Teilvektorraum bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 05.05.2005 | | Autor: | Max_well |
Hallo allerseits,
eigentlich hab ich verstanden, wie man einen Teilvektorraum beweist. Man guckt ob x+y [mm] \in [/mm] TR und ob [mm] \lambda*x \in [/mm] TR. Aber ich komme da an einer Stelle nicht ganz klar:
z.B.
T := {[ [mm] x_{1},x_{2},x_{3}] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] + [mm] x_{3}^2=1 [/mm] }
Also rechnet man:
x,y [mm] \in [/mm] TR also
[mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] + [mm] x_{3}^2=1 [/mm] und [mm] y_{1}^2 [/mm] + [mm] y_{2}^2 [/mm] + [mm] y_{3}^2=1
[/mm]
x+y [mm] \in [/mm] TR
hier ist mein Problem, schreibt man jetzt:
x+y= [mm] (x_{1}+y_{1})^2 [/mm] + [mm] (x_{2}+y_{2})^2 [/mm] + [mm] (x_{3}+y_{3})^2=1 [/mm]
und rechnet dann weiter aus, weil ja x+y der gleichen Vorschrift folgen müsste wie der Vektor x, oder ist das falsch und man schreibt:
x+y= [mm] (x_{1}^2+y_{1}^2) [/mm] + [mm] (x_{2}^2+y_{2}^2) [/mm] + [mm] (x_{3}^2+y_{3}^2)=1
[/mm]
bei beiden Versionen ist T kein Teilraum des [mm] \IR^3, [/mm] aber ich würde trotzdem gern wissen was formal richtig ist, damit ich das nicht bei anderen Aufgaben falsch mache.
2. Frage
Was ist die obige Menge T geometrisch ausgedrückt? Eine Gerade?
Danke schonmal - Max
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 05.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Max!
Zu deiner ersten Frage:
Die Addition im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist komponentenweise definiert. Es ist also [mm] $z=x+y=\vektor{x_1\\ y_1\\ z_1}+\vektor{x_2\\ y_2\\ z_2}=\vektor{x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2}$. [/mm] Du musst also prüfen, ob in jedem Falle [mm] $(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(z_1+z_2)^2=1$ [/mm] gilt, wenn die Bedingung für die Kompoenten von $x$,$y$ erfüllt ist.
Zu deiner zweiten Frage:
Für einen Punkt [mm] $a\in [/mm] T, [mm] a=\vektor{x\\ y\\ z}$ [/mm] gilt [mm] $x^2+y^2+z^2=1\gdw\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$. [/mm] Dies ist genau der Abstand des durch $(x|y|z)$ gegebenen Punktes vom Ursprung. Die Menge $T$ beinhaltet also all diejenigen Punkte, die zum Ursprung den Abstand 1 haben; folglich alle Punkte, die auf der Oberfläche der Einheitskugel liegen.
Hieran siehst du auch nochmals, dass $T$ kein Untervektorraum sein kann. Eine Multiplikation mit einem Vektor entspricht einer Strecken. Multiplizierst du einen Vektor mit einem Koeffzienten, der von $1$ und $-1$ verschieden ist, so ist der resultierende Vektor Ortsvektor eines Punktes entweder außerhalb [wenn der Koeffizient vom Betrag größer 1 war] oder innerhalb [wenn er vom Betrag her kleiner als 1 war] der Einheitskugel - nicht aber auf ihr.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Do 05.05.2005 | | Autor: | Nam |
Hi,
ich würde es mir gar nicht so kompliziert machen.
[mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \not\in T[/mm], weil
[mm]0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 \not= 1[/mm]
Damit kann T kein Unterraum sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Do 05.05.2005 | | Autor: | Max_well |
Danke, beide Antworten haben geholfen. An den Nullvektor hatte ich gar nicht gedacht.
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