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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Teilringe [mm] $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Z}[i]$ [/mm] von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nicht zueinander isomorph sind. |
Mein Vorschlag wäre hier ein Widerspruchsbeweis.
Nur, weiß ich leider nicht, wie ich die Annahme, dass es eine isomorphe Abbildung zwischen diesen beiden Mengen gibt, zu einem Widerspruch führen soll, kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mi 24.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass die Teilringe [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{2}][/mm] und
> [mm]\mathbb{Z}[i][/mm] von [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht zueinander isomorph sind.[/i][/mm]
> [mm][i] Mein Vorschlag wäre hier ein Widerspruchsbeweis. [/i][/mm]
> [mm][i]Nur, weiß ich leider nicht, wie ich die Annahme, dass es [/i][/mm]
> [mm][i]eine isomorphe Abbildung zwischen diesen beiden Mengen [/i][/mm]
> [mm][i]gibt, zu einem Widerspruch führen soll, kann mir da jemand [/i][/mm]
> [mm][i]helfen? [/i][/mm]
Der eine Ring enthaelt ein Element, dessen Quadrat gleich -1 ist.
Worauf wird so ein Element unter einem Isomorphismus abgebildet?
LG Felix
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Wegen der Existenz einer umkehrbareindeutigen Abbildung, muss es es eine identische Abbildung geben, daher nehme ich an, dass so ein Element wieder auf sich selbst abgebildet wird??? (Sry, wenn das ein Blödsinn ist, ich stehe nur gerade auf der Leitung)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Also, ich betrachte beispielsweise die Abbildung:
[mm] $\phi: \mathbb{C} [/mm] -> [mm] \mathbb{R}$ [/mm]
$ x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
Da kann ich ja sagen:
[mm] $\phi(ii)=\phi(-1)=1=\phi(i)\cdot\phi(i) [/mm] = [mm] i^2\cdot i^2=i^4=1$ [/mm] Also wird dadurch zumindest ein Homomorphismus definiert. Wie weiß ich nun, wann hier ein Isomorphismus definiert wrd und wie sehe ich, dass es zwischen diesen beiden Ringen keinen geben kann.
Ich meine, der eine lautet ja
[mm] $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]:=\{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{Z} \}$ [/mm]
[mm] $\mathbb{Z}[i]:= \{a+bi|a,b \in Z\}$ [/mm]
Kann mir da jemand einen Tipp geben
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Liebe Mitglieder!
Ich habe nur die eine Frage an euch:
Reicht das Argument aus, dass ich sage, dass unter einem Isomorphismus von [mm] $\mathbb{Z}[i] [/mm] nach [mm] $\mathbb{Z}{\sqrt{2}}$ [/mm] beispielsweise [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht getroffen werden kann, was ja die Surjektivität widerlegt und damit, dass es einen Isomorphismu geben kann.
Ich bitte euch nur um ein ja oder nein! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich betrachte folgende Abbildung:
[mm] $\phi: \mathbb{Z} [/mm] -> [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm]
[mm] a+b\sqrt{2}$ [/mm] -> a+bi
$x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
Da sieht man sofort, dass nur reelle Zahlen als Bilder unter $phi$ vorkommen, jedoch keine reinkomplexen, was ja die Bijektivität widerlegt...
Ist meine Argumentation in Ordnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ok, bitte verzeiht mir die letzhin "dumme" Frage.
Ich habe nur keine Idee wie diese Ringe definiert sind und was hier überhaupt zu zeigen ist, ich meine, was hier formal zu zeigen ist, in der Homomorphismenschreibweise für phi.
Kann mir das jemand sagen, dann kenn ich mich aus, würde mich jedenfalls sehr freuen! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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