Teilmengen,Gleichheit Beweisen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 2.3.1 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x<5 \right\}[/mm] und [mm]B = \left\{ x\in\IN|2x<11 \right\}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]A \subseteq B[/mm] gilt.
2.3.2 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x^2 \geq 9 \right\}[/mm] und B = [mm]A = \left\{ x\in\IN|x \geq 3 \right\}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]A =B[/mm].
2.3.3 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x \geq 9 \right\}[/mm] und [mm]B = \left\{ x\in\IN|x \geq 3 \right\}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]A \subset B[/mm] gilt. |
Hallo es wäre nett wenn jemand mal darüberschauen könnte und mir ggf. Tipps geben könnte zum richtig lösen.
2.3.1
Beweis: [mm]\left\{ x \in \IN | x < 5 \right\} \subseteq \left\{ x \in \IN |2x < 11 \right\} \Rightarrow x \in \left\{(x<5) \Rightarrow (x<11) \right\}[/mm]
stimmt das?
2.3.2
Ich muss Beweisen das [mm]A \subseteq B \wedge B \subseteq A[/mm]
Beweis: [mm] x \in \left\{ x \geq \Rightarrow \geq \wedge (x\geq \Rightarrow x \geq \right\}[/mm]
stimmt das und ist damit der Beweis erbracht?
2.3.3
Ich muss Beweisen das [mm]A \subseteq B \wedge A \neq B[/mm]
Beweis: [mm]x \in \left\{ (x \geq 9 \Rightarrow x \geq 3) \wedge \neg(x \geq 3 \Rightarrow x \geq 9) \right\}[/mm]
und bei dieser hier bin ich mir sehr unsicher.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Schönen Sonntag,
Redenwirmaldarueber
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> 2.3.1 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x<5 \right\}[/mm] und [mm]B = \left\{ x\in\IN|2x<11 \right\}[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]A \subseteq B[/mm] gilt.
> 2.3.1
> Beweis: [mm]\left\{ x \in \IN | x < 5 \right\} \subseteq \left\{ x \in \IN |2x < 11 \right\} \Rightarrow x \in \left\{(x<5) \Rightarrow (x<11) \right\}[/mm]
>
> stimmt das?
Hallo,
nein.
Schauen wir uns an, was Du tust:
links schreibst Du die Behauptung hin, die überhaupt erst bewiesen werden soll, und aus dieser folgerst Du dann, daß irgendein x, von welchem man nie zuvor gehört hat, einer bestimmten Menge - über deren Sinnhaftigkeit wir jetzt mal nicht nachdenken - angehört.
Worum geht es denn hier: behauptet wird, daß für alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 5 sind (welche sind das?), auch gilt, daß ihr Doppeltes kleiner als 11 ist.
Und? stimmt's?
Denn ganzen Beweis könntest Du, da die Mengen sehr übersichtlich sind, einfach so führen, daß Du die Mengen A und B in aufzählender Form angibst und dann nachguckst, ob jedes Element aus A auch in B liegt. Denn genau das bedeutet "Teilmenge" ja.
Generell: wenn Du für zwei Mengen A,B zeigen willst, daß [mm] A\subseteq [/mm] B, ist zu zeigen, daß aus [mm] x\in [/mm] A folgt, daß [mm] x\in [/mm] B.
Hier:
sei [mm] x\in [/mm] A
==> x<5
==> 2x...
==> ... ==>... ==> [mm] x\in [/mm] B.
>
> 2.3.2 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x^2 \geq 9 \right\}[/mm]
> und B = [mm]A = \left\{ x\in\IN|x \geq 3 \right\}[/mm]. Zeigen
> Sie, dass [mm]A =B[/mm].
> 2.3.2
> Ich muss Beweisen das [mm]A \subseteq B \wedge B \subseteq A[/mm]
Ganz richtig.
Dazu ist wie zuvor vozumachen, daß
A.
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B
richtig ist, ebenso wie
B.
[mm] x\in [/mm] B ==> [mm] x\in [/mm] A.
Der beweis hat also zwei Teile, für jede Richtung einen.
>
> Beweis: [mm]x%20%20%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%20(x%5E2%20%20%5Cgeq%209%20%20%5CRightarrow%20x%20%5Cgeq%203)%20%5Cwedge%20(x%20%5Cgeq%203%20%5CRightarrow%20x%5E2%20%5Cgeq%209)%20%20%5Cright%5C%7D[/mm]
>
> stimmt das und ist damit der Beweis erbracht?
Keine Ahnung. Bei mir erscheint nur Kryptisches.
Meine Vermutung: eher nicht...
Versuch's in dem Stile wie bei der ersten Aufgabe von mir angedeutet. Mit dem Aufzählen wird's hier allerdings nicht gut klappen.
>
> 2.3.3 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x \geq 9 \right\}[/mm]
> und [mm]B = \left\{ x\in\IN|x \geq 3 \right\}[/mm]. Zeigen Sie,
> dass [mm]A \subset B[/mm] gilt.
>
>
> 2.3.3
> Ich muss Beweisen das [mm]A \subseteq B \wedge A \neq B[/mm]
Ja.
[mm] A\subseteq [/mm] B beweist Du wieder in dem Stile wie oben:
sei [mm] x\in [/mm] A
==> [mm] x\ge [/mm] 3 ==>... ==>... ==>... ==> xin B.
Dafür, daß die Mengen ungleich sind, lieferst Du ein Element, welches in B ist, aber nicht in A.
LG Angela
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> > 2.3.1 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x<5 \right\}[/mm] und [mm]B = \left\{ x\in\IN|2x<11 \right\}[/mm].
>
> > Zeigen Sie, dass [mm]A \subseteq B[/mm] gilt.
>
> > 2.3.1
> > Beweis: [mm]\left\{ x \in \IN | x < 5 \right\} \subseteq \left\{ x \in \IN |2x < 11 \right\} \Rightarrow x \in \left\{(x<5) \Rightarrow (x<11) \right\}[/mm]
>
> >
> > stimmt das?
> Generell: wenn Du für zwei Mengen A,B zeigen willst, daß
> [mm]A\subseteq[/mm] B, ist zu zeigen, daß aus [mm]x\in[/mm] A folgt, daß
> [mm]x\in[/mm] B.
>
> Hier:
>
> sei [mm]x\in[/mm] A
>
> ==> x<5
>
> ==> 2x...
>
> ==> ... ==>... ==> [mm]x\in[/mm] B.
>
Für Aufgabe 2.3.1 wäre der "komplizierte" Weg also:
sei [mm]x \in A[/mm]
==> [mm]x<5[/mm]
==> [mm]2x<11[/mm]
==> [mm]x \in B[/mm]
Meinst du das so?
Gruß Redenwirmaldarueber
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> > > 2.3.1 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x<5 \right\}[/mm] und [mm]B = \left\{ x\in\IN|2x<11 \right\}[/mm].
>
> >
> > > Zeigen Sie, dass [mm]A \subseteq B[/mm] gilt.
> >
> > > 2.3.1
> > > Beweis: [mm]\left\{ x \in \IN | x < 5 \right\} \subseteq \left\{ x \in \IN |2x < 11 \right\} \Rightarrow x \in \left\{(x<5) \Rightarrow (x<11) \right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > stimmt das?
>
> > Generell: wenn Du für zwei Mengen A,B zeigen willst, daß
> > [mm]A\subseteq[/mm] B, ist zu zeigen, daß aus [mm]x\in[/mm] A folgt,
> daß
> > [mm]x\in[/mm] B.
> >
> > Hier:
> >
> > sei [mm]x\in[/mm] A
> >
> > ==> x<5
> >
> > ==> 2x...
> >
> > ==> ... ==>... ==> [mm]x\in[/mm] B.
> >
>
>
> Für Aufgabe 2.3.1 wäre der "komplizierte" Weg also:
Hallo,
das ist nicht der "kompliziertere" Weg, sondern der richtige.
Das, was Du geschrieben hattest, war Quatsch mit Soße hoch drei - das schließt ja überhaupt nicht aus, daß Du es richtig meintest und auch richtig verstanden hattest.
Es kommt bei diesen Aufgaben, deren Aussagen wirklich nicht aufregend sind, nicht auf die Aussagen an, sondern darauf, eine klare, nachvollziehbare, regelkonforme Argumentation zu entwickeln.
> sei [mm]x \in A[/mm]
> ==> [mm]x<5[/mm]
> ==> [mm]2x<11[/mm]
> ==> [mm]x \in B[/mm]
>
> Meinst du das so?
Vom Prinzip her:ja.
Mir fehlt aber ein Zwischenschritt:
[mm] x\in [/mm] A ==> x<5 ==> [mm] \red{2x<10} [/mm] ==> 2x<11 ==> [mm] x\in [/mm] B.
LG Angela
>
> Gruß Redenwirmaldarueber
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> Hallo,
>
> das ist nicht der "kompliziertere" Weg, sondern der
> richtige.
Ich meinte damit das ich nicht einfach die Mengen aufschreibe und schaue ob die Zahlen auch in B vorhanden sind.
> > sei [mm]x \in A[/mm]
> > ==> [mm]x<5[/mm]
> > ==> [mm]2x<11[/mm]
> > ==> [mm]x \in B[/mm]
>
> >
> > Meinst du das so?
>
> Vom Prinzip her:ja.
>
> Mir fehlt aber ein Zwischenschritt:
>
> [mm]x\in[/mm] A ==> x<5 ==> [mm]\red{2x<10}[/mm] ==> 2x<11 ==> [mm]x\in[/mm] B.
Warum [mm]2x < 10[/mm]? Bei der Menge A = {0,1,2,3,4} wäre die 4 das höchste. Müsste/könnte es dann nicht 2x<9 oder [mm]2x \leq 8[/mm] sein?
Das verwirrt mich ein wenig.
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> > Hallo,
> >
> > das ist nicht der "kompliziertere" Weg, sondern der
> > richtige.
>
> Ich meinte damit das ich nicht einfach die Mengen
> aufschreibe und schaue ob die Zahlen auch in B vorhanden
> sind.
>
> > > sei [mm]x \in A[/mm]
> > > ==> [mm]x<5[/mm]
> > > ==> [mm]2x<11[/mm]
> > > ==> [mm]x \in B[/mm]
> >
> > >
> > > Meinst du das so?
> >
> > Vom Prinzip her:ja.
> >
> > Mir fehlt aber ein Zwischenschritt:
> >
> > [mm]x\in[/mm] A ==> x<5 ==> [mm]\red{2x<10}[/mm] ==> 2x<11 ==> [mm]x\in[/mm] B.
>
> Warum [mm]2x < 10[/mm]?
Hallo,
einfach ausgerechnet anhand von Regeln, die irgendwann mal bewiesen wurden.
Wenn x<5, dann gilt 2*x<2*5=10.
> Bei der Menge A = {0,1,2,3,4} wäre die 4
> das höchste. Müsste/könnte es dann nicht 2x<9 oder [mm]2x \leq 8[/mm] sein?
Und? Ist das ein Widerspruch?
Wenn 2x<9 ist, dann gilt doch auch 2x<10 und auch 2x<1234.
> Das verwirrt mich ein wenig.
Im Rahmen der Argumentation , die mit [mm] "x\in [/mm] A ==> x<5" startet, ist für [mm] 2x\le [/mm] 8 oder 2x<9 ohne weitere Erklärungen kein Platz.
Aber Du kannst natürlich auch so argumentieren:
sei [mm] x\in [/mm] A.
==> [mm] x\in \{1,2,3,4\}
[/mm]
==> [mm] 2x\in \{2,4,6,8\}
[/mm]
==> [mm] 2x\le [/mm] 8 usw.
Oder:
sei [mm] x\in [/mm] A
==> [mm] x\le [/mm] 4
==> [mm] 2x\le [/mm] 8 usw.
Noch eines:
wenn man es richtig genau nimmt, müßte man auch noch berücksichtigen, daß es um Zahlen aus [mm] \IN [/mm] geht:
sei [mm] x\in [/mm] A
==> [mm] x\in \IN [/mm] und x<5
==> [mm] 2x\in \IN [/mm] und 2x<10 usw.
LG Angela
>
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> > 2.3.3 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x \geq 9 \right\}[/mm]
>und [mm]B = \left\{ x\in\IN|x \geq 3 \right\}[/mm]. Zeigen Sie,
> > dass [mm]A \subset B[/mm] gilt.
> > 2.3.3
> > Ich muss Beweisen das [mm]A \subseteq B \wedge A \neq B[/mm]
>
> Ja.
> [mm]A\subseteq[/mm] B beweist Du wieder in dem Stile wie oben:
>
> sei [mm]x\in[/mm] A
>
> ==> [mm]x\ge[/mm] 3 ==>... ==>... ==>... ==> xin B.
>
> Dafür, daß die Mengen ungleich sind, lieferst Du ein
> Element, welches in B ist, aber nicht in A.
Das [mm]A \subseteq B[/mm]: [mm]x \in A
\Rightarrow y \geq 9
\Rightarrow x=9
\Rightarrow x \geq3
\Rightarrow x \in B[/mm]
Das [mm]A \neq B[/mm]: [mm]x%20%5Cin%20B%20%5CRightarrow%20x%20%5Cgeq%203%20%5CRightarrow%20x%3D3%20[/mm]
Wie stelle ich das Schriftlich weiter da? 3 ist in B aber nicht in A.
Oder schreibe ich einfach: Sei x = 3, so ist [mm]A \neq B[/mm].
Danke übrigens für die Ganze hilfe.
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> > >
> > > 2.3.3 Es seien [mm]A = \left\{ x\in\IN|x \geq 9 \right\}[/mm]
>
> >und [mm]B = \left\{ x\in\IN|x \geq 3 \right\}[/mm]. Zeigen Sie,
> > > dass [mm]A \subset B[/mm] gilt.
>
> > > 2.3.3
> > > Ich muss Beweisen das [mm]A \subseteq B \wedge A \neq B[/mm]
>
> >
> > Ja.
> > [mm]A\subseteq[/mm] B beweist Du wieder in dem Stile wie oben:
> >
> > sei [mm]x\in[/mm] A
> >
> > ==> [mm]x\ge[/mm] 3 ==>... ==>... ==>... ==> xin B.
> >
> > Dafür, daß die Mengen ungleich sind, lieferst Du ein
> > Element, welches in B ist, aber nicht in A.
Hallo,
>
> Das A [mm] \subseteq [/mm] B: x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \geq [/mm] 9
Warum redest Du plötzlich über ein y? Was meinst Du damit?
> Das [mm]A \subseteq B[/mm]: [mm]x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow \red{x} \geq [/mm] 9
[mm] \Rightarrow [/mm] x=9
Nein. Daraus, daß x größer oder gleich 9 ist, folgt doch nicht, da x=9 ist.
> Das [mm]A \subseteq B[/mm]: [mm]x \in A
\Rightarrow \red{x} \geq 9
\qquad -----
\Rightarrow x \geq3
\Rightarrow x \in B[/mm]
So wär's richtig.
Wenn man sehr genau ist, müßte man immer noch dazuschreiben, daß [mm] x\in \IN.
[/mm]
>
> Das [mm]A \neq B[/mm]: [mm]x%252520%25255Cin%252520B%252520%25255CRightarrow%252520x%252520%25255Cgeq%2525203%252520%25255CRightarrow%252520x%25253D3%252520[/mm]
Kann ich nicht lesen.
Evtl. bist Du unschuldig, lt. Bekanntmachung gibt es technische Probleme zur Zeit.
>
> Wie stelle ich das Schriftlich weiter da? 3 ist in B aber
> nicht in A.
> Oder schreibe ich einfach: Sei x = 3, so ist [mm]A \neq B[/mm].
Nicht "sei".
Du schreibst einfach: es ist [mm] 3\in [/mm] B, jedoch [mm] 3\not\in [/mm] A.
Also ist [mm] A\not=B.
[/mm]
LG Angela
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Ok dankeschön.
Ja hier werden gerade echt viele Sachen/Formeln zerschossen.
Das y ist im Orginal nie vorgekommen und das kryptische...
Nochmals Danke für die Hilfe und einen schönen Sonntag
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