Teilüberdeckung offener Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Fr 22.10.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] M:=\{(x,y)\in \IR^{2}| x\ge 0\mbox{ und }e^{x}-1 \le y \le e^{-x}+1\}
[/mm]
a) Skizziere M
b) Zeige, dass M kompakt ist
(Hinweis: Schreibe M zunächst als Durchschnitt dreier "geeigneter" Mengen.) |
Hallo meine Damen und Herren :)
ich schreib morgen Klausur und kann mir gut vorstellen, dass soetwas in der Art drankommen könnte.
Wir haben im Skript/in den Übungen nur Bsp.'s mit Mengen ohne Funktionen, deshalb bräuchte ich hier mal kurz Unterstützung damit ich sowas auch einmal gerechnet habe.
a) graph(en) wurde skizziert und mit einem plotter überprüft.
I)- Für [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] e^{x}-1 \le [/mm] y ergibt sich quasi die e-Funktion im ersten Quadranten. (steile kurve von 0 gegen [mm] \infty)
[/mm]
II)- Für [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] e^{-x}+1 \le [/mm] y ergibt sich wieder eine kurve im ersten quadranten.
diese startet für x=0 --> y=2 und geht für x--> [mm] \infty [/mm] gegen y=1.
welchen Durchschnitt soll ich jetzt zeigen? wie gehe ich hier vor? ich will ja die kompaktheit der menge die durch die beiden beschränkungen auf der y-achse und die beiden schnittpunkte graph I- verbotslinie 1 von graph II und graph I - graphII bestimmt wird zeigen...
Mit Teilüberdeckung offener Mengen? aber wiiiie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 22.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die Menge [mm]M:=\{(x,y)\in \IR^{2}| x\ge 0\mbox{ und }e^{x}-1 \le y \le e^{-x}+1\}[/mm]
>
> a) Skizziere M
> b) Zeige, dass M kompakt ist
> (Hinweis: Schreibe M zunächst als Durchschnitt dreier
> "geeigneter" Mengen.)
>
>
> Hallo meine Damen und Herren :)
> ich schreib morgen Klausur und kann mir gut vorstellen,
> dass soetwas in der Art drankommen könnte.
> Wir haben im Skript/in den Übungen nur Bsp.'s mit Mengen
> ohne Funktionen, deshalb bräuchte ich hier mal kurz
> Unterstützung damit ich sowas auch einmal gerechnet habe.
>
> a) graph(en) wurde skizziert und mit einem plotter
> überprüft.
> I)- Für [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]e^{x}-1 \le[/mm] y ergibt sich quasi die
> e-Funktion im ersten Quadranten. (steile kurve von 0 gegen
> [mm]\infty)[/mm]
> II)- Für [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]e^{-x}+1 \le[/mm] y ergibt sich wieder
> eine kurve im ersten quadranten.
> diese startet für x=0 --> y=2 und geht für x--> [mm]\infty[/mm]
> gegen y=1.
Das sind die Ränder der Menge M. Wie sieht M denn nun insgesamt aus?
> welchen Durchschnitt soll ich jetzt zeigen? wie gehe ich
> hier vor? ich will ja die kompaktheit der menge die durch
> die beiden beschränkungen auf der y-achse und die beiden
> schnittpunkte graph I- verbotslinie 1 von graph II und
> graph I - graphII bestimmt wird zeigen...
> Mit Teilüberdeckung offener Mengen? aber wiiiie?
Bedenke, dass der Durchschnitt kompakter Mengen wieder kompakt ist. Der Tipp soll dich darauf hinweisen, dass es einfacher ist, die Kompaktheit der drei gesuchten Mengen zu zeigen. Da M deren Durchschnitt ist, bist du dann fertig.
Kannst du diese Menge M nun geschickt als Durchschnitt dreier kompakter Mengen schreiben? Übrigens brauchst du im [mm] $\IR^2 [/mm] $ nicht die allgemeine Definition einer kompakten Menge, denn der Satz von Heine-Borel sagt dir dass du zeigen musst, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:08 Fr 22.10.2010 | | Autor: | perl |
A:= [mm] \{(x,y) \in \IR^{2}|x\ge0\mbox{ und }1\le y\le2\}
[/mm]
[mm] \cap
[/mm]
B:= [mm] \{(x,y) \in \IR^{2}|x\ge0\mbox{ und }y\ge e^{x}-1\}
[/mm]
[mm] \cap
[/mm]
[mm] C:=\{(x,y) \in \IR^{2}|x\ge0\mbox{ und }y\le e^{-x}+1\}
[/mm]
=
M
so??
der Durchschnitt von A [mm] \cap [/mm] B ist kompakt, da abgeschlossen und beschränkt. B [mm] \cap [/mm] C ist als Durchnitt einer kompakten Menge auch kompakt?
wie ich abgeschlossenheit/beschränktheit hier zeigen muss ist mir immernoch ein rätsel.
> Hallo!
>
> > Gegeben sei die Menge [mm]M:=\{(x,y)\in \IR^{2}| x\ge 0\mbox{ und }e^{x}-1 \le y \le e^{-x}+1\}[/mm]
>
> >
> > a) Skizziere M
> > b) Zeige, dass M kompakt ist
> > (Hinweis: Schreibe M zunächst als Durchschnitt dreier
> > "geeigneter" Mengen.)
> >
> >
> > Hallo meine Damen und Herren :)
> > ich schreib morgen Klausur und kann mir gut vorstellen,
> > dass soetwas in der Art drankommen könnte.
> > Wir haben im Skript/in den Übungen nur Bsp.'s mit
> Mengen
> > ohne Funktionen, deshalb bräuchte ich hier mal kurz
> > Unterstützung damit ich sowas auch einmal gerechnet habe.
> >
> > a) graph(en) wurde skizziert und mit einem plotter
> > überprüft.
> > I)- Für [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]e^{x}-1 \le[/mm] y ergibt sich quasi
> die
> > e-Funktion im ersten Quadranten. (steile kurve von 0 gegen
> > [mm]\infty)[/mm]
> > II)- Für [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]e^{-x}+1 \le[/mm] y ergibt sich wieder
> > eine kurve im ersten quadranten.
> > diese startet für x=0 --> y=2 und geht für x--> [mm]\infty[/mm]
> > gegen y=1.
>
> Das sind die Ränder der Menge M. Wie sieht M denn nun
> insgesamt aus?
>
> > welchen Durchschnitt soll ich jetzt zeigen? wie gehe ich
> > hier vor? ich will ja die kompaktheit der menge die durch
> > die beiden beschränkungen auf der y-achse und die beiden
> > schnittpunkte graph I- verbotslinie 1 von graph II und
> > graph I - graphII bestimmt wird zeigen...
> > Mit Teilüberdeckung offener Mengen? aber wiiiie?
>
> Bedenke, dass der Durchschnitt kompakter Mengen wieder
> kompakt ist. Der Tipp soll dich darauf hinweisen, dass es
> einfacher ist, die Kompaktheit der drei gesuchten Mengen zu
> zeigen. Da M deren Durchschnitt ist, bist du dann fertig.
>
> Kannst du diese Menge M nun geschickt als Durchschnitt
> dreier kompakter Mengen schreiben? Übrigens brauchst du im
> [mm]\IR^2[/mm] nicht die allgemeine Definition einer kompakten
> Menge, denn der Satz von Heine-Borel sagt dir dass du
> zeigen musst, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt
> ist.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 24.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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