Teilmengen der Potenzmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Sa 16.10.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe 1 | Es seien A und B Mengen und P(A), P(B) ihre Potenzmengen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
{ [mm] \emptyset,A [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] P(A) |
| Aufgabe 2 | | P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) [mm] \subseteq [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B) |
Hi,
habe gerade meine erste Woche Mathestudium hinter mir und diese beiden Aufgaben sind Teil meiner ersten Analysis Übung.
Wie vermutlich die allermeisten frischen Mathestudenten, tu ich mir mit dem Beweisen noch etwas schwer. Hab mir im Verlauf dieser Übungsaufgabe glaub ich schon mehr Dinge selbst beigebracht als in den letzten beiden Jahren Mahte LK zusammen ;).
Leider haben wir in den bisherigen Vorlesungen was das Vorgehen beim Beweisen angeht, noch herzlich wenig gehört, sodass mir hier absolut der Ansatz fehlt.
Es wurde einfach definiert die leere Menge gehört zur Potenzmenge.
Wäre sehr nett wenn mir jemand die beiden Aufgaben soweit aufbauen könnte, bis ich das selbst weiterführen kann, ansonsten hab ich auch mit den zahlreichen anderen Teilaufgaben dieses Typs bisschen Probleme und ich würde das ganze gerne noch bis zur Abgabe am Montag schaffen :).
lg Bastian
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bastian,
> Es seien A und B Mengen und P(A), P(B) ihre Potenzmengen.
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
> { [mm]\emptyset,A[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subseteq[/mm] P(A)
> P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) [mm]\subseteq[/mm] P(A [mm]\cup[/mm] B)
> Hi,
> habe gerade meine erste Woche Mathestudium hinter mir und
> diese beiden Aufgaben sind Teil meiner ersten Analysis
> Übung.
>
> Wie vermutlich die allermeisten frischen Mathestudenten, tu
> ich mir mit dem Beweisen noch etwas schwer. Hab mir im
> Verlauf dieser Übungsaufgabe glaub ich schon mehr Dinge
> selbst beigebracht als in den letzten beiden Jahren Mahte
> LK zusammen ;).
> Leider haben wir in den bisherigen Vorlesungen was das
> Vorgehen beim Beweisen angeht, noch herzlich wenig gehört,
> sodass mir hier absolut der Ansatz fehlt.
> Es wurde einfach definiert die leere Menge gehört zur
> Potenzmenge.
>
> Wäre sehr nett wenn mir jemand die beiden Aufgaben soweit
> aufbauen könnte, bis ich das selbst weiterführen kann,
> ansonsten hab ich auch mit den zahlreichen anderen
> Teilaufgaben dieses Typs bisschen Probleme und ich würde
> das ganze gerne noch bis zur Abgabe am Montag schaffen :).
Eher anfangen ... 
Nun, halte dich an die Definitionen:
a) zu zeigen: [mm]\{\emptyset,A\}\subset\mathcal{P}(A)[/mm]
Wie zeigt man [mm]M\subset N[/mm]?
Indem man zeigt, dass jedes Element, das in M liegt gefälligst auch in N liegt, formal: [mm]\forall m\in M: m\in N[/mm]
Hier kannst du das schnell per Hand überprüfen, die Menge [mm]\{\emptyset,A\}[/mm] enthält ja nur 2 Elemente: [mm]\emptyset[/mm] und [mm]A[/mm]
Wie ist die Potenzmenge [mm]\mathcal{P}(A)[/mm] definiert?
Das ist die Menge aller Teilmengen von [mm]A[/mm]
Also weise nach, dass [mm]\emptyset[/mm] und [mm]A[/mm] Teilmengen von [mm]A[/mm] sind, also in [mm]\mathcal{P}(A)[/mm] liegen ...
bei b) benutze wieder die Definitionen. Zeige: Jedes Element in [mm]\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)[/mm] liegt auch in [mm]\mathcal{P}(A\cup B)[/mm]
Beginne: Sei [mm]M\in\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)[/mm], dann ...
>
> lg Bastian
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 16.10.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
{ [mm] \emptyset, [/mm] A } [mm] \subseteq [/mm] P(A) |
Danke für deine Antwort!
Na ich hab ja schon 3/4 der Übung fertig und nicht erst heute damit angefangen ;)
Mir fehlt v.a. bei solchen Dingen die ja auf der Hand liegen, auch einfach noch das Gefühl dafür, wie ich das jetz logisch korrekt beweise.
Wenn bitte noch jemand schaun könnte ob mein Versuch zur (i) jetz so brauchbar ist.
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \emptyset: [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] A
[mm] \gdw [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] ,A} [mm] \subseteq [/mm] A
[mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in \emptyset \wedge \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] {M|M [mm] \subseteq [/mm] A}
[mm] \gdw [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] ,A} [mm] \subseteq [/mm] P(A)
ich bitte die Formatierung zu entschuldigen ;)
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schachuzipus sprach:
> Also weise nach, dass [mm] \emptyset [/mm] und [mm] A [/mm] Teilmengen von [mm] A [/mm] sind, also in [mm] \mathcal{P}(A) [/mm] liegen ...
Warum machst du das dann nicht?
Insgesamt zu zeigen ist [mm]\{ \emptyset, A \} \subseteq P(A)[/mm], also [mm]x\in\{ \emptyset, A \}\Rightarrow x\in P(A)\gdw x\subseteq A[/mm].
Mit anderen Worten: [mm]x\in\{ \emptyset, A \}\Rightarrow x\subseteq A[/mm]
z.z.
[mm]\emptyset \subseteq A \mbox{ also; } x\in \emptyset \Rightarrow x\in A[/mm] und
[mm]A \subseteq A \mbox{ also; } x\in A\Rightarrow x\in A[/mm].
Dann wärst du auch schon fertig.
Schon alleine die haufen [mm]\gdw[/mm] zeigen, dass du falsch liegst. Würde dein Beweis richtig sein, dann hättest du [mm]\{\emptyset ,A\}\green{=}\mathcal{P}(A)[/mm] gezeigt, da man dann auch den Weg [mm] $\Leftarrow,\Leftarrow$ [/mm] gehen könnte und folgendes gezeigt hätte [mm]\{ \emptyset, A \} \supseteq P(A)[/mm]
Tipp: Versuch nicht alles mit logischen Symbolen zuschreiben. Wörter, wie "zuzeigen,daher,also,somit" vereinfachen das Lesen erheblich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 24.10.2010 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
hab an meinen Studienort leider noch kein Inet in meiner Wohnung, aber wollte mich hier nochmal für die Hilfe bedanken.
So ganz langsam kommt auch n bisschen Gefühl fürs Beweisen und ich denk meine letzte Übung war ganz gut auch wenn ich noch kein Ergebniss hab.
lg
Bastian
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