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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Do 01.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] W_i, [/mm] i [mm] \in [/mm] I, eine Familie von Teilräumen eines Vektorraums V , sodass
für je zwei i, j [mm] \in [/mm] I stets [mm] W_i \subseteq W_j [/mm] oder [mm] W_j \subseteq W_i [/mm] gilt. Zeige, dass in dieser Situation [mm] \cup_{i \in I}W_i [/mm] einen Teilraum von V bildet. |
Abend!
Mich verwirrt die Angabe total. Ich weiß, es ist sonst immer verpflichtend einen Ansatz zu posten, aber ich hab leider keinen. Definition eines Teilraumes ist mir bekannt.
Familie von Teilräumen heißt einfach mehrere Teilräume?
Für was stehen die Indizes genau'?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]W_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, eine Familie von Teilräumen eines
> Vektorraums V , sodass
> für je zwei i, j [mm]\in[/mm] I stets [mm]W_i \subseteq W_j[/mm] oder [mm]W_j \subseteq W_i[/mm]
> gilt. Zeige, dass in dieser Situation [mm]\cup_{i \in I}W_i[/mm]
> einen Teilraum von V bildet.
>
> Abend!
> Mich verwirrt die Angabe total. Ich weiß, es ist sonst
> immer verpflichtend einen Ansatz zu posten, aber ich hab
> leider keinen. Definition eines Teilraumes ist mir
> bekannt.
> Familie von Teilräumen heißt einfach mehrere
> Teilräume?
> Für was stehen die Indizes genau'?
die Indizes "indizieren", im Sinne von "markieren" die Unterräume (jedenfalls benutze besser nicht Wörter der Form "durchzählen" oder ähnliches, denn [mm] $I\,$ [/mm] könnte ja überabzählbar sein).
Strenggenommen ist das, was da steht, sofern für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ nun [mm] $W_i$ [/mm] ein Unterraum ist, aufzufassen als
[mm] $$(W_i)_{i \in I}=\{f: I \to \bigcup_{i \in I}W_i \text{ mit }f(k) \in W_k \text{ fuer alle }k \in I\}\,.$$
[/mm]
Es dauert ein wenig, diese Definition zu verstehen. Es gibt aber äquivalente: ![[]](/images/popup.gif) siehe etwa hier.
Grob gesagt: Stell' Dir einen "Vektor" (im Sinne eines Tupels mit unendlich vielen Komponenten, wobei sogar "die Art der Unendlichkeit" nicht eingeschränkt sein soll) vor, wo Du "nur die Komponente behandeln/betrachten kannst", wenn Du "die Position $i [mm] \in [/mm] I$" mitgegeben bekommst (i.a. wirst Du Dich NICHT zu der Position durchzählen können - der Vektor wird i.a. also keine Folge und auch kein endlicher Vektor sein müssen!) - und wenn Du dieses [mm] $i\,$ [/mm] hast, dann weißt Du, dass dort ein Element aus [mm] $W_i$ [/mm] stehen muss. Alle solchen "unendlich-Tupel" zusammengewürfelt ist sozusagen diese Familie [mm] $W_i\,.$
[/mm]
Aber so wichtig ist das auch gar nicht für die Aufgabe. Wichtig bei der Aufgabe ist es nur insofern, als dass man keine Abzählbarkeitseinschränkung an die Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] hat. Man kann also durchaus überabzählbar viele Unterräume vorliegen haben (es könnte etwa [mm] $I=\IR$ [/mm] sein).
So, damit nun zur Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass [mm] $\bigcup_{i \in I}W_i$ [/mm] ein Unterraum ist. Klar ist, dass der Nullvektor aus $V$ in dieser Vereinigung liegt. (Warum?)
Ist nun [mm] $x\,$ [/mm] ein Vektor dieser Vereinigung und [mm] $\lambda$ [/mm] ein Skalar, so haben wir zu zeigen, dass dann auch [mm] $\lambda \cdot [/mm] x$ in der Vereinigung liegt. Wenn [mm] $x\,$ [/mm] in der Vereinigung liegt, dann gibt es aber (mindestens) ein [mm] $i_x \in [/mm] I$ mit $x [mm] \in W_{i_x}\,,$ [/mm] und weil [mm] $W_{i_x}$ [/mm] Unterraum ist, folgt dann
[mm] $$\lambda [/mm] x [mm] \in W_{i_x} \subseteq \bigcup \ldost$$
[/mm]
und daher...
Was "komplizierter" ist, ist zu zeigen, dass die Summe zweier Vektoren der Vereinigung wieder in dieser liegt:
Nimmst Du nämlich [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] aus dieser Vereinigung heraus, so gibt es ein $i [mm] \in [/mm] I$ mit $x [mm] \in W_i$ [/mm] und es gibt ein $j [mm] \in [/mm] I$ mit $y [mm] \in W_j\,.$ [/mm] Falls nun [mm] $W_i=W_j\,,$ [/mm] so ist alles klar.
Jetzt behandele halt den Fall $i [mm] \not=j\,:$
[/mm]
O.E. kannst Du (wegen der gegebenen Voraussetzung) dann [mm] $W_i \subseteq W_j$ [/mm] annehmen (schlimmstenfalls müsste man [mm] $x\,$ [/mm] gegen [mm] $y\,$ [/mm] vertauschen, um das zu erreichen). Es folgt dann also, dass nicht nur $x [mm] \in W_i\,,$ [/mm] sondern sogar auch $x [mm] \in W_j$ [/mm] ist. Wo liegt dann also [mm] $x+y\,$ [/mm] zwangsläufig? Welche (weitere) Teilmengenbeziehung liefert dann sofort die Behauptung?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hei, erstmal vielen dank!
> Zu zeigen ist, dass $ [mm] \bigcup_{i \in I}W_i [/mm] $ ein Unterraum ist. Klar ist, dass der Nullvektor aus $ V $ in dieser Vereinigung liegt. (Warum?)
[mm] W_i [/mm] i [mm] \in [/mm] I ist laut angabe ein Teilraum , heißt 0 [mm] \in W_i [/mm] also ist 0 auch enthalten in der Vereinigung 0 [mm] \in \cup_{i \in I} W_i
[/mm]
Sei x [mm] \in \cup_{i \in I} W_i
[/mm]
ZuZeigen: $ [mm] \lambda \cdot [/mm] x $ [mm] \in \cup_{i \in I} W_i
[/mm]
> da $ [mm] x\, [/mm] $ [mm] \in \cup_{i \in I} W_i [/mm] : [mm] \exists [/mm] $ [mm] i_x \in [/mm] I $ mit $ x [mm] \in W_{i_x}\,, [/mm] $ und da $ [mm] W_{i_x} [/mm] $ Teilraum =>
> $ [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in W_{i_x} \subseteq \bigcup \ldost [/mm] $
[mm] W_{ix} [/mm] ist jetzt was genau?
Zu dem [mm] \subseteq \bigcup \ldost [/mm] $ kommst du wegen der Annahme oben (
Sei x $ [mm] \in \cup_{i \in I} W_i [/mm] $) oder?
Du sieht ganz klar ist es mir noch nicht.
> Summe zweier Vektoren
Sei nun wieder x [mm] \in \cup_{i \in I} W_i [/mm] und y [mm] \in \cup_{j \in I} [/mm] Wj
Wieder/wie oben)So [mm] \exists\ i_x \in [/mm] I mit x [mm] \in W_{i_x} [/mm] und [mm] \exists\ i_y \in [/mm] I mit y [mm] \in W_{i_y}
[/mm]
Wenn die beiden TR die gleichen sind -> So ist x+y [mm] \in \cup {W_i,i \in I} [/mm] da ja [mm] W_{i_x}=W_{i_y}, [/mm] ein Teilraum ist.
Nun wenn [mm] W_{i_x}\not= W_{i_y} [/mm] .
Angabe: [mm] W_i \subseteq W_j. [/mm] Alle Elemente in [mm] W_i [/mm] sind auch in [mm] W_j. [/mm] d.h. x [mm] \in W_{i_x} [/mm] ist auch x [mm] \in W_{i_y)}
[/mm]
da x [mm] \in W_{i_y)} [/mm] und y [mm] \in W_{i_y)} [/mm] -> heißt x + y ist [mm] \in W_{i_y} [/mm] also auch x+ y [mm] \in \cup {W_i,i \in I} [/mm]
STimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hei, erstmal vielen dank!
> > Zu zeigen ist, dass [mm]\bigcup_{i \in I}W_i[/mm] ein Unterraum
> ist. Klar ist, dass der Nullvektor aus [mm]V[/mm] in dieser
> Vereinigung liegt. (Warum?)
> [mm]W_i[/mm] i [mm]\in[/mm] I ist laut angabe ein Teilraum , heißt 0 [mm]\in W_i[/mm]
> also ist 0 auch enthalten in der Vereinigung 0 [mm]\in \cup_{i \in I} W_i[/mm]
ja, Du meinst es sicher absolut korrekt. Aber man kann es auch ganz sauber aufschreiben:
Nach Voraussetzung ist für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ ja [mm] $W_i$ [/mm] ein Teilraum. Um $0 [mm] \in \bigcup_{i \in I} W_i$ [/mm] einzusehen:
Wir wählen irgendeinen Index $j [mm] \in I\,,$ [/mm] dann gilt $0 [mm] \in W_j\,,$ [/mm] da [mm] $W_j$ [/mm] ein Teilraum war. Mit $0 [mm] \in W_j \subseteq \bigcup_{i \in I}W_i$ [/mm] folgt dann sofort
$$0 [mm] \in \bigcup_{i \in I}W_i\,.$$
[/mm]
Aber genau so ist Deine Argumentation sicher auch gemeint gewesen.
> Sei x [mm]\in \cup_{i \in I} W_i[/mm]
> ZuZeigen: [mm]\lambda \cdot x[/mm] [mm]\in \cup_{i \in I} W_i[/mm]
>
> > da [mm]x\,[/mm] [mm]\in \cup_{i \in I} W_i[/mm] : [mm]\exists[/mm] [mm]i_x \in I[/mm] mit [mm]x \in W_{i_x}\,,[/mm]
> und da [mm]W_{i_x}[/mm] Teilraum =>
> > [mm]\lambda x \in W_{i_x} \subseteq \bigcup \ldost[/mm]
> [mm]W_{ix}[/mm]
> ist jetzt was genau?
> Zu dem [mm]\subseteq \bigcup \ldost[/mm] $ kommst du wegen der
> Annahme oben (
> Sei x [mm]\in \cup_{i \in I} W_i [/mm]) oder?
> Du sieht ganz klar ist es mir noch nicht.
Dann schau mal in die Definition einer (beliebigen) Vereinigung:
Ich wähle $x [mm] \in \bigcup_{i \in I}W_i\,.$ [/mm] Nach Definition ist
[mm] $$\bigcup_{i \in I}W_i=\{e: \exists p \in I \text{ mit }e \in W_p\}\,.$$
[/mm]
Demzufolge gibt es zu dem [mm] $x\,$ [/mm] (mindestens) einen Index $p [mm] \in I\,$ [/mm] so, dass $x [mm] \in W_p\,.$ [/mm] Um anzudeuten, dass [mm] $W_p$ [/mm] das Element [mm] $x\,$ [/mm] enthält bzw. weil [mm] $p\,$ [/mm] ja "bzgl. [mm] $x\,$ [/mm] gewählt wurde", schreiben wir [mm] $p=i_x\,.$ [/mm] Und $x [mm] \in W_p$ [/mm] schreiben wir dann als $x [mm] \in W_{i_x}\,.$ [/mm] Das ist reiner "suggestiver" Formalismus.
So, und nun: Wenn $x [mm] \in \bigcup_{i \in I}W_i$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] ein Skalar, dann hast Du zu zeigen, dass dann gilt:
[mm] $$\lambda [/mm] x [mm] \in \bigcup_{i \in I}W_i\,,$$
[/mm]
anders gesagt:
Dass es einen Index [mm] $q=i_{\lambda x} \in [/mm] I$ gibt mit [mm] $\lambda [/mm] x [mm] \in W_{q}\,.$
[/mm]
Ich behaupte nun, dass das sofort mit [mm] $q=i_x$ [/mm] klar ist, wenn man [mm] $W_{i_x} \subseteq \bigcup_{i \in I}W_i$ [/mm] beachtet. Warum? Naja: [mm] $\lambda [/mm] x$ muss auch in [mm] $W_{i_x}$ [/mm] liegen, denn...? Ja, warum? Das sagst Du mir nun bitte kurz.
> > Summe zweier Vektoren
> Sei nun wieder x [mm]\in \cup_{i \in I} W_i[/mm] und y [mm]\in \cup_{j \in I}[/mm]
> Wj
> Wieder/wie oben)So [mm]\exists\ i_x \in[/mm] I mit x [mm]\in W_{i_x}[/mm]
> und [mm]\exists\ i_y \in[/mm] I mit y [mm]\in W_{i_y}[/mm]
> Wenn die
> beiden TR die gleichen sind -> So ist x+y [mm]\in \cup {W_i,i \in I}[/mm]
?? Was ist [mm] $W_{i}i$?
[/mm]
> da ja [mm]W_{i_x}=W_{i_y},[/mm] ein Teilraum ist.
Du meinst das richtige: Also: Wenn [mm] $W_{i_x}=W_{j_x}\,,$ [/mm] dann gilt $x,y [mm] \in W_{i_x}$ [/mm] und damit $x+y [mm] \in W_{i_x} \subseteq \bigcup_{i \in I}W_i\,.$ [/mm] Interessanter wird's im Falle [mm] $W_{i_x} \not=W_{i_y}$ [/mm] (dann kann insbesondere nur [mm] $i_x \not= i_y$ [/mm] gelten!)
> Nun wenn [mm]W_{i_x}\not= W_{i_y}[/mm] .
> Angabe: [mm]W_i \subseteq W_j.[/mm] Alle Elemente in [mm]W_i[/mm] sind auch
> in [mm]W_j.[/mm] d.h. x [mm]\in W_{i_x}[/mm] ist auch x [mm]\in W_{i_y)}[/mm]
> da x
> [mm]\in W_{i_y)}[/mm] und y [mm]\in W_{i_y)}[/mm] -> heißt x + y ist [mm]\in W_{i_y}[/mm]
> also auch x+ y [mm]\in \cup {W_i,i \in I}[/mm]
Ich glaube, Du meinst das richtige,wobei immer noch unklar bleibt, was [mm] ${W_i,i \in I}$ [/mm] sein soll? Bitte beachte:
Die Familie [mm] $(W_i)_{i \in I}$ [/mm] ist nicht das gleiche wie [mm] $\bigcup_{i \in I}W_i\,.$ [/mm] Ist Dir das klar?
Aber:
Das wesentliche Deiner Argumentation ist richtig: Wenn [mm] $W_{i_x} \subseteq W_{i_y}\,,$ [/mm] dann folgt $x,y [mm] \in W_{i_y}$ [/mm] und damit auch
$$x+y [mm] \in W_{i_y}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $W_{i_{y}} \subseteq \bigcup_{i \in I}W_i$ [/mm] folgt dann aber auch
$$x+y [mm] \in \bigcup_{i \in I}W_i\,.$$
[/mm]
(Um den Beweis mit "der Definiton der (bel.) Vereinigung" auch mal aufzuschreiben: Argumentieren müsste man hier: Wenn $x [mm] \in W_{i_x}$ [/mm] und $y [mm] \in W_{i_y}$ [/mm] beliebig hergenommen werden, dann ist zu beweisen, dass es einen Index [mm] $i_{x+y} \in [/mm] I$ gibt mit $x+y [mm] \in W_{i_{x+y}}\,.$ [/mm] Genau wie oben argumentiert man dann $x,y [mm] \in W_{i_y}$ [/mm] und weil somit $x+y [mm] \in W_{i_y}$ [/mm] folgt, kann man sagen: Mit der Definition
[mm] $$i_{x+y}:=i_y$$
[/mm]
ist [mm] $i_{x+y} \in [/mm] I$ und wegen $x+y [mm] \in W_{i_y}$ [/mm] somit $x+y [mm] \in W_{i_{x+y}}\,,$ [/mm] und damit ist alles gezeigt.)
Gruß,
Marcel
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