Teilmengen, Vektor-, Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Becks |
Die Frage war, welche der folgenden Teilmengen des Vektorraums V aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] sind Unterräume von V?
1) A1 = {f [mm] \in [/mm] V : f(x) = f(-x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] }
2) A2 = {f [mm] \in [/mm] V : f(x) = konstant [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] }
3) A3 = {f [mm] \in [/mm] V : f(x) [mm] +f(x^{2}) [/mm] = 3 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] }
4) A4 = {f [mm] \in [/mm] V : f(3.14) = 0}
Wie gehe ich überhaupt an so was ran und wie kann ich das bestimmen?
Ich würde so spontan sagen, dass 1,3,4 Unterräume sind.
Jedoch ist das mehr Gefühl und ich weiß nicht, wie ich das Beweisen soll/kann.
Könnt ihr mir vielleicht sagen, wo ich den Ansatz setze?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Becks |
Sorry, das sollte in das Forum: UNI-Lineare Algebra
(Ich hoffe ihr könnt mir trotzdem helfen)
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Hallo!!!
Also wenn du schauen willst ob eine Teilmenge eines Vektorraumes ein Untervektorraum bildet,so müssen folgende Kriterien erfüllt sein!!
a.) Für alle x,y [mm] \in [/mm] U (Teilmenge) gilt: x+y [mm] \in [/mm] U
b.) Für alle x [mm] \in [/mm] U und a [mm] \in [/mm] K gilt: a*x [mm] \in [/mm] U
K...Dein Körper ,meistens die reelle Zahlenmenge
Sprich: DEr Untervektorraum darf durch die Addition und Multiplikation (mit Elementen aus K) NICHT verlassen werden!!!
MFG Daniel
Z.B das erste!!!
y= f(x) und x= g(x) Hier sind die Elemente Funktionen!!
Es gilt: f(x)= f(-x)
g(x)=g(-x) das sind gerade Funktionen wie z.B cos(x)
So: (f+g)(x) = f(x) + g(x) => (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x) => Durxh die adition der Funktionen behalten sie ihre Eigenschaft!!
..... MFG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Becks |
1)
(f+g)(x) = f(x) + g(x) => (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x) => Durxh die adition der Funktionen behalten sie ihre Eigenschaft!!
Dann zeige ich noch das mit der Multiplikation:
(f*g)(x) = f(x) * g(x) => (f*g)(-x)=f(-x)*g(-x)=f(x)*g(x)=(f*g)(x)
Das heißt, dass sie auch durch die Multiplikation ihre Eigenschaften behalten.
Somit ist 1) ein Unterraum! oder?
2)
f(x)=konstant
g(x)=konstant
Geht das dann ungefähr so:
(f+g)(x) = f(x) + g(x) => konstant=f(x)+g(x)=(f+g)(x) =>
aber das stimmt ja nicht. Denn wenn f(x) ein konstanter Wert ist, dann kann f(x)+g(x) nicht auch der konstante Wert sein. Das heißt er hat nicht mehr die selbe Eigenschaft!
3)
f(x) + [mm] f(x^{2}) [/mm] = 3
g(x) + [mm] g(x^{2}) [/mm] = 3
(f+g)(x) + [mm] (f+g)(x^{2}) [/mm] = f(x) + [mm] f(x^{2}) [/mm] + g(x) + [mm] g(x^{2}) [/mm]
=>
Hmm, ich glaube ich verstehe das doch nicht so ganz. Das wär ja dann das gleiche wie oben. und dann wäre nur 1 ein Unterraum oder?
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