/mm] $ unendlich. Wir geben eine Basis von $ [mm] K^{(M)} [/mm] $
an, die aus unendlich vielen Elementen besteht.Wie weiter, betrachten
wir für x $ [mm] \in [/mm] $ M die Funktion $ [mm] e_x \in K^{(M)} [/mm] $ mit
$ [mm] e_x(y) [/mm] $ := $ [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ = y} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
Dann ist B := $ [mm] {e_x | x \in M} [/mm] $ eine Basis von $ [mm] K^{(M)}. [/mm] $ Wir haben
weiter oben schon gezeigt, dass B den Vektorraum $ [mm] K^{(M)} [/mm] $ erzeugt.
Es seien e_x1, . . . , e_xn $ [mm] \in [/mm] $ B paarweise verschieden und $ [mm] s_1, [/mm] $ . . . , $ [mm] s_n \in [/mm] $ K
mit
$ [mm] s_1 [/mm] $ · e_x1 + · · · + $ [mm] s_n [/mm] $ · e_xn = 0 .
Dann gilt insbesondere für i = 1, . . . , n, dass
$ [mm] s_i [/mm] $ = $ [mm] (s_1 [/mm] $ · e_x1 + · · · + $ [mm] s_n [/mm] $ · $ [mm] e_xn)(x_i) [/mm] $ = 0 .
Folglich ist B linear unabhängig.
Also würde ich folgern, dass unendlich erzeugte Vektorräume eine unendliche Basis haben, damit linear unabhängig sind...
Gruß
Wolfgang
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Hallo,
ich habe die Frage nun an den Platz verschoben, von welchem ich meine, daß Du sie dorthin haben wolltest.
Zunächst einmal stelle ich fest: Du weichst mir aus...
Es steht nach wie vor die Frage nach der Definition der linearen Unabhängigkeit (für beliebig viele Vektoren) im Raum.
Daß ich so darauf herumreite, hat mehrererlei Gründe.
- Es ist eine der grundlegenden Definitionen der linearen Algebra, und es recht nicht, nur "so über den Daumen gepeilt" zu wissen, was das ist. Und für ein Studium reicht es eben auch nicht, dies nur für endlich viele Vektoren zu wissen.
Man kann doch die Aufgaben, in denen es um lineare Unabhängigkeit v. unendlich vielen Vektoren geht, nur sinnvoll bearbeiten, wenn deren Definition bekannt ist.
> Ich habe gerade gefunden:
Mich würde mal interessieren, wo Du das gefunden hast, in welchem Buch.
Ist es ein Buch gewesen, welches ausdrücklich die Lineare Algebra zum Thema hat?
Es gibt nämlich einen Passus in dem, was Du zitierst, welcher mich sehr stutzig macht:
> Wir haben weiter oben schon gezeigt, dass B den Vektorraum $ [mm] K^{(M)} [/mm] $ erzeugt.
In den landläufigen Begriffen der linearen Algebra gedacht ist die angegebene Menge nämlich kein Erzeugendensystem. (Hast Du aus dem Buch zitiert, welches Deiner Vorlesung zugrundeliegt?)
Für den Beweis der linearen Unahängigkeit Deiner Menge von Folgen kannst Du Dich allerdings von dem, was unten gerechnet ist, inspirieren lassen.
Allerdings benötigst Du die Def. und damit es mal ein bißchen weitergeht, sag' ich sie Dir jetzt - aber Du benötigst Bücher, in denen Du das nachlesen kannst, und Du mußt sie verwenden.
"Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt linear unabhängig, wenn je endlich viele Vektoren aus B linear unabhängig sind. Andernfalls heißt B linear abhängig."
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 08.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo,
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> ich habe die Frage nun an den Platz verschoben, von welchem
> ich meine, daß Du sie dorthin haben wolltest.
ist schon ok.
> Zunächst einmal stelle ich fest: Du weichst mir aus...
Das würde ich so nicht sagen. Allerdings habe ich noch immer keine befriedigende Definition gefunden. Das ist mein Problem.
> Es steht nach wie vor die Frage nach der Definition der
> linearen Unabhängigkeit (für beliebig viele Vektoren) im
> Raum.
> Daß ich so darauf herumreite, hat mehrererlei Gründe.
>
> - Es ist eine der grundlegenden Definitionen der linearen
> Algebra, und es recht nicht, nur "so über den Daumen
> gepeilt" zu wissen, was das ist. Und für ein Studium reicht
> es eben auch nicht, dies nur für endlich viele Vektoren zu
> wissen.
>
> Man kann doch die Aufgaben, in denen es um lineare
> Unabhängigkeit v. unendlich vielen Vektoren geht, nur
> sinnvoll bearbeiten, wenn deren Definition bekannt ist.
>
>
> > Ich habe gerade gefunden:
>
> Mich würde mal interessieren, wo Du das gefunden hast, in
> welchem Buch.
> Ist es ein Buch gewesen, welches ausdrücklich die Lineare
> Algebra zum Thema hat?
Nein, das habe ich aus einem Skript im Internet... Mein Problem ist, dass ich bisher einige Recherchen angestellthabe, aber keine Definition von linearer Unabhängigkeit für unendlich erzugte Vektorräume gefunden habe.
> Es gibt nämlich einen Passus in dem, was Du zitierst,
> welcher mich sehr stutzig macht:
>
> > Wir haben weiter oben schon gezeigt, dass B den Vektorraum
> [mm]K^{(M)}[/mm] erzeugt.
>
> In den landläufigen Begriffen der linearen Algebra gedacht
> ist die angegebene Menge nämlich kein Erzeugendensystem.
> (Hast Du aus dem Buch zitiert, welches Deiner Vorlesung
> zugrundeliegt?)
Wie gesagt, ich habe den kompletten (!) Passus kopiert.
Und nein, dieses Buch liegt nicht der Vorlesung zugrunde. Im Gegenteil, es gibt keines, der Professor ist zu neu und arbeitet selbst noch am Konzept seiner Vorlesung, so dass es noch nicht mal ein Skript gibt...
Im Internet habe ich leider weder bei wikipedia noch über Suchmaschinen entsprechende Definitionen gefunden; oder ich sehe den Wald vor Bäumen nicht.
Deswegen habe ich ja auch vor einigen Wochen hier im Forum die Frage gestellt, ob jemand ein gutes Lehrbuch mit Beispielen kennt?!
Daraufhin habe ich mir dann Algebra von Michael Artin gekauft... Es fehlt mir allerdings immer noch etwas... Und in dieses Buch schaue ich auch. 
Angela, vielleicht kennst du ja ein gutes Lehrbuch für Dummies... ?!
> Für den Beweis der linearen Unahbängigkeit Deiner Menge von
> Folgen kannst Du Dich allerdings von dem, was unten
> gerechnet ist, inspirieren lassen.
>
> Allerdings benötigst Du die Def. und damit es mal ein
> bißchen weitergeht, sag' ich sie Dir jetzt - aber Du
> benötigst Bücher, in denen Du das nachlesen kannst, und Du
> mußt sie verwenden.
In meinem Buch steht eben an der Stelle unendlich erzeugte Vektorräume, das, was ich schon gepostet habe, nämlich einen Satz für endlich erzeugte Vektorräume (Michael Artin) ?!
> "Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt linear
> unabhängig, wenn je endlich viele Vektoren aus B linear
> unabhängig sind. Andernfalls heißt B linear abhängig."
Vielen Dank!
Ich nehme das mal als Baustein. Komme aber mglw. nicht vor dem Wochenende dazu, das weiterzuführen. Naja, mal schauen!
Gruß
Wolfgang
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