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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:33 So 11.11.2007 | | Autor: | froggie |
| Aufgabe | Die Teilmengen [mm] S_{i} 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] 2 [mm] \IR^{\IR}=Abb(\IR, \IR)= [/mm] { f | f: [mm] \IR \to \IR [/mm] Abbildung } seien definiert durch
[mm] S_{1}={ f | f(1)=0 }
[/mm]
[mm] S_{3}= [/mm] { f | f(x)=-f(-x) für jedes x [mm] \in \IR [/mm] }
Welche dieser Mengen sind Unterräume von [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] |
hier heißt es wieder die unterraumaxiome zeigen, aber wie zeigt man denn die Abgeschloßenheit von [mm] S_{1}. S_{1} [/mm] ist ja die Menge aller Funktionen, die an der STelle x=1 eine Nullstelle haben, haben ich weiß nicht, wie ich zwei elemente aus der menge mit einander addieren soll. Hat jemand eine Tipp für den froggie? :P
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Hallo froggie!
> Die Teilmengen [mm]S_{i} 1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] 2 [mm]\IR^{\IR}=Abb(\IR, \IR)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { f | f: [mm]\IR \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Abbildung } seien definiert durch
> [mm]S_{1}={ f | f(1)=0 }[/mm]
> [mm]S_{3}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ f | f(x)=-f(-x) für jedes x
> [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Welche dieser Mengen sind Unterräume von [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm]
> hier heißt es wieder die unterraumaxiome zeigen, aber wie
> zeigt man denn die Abgeschloßenheit von [mm]S_{1}. S_{1}[/mm] ist ja
> die Menge aller Funktionen, die an der STelle x=1 eine
> Nullstelle haben, haben ich weiß nicht, wie ich zwei
> elemente aus der menge mit einander addieren soll. Hat
> jemand eine Tipp für den froggie? :P
Naja, zwei Funktionen werden komponentenweise addiert, also (f+g)(x)=f(x)+g(x). Wenn du nun zwei Funktionen addierst, die beide bei x=1 eine Nullstelle haben, dann wird die Summe dieser beiden doch an der Stelle x=1 auch eine Nullstelle haben, denn beim Summieren addierst du dann an dieser Stelle nur zwei Nullen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:40 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Noch eine Frage zu [mm] S_1. [/mm] Ich weiß wie ich die Vektoraddition und die skalare Multiplikation nachweisen kann. Es muss ja aber auch gezeigt werden, dass der Nullvektor in [mm] S_1 [/mm] liegt. Ich habe gelesen, dass das mit der Nullabbildung funktioniert, verstehe aber nicht ganz, was damit gemeint ist.
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo Mirtschi,
nun, in dem VR [mm] S_1 [/mm] sind die Vektoren ja Funktionen, die Rolle des Nullvektors übernimmt also eine Funktion.
Nennen wir sie [mm] $f_0:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Ist [mm] $f_0\in S_1$ [/mm] ?
Na, es ist [mm] $f_0(1)=0$, [/mm] also ist [mm] $f_0$ [/mm] offensichtllich [mm] $\in S_1$
[/mm]
Nun musst du prüfen, ob [mm] $f_0$ [/mm] auch als neutrales Element bzgl der Addition fungiert:
Nimm dir also ein weiteres beliebiges [mm] $f\in S_1$ [/mm] her
Dann ist [mm] $(f+f_0)(x)=f(x)+f_0(x)=f(x)+0=f(x)$
[/mm]
und ebenso [mm] $(f_0+f)(x)=...=f(x)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:46 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Jetzt hab ich verstanden, was mit Nullabbildung gemeint ist. Noch einmal zur Sicherheit: Ich muss nachweisen, dass [mm] f_0 \in S_1 [/mm] ist und ein neutrales Element bezüglich Addition und Multiplikation hat, richtig?
Dass es zwei Elemente f,g [mm] \in \IR^\IR [/mm] gibt, für die f+g [mm] \in\IR^\IR [/mm] gilt und dass es ein Element f [mm] \in\IR^\IR [/mm] und ein Element a [mm] \in\IR [/mm] gibt, für die gilt: a*f [mm] \in\IR^\IR, [/mm] muss ich aber trotzdem noch extra zeigen, oder?
Zu einer anderen Teilaufgabe:
[mm] S_2 [/mm] = {f/f(1) = 1}
Das ist kein Unterraum von [mm] \IR^\IR, [/mm] da f(1) = 1 der Nullabbildung widerspricht, oder? Laut Definition der Nullabbildung wird ja jede reelle Zahl auf die Null abgebildet und hier wird 1 [mm] \in\IR [/mm] auf 1 [mm] \ne [/mm] 0 abgebildet.
Kann man das so begründen?
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> Noch einmal
> zur Sicherheit: Ich muss nachweisen, dass [mm]f_0 \in S_1[/mm] ist
> und ein neutrales Element bezüglich Addition und
> Multiplikation hat, richtig?
Hallo,
ich nehme gaz stark an, daß Igr in der Vorlesung bereits gezeigt habt, daß [mm] \IR^{\IR}, [/mm] die Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] mit der entsprechenden Addition und Multiplikation mit Skalaren einen VR biden.
Daher ist in dieser Aufgabe für die gegebenen Mengen lediglich die Unterraumeigenschaft nachzuweisen.
Ich weiß nicht, wie Ihr die Unterraumkriterien formuliert habt.
Normalerweise beginnt es damit, daß man schaut, ob auch wirklich ein Element in der Menge liegt, und an dieser Stelle ist es sinnvoll - wenn auch nicht unbedingt zwingend notwendig - zu prüfen, ob das neutrale Element des Oberraumes bzgl der Addition in der Menge liegt.
Wenn nicht, kann man nämlich gleich aufhören.
(Denkbar ist auch die Formulierung [mm] 0\in [/mm] U.)
Was Du oben mit neutralem Element der Multiplikation meinst, verstehe ich nicht - wir sind in einem Vektorraum...
Neben der Existenz eines Elementes sind dann noch die Unterraumkriterien zu zeigen, nämlich die Abgeschlossenheit der Addition und der Multiplikation mit Skalaren. Du versuchst das wohl unten zu formulieren.
> Dass es zwei Elemente f,g [mm]\in \IR^\IR[/mm] gibt, für die f+g
> [mm]\in\IR^\IR[/mm] gilt und dass es ein Element f [mm]\in\IR^\IR[/mm] und
> ein Element a [mm]\in\IR[/mm] gibt, für die gilt: a*f [mm]\in\IR^\IR,[/mm]
> muss ich aber trotzdem noch extra zeigen, oder?
Nee Du, daß es irgendwie irgendwo solche Elemente gibt, ist nicht daß, was man wissen will.
Man will wissen, ob für je zwei Elemente [mm] f,g\in S_i [/mm] die Summe auch in [mm] S_i [/mm] liegt,
und ob für jedes [mm] a\in \IR [/mm] gilt, daß [mm] a*f\in S_i
[/mm]
> Zu einer anderen Teilaufgabe:
> [mm]S_2[/mm] = {f/f(1) = 1}
>
> Das ist kein Unterraum von [mm]\IR^\IR,[/mm] da f(1) = 1 der
> Nullabbildung widerspricht, oder? Laut Definition der
> Nullabbildung wird ja jede reelle Zahl auf die Null
> abgebildet und hier wird 1 [mm]\in\IR[/mm] auf 1 [mm]\ne[/mm] 0 abgebildet.
> Kann man das so begründen?
Ich sehe, daß Du verstanden hast, warum es kein Vektorraum ist.
Du brauchst nur zu sagen, da die Nullabbildung n wegen n(1)=0 nicht in [mm] S_2 [/mm] enthalten ist, ist [mm] S_2 [/mm] kein UVR v. [mm] \IR^{\IR}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
hallo und danke für eure mühe!!!!
ich hab jetzt mal versucht alles zu lösen mithilfe eurer tipps! meine lösung ist folgende: (um mir arbeit zu ersparen hab ich immer R statt [mm] \IR [/mm] geschrieben)
S1={f|f(1)=0}
(1) z.z: [mm] S1\not= \emptyset
[/mm]
die funktion f: R->R, x->0 für alle x [mm] \in [/mm] R ist Element aus S1
-> S1 [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(2) z.z: [mm] \forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] S1 gilt (f+g) [mm] \in [/mm] S1
es seien f: R->R, x-> (x-1) für alle x [mm] \in [/mm] R und
g: R->R, x-> (x-1) für alle x [mm] \in [/mm] R Elemente aus S1
-> f+g= (x-1)+(x-1)=2x-2 [mm] \in [/mm] S1
[mm] ->\forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] S1 gilt (f+g) [mm] \in [/mm] S1
(3) z.z: [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] S1 und a [mm] \in [/mm] R gilt (a*f) [mm] \in [/mm] S1
es seien f: R->R, x-> (x-1) für alle x [mm] \in [/mm] R [mm] \in [/mm] S1 und a [mm] \in [/mm] R
-> a*f=a*(x-1)=ax-a [mm] \in [/mm] S1
-> [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] S1 und a [mm] \in [/mm] R gilt (a*f) [mm] \in [/mm] S1
==> S1 erfüllt alle untervektorraumeigenschaften ==> S1 ist untervektorraum von (R,R)
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S2={f|f(1)=1}
behauptung: S2 ist kein untervektorraum von (R,R)
z.z: S2 erfüllt eine Untervektorraumeigenschaft nicht
die funktion f:R->R, X->0 für alle x [mm] \in [/mm] R ist nicht Element aus S2
[mm] S2=\emptyset [/mm] ??
hierzu eine frage: es können ja auch andere elemente in S2 sein wie zum beispiel f:R->R, x->1 für alle x [mm] \in [/mm] R
aus dem beispiel wird mir nicht klar das S2 kein untervektorraum ist!?
ich hätte jetzt ein anderes gegenbeispielgenommen und zwar, dass die abgeschlossenheit bezüglich der multiplikation nicht gilt
ein beispiel: f:R->R, x->1 für alle x [mm] \in [/mm] R [mm] \2 [/mm] und [mm] 5\in [/mm] R
5*f=5*1 =5 [mm] \not\in [/mm] S2
=> S2 ist kein untervektorraum von (R,R)
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S3={f|f(x)=f(-x) für jedes [mm] x\in [/mm] R }
(dies sind ja alle funktionen, die symmetrisch zur y achse sind)
(1) z.z: [mm] S3\not= \emptyset
[/mm]
die funktion f: R->R, x->0 für alle x [mm] \in [/mm] R ist Element aus S3
-> S3 [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(2) z.z: [mm] \forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] S3 gilt (f+g) [mm] \in [/mm] S3
es seien f: R->R, x-> [mm] (x^2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] R und
g: R->R, x-> [mm] (x^2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] R Elemente aus S3
-> f+g= [mm] (x^2)+(x^2)=2x^2 \in [/mm] S3
[mm] ->\forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] S3 gilt (f+g) [mm] \in [/mm] S3
(3) z.z: [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] S3 und a [mm] \in [/mm] R gilt (a*f) [mm] \in [/mm] S3
es seien f: R->R, x-> [mm] (x^2) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] R [mm] \in [/mm] S3
und a [mm] \in [/mm] R -> [mm] a*f=a*(x^2)=ax^2 \in [/mm] S3
[mm] ->\forall [/mm] f [mm] \in [/mm] S3 und a [mm] \in [/mm] R gilt (a*f) [mm] \in [/mm] S3
==> S3 erfüllt alle untervektorraumeigenschaften ==> S3 ist untervektorraum von (R,R)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
S4={f|f(x)=-f(-x) für jedes [mm] x\in [/mm] R}
(dies sind ja alle funktionen die symmetrisch zum ursprung sind)
bei mir ergibt sich auch hier, dass S4 ein untervektorraum ist. stimmt das?
so das wärs jetzt soweit. wär echt super wenn sich jemand die mühle macht und meine "lösungsversuche" korrigiert.oder mir einfach tipps gibt wie ich die aufgabe besser lösen könnte.
vielen dank
grüße
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Hallo,
> S1={f|f(1)=0}
>
> (1) z.z: [mm]S1\not= \emptyset[/mm]
> die funktion f: R->R, x->0 für
> alle x [mm]\in[/mm] R ist Element aus S1
denn es ist [mm] f_0(1)=0
[/mm]
> -> S1 [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> (2) z.z: [mm]\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] S1 gilt (f+g) [mm]\in[/mm] S1
> es seien f: R->R, x-> (x-1) für alle x [mm]\in[/mm] R und
> g: R->R, x-> (x-1) für alle x [mm]\in[/mm] R Elemente aus S1
> -> f+g= (x-1)+(x-1)=2x-2 [mm]\in[/mm] S1
> [mm]->\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] S1 gilt (f+g) [mm]\in[/mm] S1
Ich weiß nicht genau, was Du Dir hierbei gedacht hast...
Wenn Du die Abgeschlossenheit bzgl + zeigen willst, mußt Du das allgemein für alle Funktionen, die in [mm] S_1 [/mm] liegen, tun.
Du kannst Dir nicht einfach zwei Funktionen, bei denen das möglicherweise zufällig funktioniert, herausgreifen.
Ein Beispiel reicht zum Widerlegen. Zum beweisen reichen tausend Beispiele nicht.
Du mußt das ganz allgemein angehen: sein f,g [mm] \in S_1.
[/mm]
Dann ist (f+g)(1)=...
Bei der 3) machst Du denselben Fehler.
>
> (3) z.z: [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] S1 und a [mm]\in[/mm] R gilt (a*f) [mm]\in[/mm] S1
> es seien f: R->R, x-> (x-1) für alle x [mm]\in[/mm] R [mm]\in[/mm] S1 und a
> [mm]\in[/mm] R
> -> a*f=a*(x-1)=ax-a [mm]\in[/mm] S1
> -> [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] S1 und a [mm]\in[/mm] R gilt (a*f) [mm]\in[/mm] S1
>
> ==> S1 erfüllt alle untervektorraumeigenschaften ==> S1 ist
> untervektorraum von (R,R)
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> S2={f|f(1)=1}
>
> behauptung: S2 ist kein untervektorraum von (R,R)
> z.z: S2 erfüllt eine Untervektorraumeigenschaft nicht
> die funktion f:R->R, X->0 für alle x [mm]\in[/mm] R ist nicht
> Element aus S2
> [mm]S2=\emptyset[/mm] ??
> hierzu eine frage: es können ja auch andere elemente in S2
> sein wie zum beispiel f:R->R, x->1 für alle x [mm]\in[/mm] R
> aus dem beispiel wird mir nicht klar das S2 kein
> untervektorraum ist!?
Daß andere Elemente in der Menge sind, retet die Unterraumeigenschaft nicht:
Es ist die Funktion [mm] f_1, [/mm] die konstant=1 ist, in [mm] S_2.
[/mm]
Die Nullfunktion ist ja [mm] 0*f_1, [/mm] und wenn die nicht in [mm] S_2 [/mm] ist, ist die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation mit Skalaren nicht gewährleistet.
>
> ich hätte jetzt ein anderes gegenbeispielgenommen und zwar,
> dass die abgeschlossenheit bezüglich der multiplikation
> nicht gilt
> ein beispiel: f:R->R, x->1 für alle x [mm]\in[/mm] R [mm]\2[/mm] und [mm]5\in[/mm] R
> 5*f=5*1 =5 [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
S2
> => S2 ist kein untervektorraum von (R,R)
Ja, das ist auch schön. Nimm das, es ist Dein eigenes und daher wertvoll.
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> S3={f|f(x)=f(-x) für jedes [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R }
> (dies sind ja alle funktionen, die symmetrisch zur y achse
> sind)
>
> (1) z.z: [mm]S3\not= \emptyset[/mm]
> die funktion f: R->R, x->0 für
> alle x [mm]\in[/mm] R ist Element aus S3
> -> S3 [mm]\not= \emptyset[/mm]
(1) ist in Ordnung.
Ansonsten machst Du wieder denselben Fehler wie weiter oben: Du willst anhand ausgewählter Beispiele beweisen.
>
> (2) z.z: [mm]\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] S3 gilt (f+g) [mm]\in[/mm] S3
> es seien f: R->R, x-> [mm](x^2)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] R und
> g: R->R, x-> [mm](x^2)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] R Elemente aus S3
> -> f+g= [mm](x^2)+(x^2)=2x^2 \in[/mm] S3
> [mm]->\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] S3 gilt (f+g) [mm]\in[/mm] S3
>
> (3) z.z: [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] S3 und a [mm]\in[/mm] R gilt (a*f) [mm]\in[/mm] S3
> es seien f: R->R, x-> [mm](x^2)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] R [mm]\in[/mm] S3
> und a [mm]\in[/mm] R -> [mm]a*f=a*(x^2)=ax^2 \in[/mm] S3
> [mm]->\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] S3 und a [mm]\in[/mm] R gilt (a*f) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
S3
>
> ==> S3 erfüllt alle untervektorraumeigenschaften ==> S3 ist
> untervektorraum von (R,R)
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> S4={f|f(x)=-f(-x) für jedes [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R}
>
> (dies sind ja alle funktionen die symmetrisch zum ursprung
> sind)
>
> bei mir ergibt sich auch hier, dass S4 ein untervektorraum
> ist. stimmt das?
Das scheint mir zu stimmen, aber Du mußt über einen vernünftigen Beweis nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
zu [mm] S_{3} [/mm] möchte ich jetzt die Abgeschloßenheit bzl der Addition zeigen:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)
skalare Multiplikation:
[mm] (\lambda*f)(x)=\lambda*f(x)=\lambda*f(-x)
[/mm]
kann man das so schreiben?
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> zu [mm]S_{3}[/mm] möchte ich jetzt die Abgeschloßenheit bzl der
> Addition zeigen:
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)
>
> skalare Multiplikation:
> [mm](\lambda*f)(x)=\lambda*f(x)=\lambda*f(-x)[/mm]
>
> kann man das so schreiben?
Es fehlt beide Male das rauschende Finale, aus welchem Du dann [mm] \in S_3 [/mm] schließen kannst:
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)
=(f+g)(-x) ==> ...
> [mm] (\lambda*f)(x)=\lambda*f(x)=\lambda*f(-x)
[/mm]
[mm] =(\lambda*f)(-x) [/mm] ==> ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
hab das jetzt bei S3 und S4 mit der Abgeschloßenheit der Addition kapiert :)
nur noch nich mit der skalaren multiplikation...., ich kann ja f(-x) oder Lamba doch nicht mehr durch irgendwas ersetzten.... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
oups hab nicht gesehen, dass du noch [mm] (\lambda*f)(-x) [/mm] ergänzst hast... (brauch mal ne neue Brille ;) )
[mm] (\lambda*f)(-x), [/mm] daraus folgt, [mm] \lambda*f(x) [/mm] ist Element von [mm] S_{3}
[/mm]
correct? :P
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> hab das jetzt bei S3 und S4 mit der Abgeschloßenheit der
> Addition kapiert :)
Das ist außerordentlich gut.
>
> nur noch nich mit der skalaren multiplikation...., ich kann
> ja f(-x) oder Lamba doch nicht mehr durch irgendwas
> ersetzten.... :(
Hier sprichst Du in Rätseln...
Das einzige, was ich mir vorstellen könnte ... - paß auf:
Wir nehmen jetzt mal [mm] S_3, [/mm] das waren die zur y-Achse symmetrischen Funktionen.
Du mußt zeigen, daß für jedes [mm] \lambda\in \IR [/mm] und für jedes [mm] f\in S_3 [/mm] auch [mm] \lambda [/mm] f [mm] \in S_3.
[/mm]
Was ist nun [mm] \lambda [/mm] f? Das ist eine Funktion, welche folgendermaßen definiert ist:
[mm] (\underbrace{\lambda f}_{neue. Funktion})(x):= \underbrace{\lambda}_{Zahl}*\underbrace{f(x)}_{Funktionswert.v.f.bei.x}
[/mm]
Von dieser Funktion [mm] \lambda [/mm] f möchten wir wissen, ob sie in [mm] S_3 [/mm] ist.
Du hattest das vorhin schon berechnet:
> $ [mm] (\lambda\cdot{}f)(x)=\lambda\cdot{}f(x)=\lambda\cdot{}f(-x) [/mm] $
Du darfst an dieser Stelle nun nicht stehenbleiben.
Du mußt jetzt noch "zeigen", daß das der Funktionswert der Funktion [mm] \lambda\cdot{}f [/mm] an der Stelle -x ist, ich hatte das ja zuvor getan:
[mm] ...=(\lambda\cdot{}f)(-x) [/mm] (nach Def. der in [mm] \IR^{\IR} [/mm] def. Multiplikation mit Skalaren)
Nun erst kann man ablesen [mm] (\lambda\cdot{}f)(x)=(\lambda\cdot{}f)(-x) [/mm] , und weiß, daß [mm] \lambda\cdot{}f \in S_3.
[/mm]
Es geht hier um Funktionen.
War es das, was Du wissen wolltest?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
hatte ich ja schon oben erklärt, hatte was überlesen....ich trottel
aber danke noch mal für deine Erklärung!!!!! bist echt nett!!! was würden wir alle nur ohne so hilfsbereite Leute machen!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
> Hallo Mirtschi,
>
>
> Nennen wir sie [mm]f_0:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>
[mm] x\mapsto [/mm] 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
bedeutet, das, dass alle x-werte auf Null abgebildet werden? Ich denke nur die 1 wird auf die Null abgebildet?!?!
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Hallo froggie,
> > Hallo Mirtschi,
> >
>
> >
> > Nennen wir sie [mm]f_0:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> >
> [mm]x\mapsto[/mm] 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> bedeutet, das, dass alle x-werte auf Null abgebildet
> werden? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich denke nur die 1 wird auf die Null
> abgebildet?!?! ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wo steht das? Da steht nur, dass die Funktionen in [mm] $S_1$ [/mm] die 1 auf 0 abbilden müssen, sonst weiß man nix über die Funktionen in [mm] $S_1$
[/mm]
Da ist ja auch sowas komisches drin wie [mm] $g(x)=\begin{cases} \sin(x), & \mbox{für } x\neq 1 \\0, & \mbox{für } x=1 \end{cases}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
ok, stimmt, du hast recht!!!
wir wissen ja nur was über die 1.... also kann man einfach sagen, dass alle x-wert auf die null abgebildetet werden, damit man dass mit der nullabbildung machen kann, gell?
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Hi nochmal,
> ok, stimmt, du hast recht!!!
>
> wir wissen ja nur was über die 1.... also kann man einfach
> sagen, dass alle x-wert auf die null abgebildetet werden,
> damit man dass mit der nullabbildung machen kann, gell?
Ich glaube, du meinst das Richtige
Die Nullabbildung, die jedes x auf 0 abbildet, bildet natürlich insbesondere die 1 auf 0 ab, ist also in der Menge aller Funktionen, die 1 auf 0 schicken [mm] (=S_1) [/mm] drin und dient als neutrales Element bzgl der Addition von Vektoren (also der Addition von Funktionen)
Das ist ja oben in den posts schon nachgewiesen worden
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
reicht es dann zu dieser Aufgabe, dass mit Worten zu erklären (für die Abgeschloßenheit der Addition?)
wie würde man das denn mathematisch aufschreiben, wenn ich 2 Funktionen addierre, die an der Stelle x=1 eine Nullstellle haben?
(g(1)=0)+(f(1)=0) ist bestimmt falsch.........
du meintest ja (f+g) (x)= f(x)+g(x), muss es dann heißen f(1)+g(1)=(f+g)(1)=0, da f(1)=0 und g(1)=0 ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
zur skalaren multiplikation:
f(1)=0
[mm] \lambda*f(1)=\lamba*0=0, [/mm] da 0 [mm] \in \IR [/mm] gilt die abgeschloßenheit bzgl skalare muliplikation
war das jetzt richtig? :)
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Hallo,
> zur skalaren multiplikation:
> f(1)=0
> [mm]\lambda*f(1)=\lamba*0=0,[/mm] da 0 [mm]\in \IR[/mm] gilt die
> abgeschloßenheit bzgl skalare muliplikation
>
> war das jetzt richtig? :)
Das stimmt fast, du musst etwas genauer sein.
Es ist ja zu zeigen, dass mit jeder Funktion [mm] $f\in S_1$ [/mm] gefälligst auch [mm] $(\lambda\cdot{}f)\in S_1$ [/mm] ist für beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Also die Funktion [mm] $(\lambda\cdot{}f)$ [/mm] !!!
Also prüfe: [mm] $(\lambda\cdot{}f)(1)=\lambda\cdot{}f(1)=\lambda\cdot{}0=0$
[/mm]
Also [mm] $(\lambda f)\in S_1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
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> Also prüfe:
> [mm](\lambda\cdot{}f)(1)=\lambda\cdot{}f(1)=\lambda\cdot{}0=0[/mm]
>
> Also [mm](\lambda f)\in S_1[/mm]
ist das jetzt nicht schon die Lösung? bin jetzt verwirrt, weil du da hingeschrieben hast "also prüfe" ;)
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Servus,
> >
> > Also prüfe:
> > [mm](\lambda\cdot{}f)(1)=\lambda\cdot{}f(1)=\lambda\cdot{}0=0[/mm]
> >
> > Also [mm](\lambda f)\in S_1[/mm]
>
> ist das jetzt nicht schon die Lösung? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") bin jetzt verwirrt,
> weil du da hingeschrieben hast "also prüfe" ;)
Ja, der Nachweis war so kurz, wo sollte ich da aufhören zu schreiben?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
super vielen lieben netten DANK!!!!!!
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> reicht es dann zu dieser Aufgabe, dass mit Worten zu
> erklären (für die Abgeschloßenheit der Addition?)
Hallo,
nein, das reicht nicht.
Du sollst und mußt ja lernen, mit den Definitionen zu arbeiten und Dich präzise auszudrücken.
>
> wie würde man das denn mathematisch aufschreiben, wenn ich
> 2 Funktionen addierre, die an der Stelle x=1 eine
> Nullstellle haben?
Erstmal, und zwar nicht nur für den Korrektor, sondern auch für Dich und Deinen Erfolg, ist es wichtig, daß es Dir ganz klar ist, was Du im Moment gerade zeigen möchtest.
Was eigentlich? Achso: die Abgeschlossenheit von [mm] S_1 [/mm] bzgl. der Addition.
Zu zeigen: [mm] f,g\in S_1 [/mm] ==> [mm] f+g\in S_1.
[/mm]
Nun beginnt der Beweis:
Beweis:
Es seien f,g [mm] \in S_1.
[/mm]
[Überlege Dir, was das bedeutet, daß die beide da drin sind]
Also ist f(1)=0 und g(1)=0.
[Was mußt Du nun eigentlich wissen, um entscheiden zu können, ob [mm] f+g\in S_1 [/mm] stimmt? Du mußt den Funktionswert von f+g an der Stelle 1 wissen und nachschauen, ob er =0 ist.]
Es ist
(f+g)(1)= ...
Nun mußt Du nachgucken, wie das eigentlich definert ist, und dann fein weiterrechen, bis dasteht ...=0.
==> [mm] f+g\in S_1, [/mm] womit die Abgeschlossenheit von [mm] S_1 [/mm] gegenüber der Addition gezeigt ist.
> du meintest ja (f+g) (x)= f(x)+g(x), muss es dann heißen
> f(1)+g(1)=(f+g)(1)=0, da f(1)=0 und g(1)=0 ?
Ach hier steht es ja! Soweit hatte ich noch nicht gelesen.
Dann können wir es ja gleich in der richtigen Reihenfolge zusammensetzen:
(f+g)(1)=f(1)+g(1) (nach Def. der Addition v. Funktionen)
= 0 + 0 (denn [mm] f,g\in S_1, [/mm] also ist f(1)=0 und g(1)=0)
=0
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
danke für die hilfe!!!
ich hab mich jetzt mal mit S3 versucht:
S3={f|f(x)=f(-x) für jedes x [mm] \in [/mm] R}
(1) die nullfunktion ist drin, das hab ich ja weiter oben schon bewiesen
(2) abgeschlossenheit bezüglich der addition
es seien f,g [mm] \in [/mm] S3 dann ist f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x)
(f+g) (x) = f(x)+g(x) nach der def von funktionen
=f(-x)+g(-x) hm und woher sehe ich jetzt, dass das wieder in s3 ist? für mich ist es irgendwie logisch denn wenn f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x)
in S3 dann müsste ja auch die summe in s3 sein. wie schreibe ich das mathematisch auf??
danke für eure hilfe!!!!!!!!!!!!!!! 
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> danke für die hilfe!!!
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> ich hab mich jetzt mal mit S3 versucht:
>
> S3={f|f(x)=f(-x) für jedes x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R}
>
> (1) die nullfunktion ist drin, das hab ich ja weiter oben
> schon bewiesen
>
> (2) abgeschlossenheit bezüglich der addition
> es seien f,g [mm]\in[/mm] S3 dann ist f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x)
> (f+g) (x) = f(x)+g(x) nach der def von funktionen
> =f(-x)+g(-x)
=(f+g)(-x) nach Def. der Addition v, Funktionen.
Also ist (f+g) (x) =(f+g)(-x) und folglich f+g [mm] \in S_3
[/mm]
Das sah jetzt ja richtig gut aus.
Vergiß nicht die Multiplikation mit Skalaren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mo 12.11.2007 | | Autor: | froggie |
also.... um alles mal zusammen zufassen: ich hab folgendes raus:
S1 Unterraum
S2 kein Unterraum
S3 Unterraum
S4 Unterraum
habt ihr das auch raus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
genau, das hab ich auch!!
grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:24 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
ok, danke !!
Das mit der addition hab ich jetz verstanden.
mal sehen ob ich den rest auch richtig gemacht habe
also
S3={f|f(x)=f(-x) für alle x aus R}
prüfen ob die skalare multiplikation gilt:
es seien g [mm] \in [/mm] S3 und a [mm] \in [/mm] R, dann ist g(x)=g(-x)
->(a*g)(x)=a* g(x)
laut def der multiplikation von funktionen
-> a*g(x)= a* g(-x)
da [mm] g\in [/mm] S3 gilt g(x)=g(-x)
->a*g(-x)=(a*g)(-x)
laut der def der multiplikation von funktionen
->(a*g)(-x)=(a*g)(x)
da [mm] g\in [/mm] S3
->(a*g) [mm] \in [/mm] S3
=> S3 ist bezüglich der multiplikation abgeschlossen
===> s3 erfüllt alle unterraumeigenschaften==> s3 ist ein unterraum von Abb(R,R)
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S4={f|f(x)= -f(-x) für jedes x aus R}
(1) S4 [mm] \not= \emptyset [/mm] weil die nullfunktion drinne ist, wie ich das genau sufschreibe ist ja analog zu den oberen aufgabenteilen
(2) abgeschlossenheit bezügl der addition:
es seien g,h [mm] \in [/mm] S4 dann ist g(x)= -g(-x) und h(x)= -h(-x)
-> (g+h)(x)= g(x)+h(x)
lauf def der addition von funktionen
-> g(x)+(x)= -g(-x)-h(-x)
da g,h [mm] \in [/mm] S4 gilt g(x)= -g(-x) und h(x)= -h(-x)
-> -g(-x)-h(-x) = -(g+h) (-x)
laut der def der addition von funktionen
-> -(g+h) (-x) =(g+h)(x)
->(g+h) [mm] \in [/mm] S4
-> S4 ist bezüglich der addition abgeschlossen
(3) abgeschlossenheit bezügl der multiplikation:
es seien g [mm] \in [/mm] S4 dann ist g(x)= -g(-x) und [mm] a\in [/mm] R
-> (a*g)(x)= a*g(x)
laut def der muktiplikation von funktionen
-> a*g(x)= a*(-g(-x))
da g [mm] \in [/mm] S4 gilt g(x)= -g(-x)
->a*( -g(-x)) = -(a*g) (-x)
laut der def der multiplikation von funktionen
-> -(a*g) (-x) =(a*g)(x)
->(a*g) [mm] \in [/mm] S4
-> S4 ist bezüglich der multiplikation abgeschlossen
=> S4 erfüllt alle unterraumeigenschaften
==> S4 ist ein unterreum
kann mir jemand sagen ob ich das so richtig hingeschrieben habe?
danke!!!
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mo 12.11.2007 | | Autor: | bonni |
hat das irgendjemand auch so gemacht wie ich???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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