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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 28.04.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Finden Sie
a) offene Teilmengen [mm] (A_n)n \in \IN [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] so, dass [mm]\bigcap {_n_\in_\IN} A_n \notin \{ \emptyset, \IR^2 \} [/mm] abgeschlossen ist.
b) abgeschlossene Teilmengen [mm] (B_n)n \in \IN [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] so, dass [mm]\bigcup {_n_\in_\IN} B_n \notin \{ \emptyset, \IR^2 \} [/mm] offen ist. |
unsere definition ist:
Wenn alle Randpunkte von A zu A gehören, heißt A abgeschlossen. Wenn
keiner dazugehört, heißt A offen.
A1 [mm] \cap [/mm] A2 [mm] \cap [/mm] A3... soll also abgeschlossen sein, aber wie kann ich denn beweisen, dass alle Randpunkte von der schnittmenge zu der schnittmenge gehört? Habe auch versucht, grafisch eine mögliche Skizze anzufertigen, allerdings komme ich da auch nicht weiter, bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Bei a) und b) sollst Du konkrete Mengen angeben !
TippS.
zu a) [mm] $A_n [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 < 1/n \}$
[/mm]
zu b) [mm] $B_n [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le1- 1/n \}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 28.04.2010 | | Autor: | johnyan |
zu a) das heißt also, dass die Folge gegen (0,0) konvergiert. Die schnittmenge daraus ist also der Punkt (0,0), der rand des Punktes ist der punkt und gehört zum punkt, also ist die schnittmenge abgeschlossen. (aber wir erreichen den ursprung eigentlich nie, ist die schnittmenge also wirklich nur der punkt?)
zu b) die folge konvergiert gegen den einheitskreis, also ist die vereinigte menge der einheitskreis ohne den rand (da wir den rand nie erreichen), also ist die vereinigte menge offen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> zu a) das heißt also, dass die Folge gegen (0,0)
> konvergiert. Die schnittmenge daraus ist also der Punkt
> (0,0), der rand des Punktes ist der punkt und gehört zum
> punkt, also ist die schnittmenge abgeschlossen. (aber wir
> erreichen den ursprung eigentlich nie, ist die schnittmenge
> also wirklich nur der punkt?)
Ja
>
> zu b) die folge konvergiert gegen den einheitskreis, also
> ist die vereinigte menge der einheitskreis ohne den rand
> (da wir den rand nie erreichen), also ist die vereinigte
> menge offen.
Ja
FRED
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