Teilverhältnis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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a,b,c seine paarweise verschieden Punkte auf einer Geraden. Zeigen sie: TV(a;b,c)TV(b;c,a)TV(c;a,b)=-1 |
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Teilverhältnis ist bei mir so definiert, dass ich einen Punkt x auf einer Geraden [mm] x=(1-\lambda)u+\lambda [/mm] v habe.
Das Teilverhältnis ist dann TV(x;u,v)= [mm] \frac{ \lambda}{ \lambda -1}[/mm] bzw. TV(x;u,v)= [mm] \frac{ \parallel x-u \parallel}{ \parallel x-v \parallel}[/mm]
Müsste das dann nicht auch (1- [mm] \lambda) [/mm] heißen statt [mm] (\lambda [/mm] -1)? Habe das so direkt aus dem Skript übernommen und wundere mich ein wenig darüber.
Jetzt habe ich hier in meinen Unterlagen stehen für TV(a;b,c)=[mm] \frac{ \parallel a-b \parallel}{ \parallel a-c \parallel}[/mm] = [mm] \frac{-x}{-(x+y)}[/mm]
ich habe keinen Schimmer mehr wie ich das damals berechnet habe. Kann mich jemand evtl wieder auf den Weg bringen?
Ich würde das jetzt so anfangen, dass ich die Geradengleichung aufstelle als a= [mm] \lambda [/mm] b + [mm] (1-\lambda [/mm] ) c und dann jeweils nach a,b und c auflöse, aber dann habe ich ja alles mit [mm] \lambda [/mm] gemacht und es geht auch auf mit der ursprünglichen Gleichung, aber übersehe ich hier eventuell etwas, weshalb ich das damals mit x und y gemacht habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> a,b,c seine paarweise verschieden Punkte auf einer
> Geraden. Zeigen sie: TV(a;b,c)TV(b;c,a)TV(c;a,b)=-1
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> Teilverhältnis ist bei mir so definiert, dass ich einen
> Punkt x auf einer Geraden [mm]x=(1-\lambda)u+\lambda[/mm] v habe.
> Das Teilverhältnis ist dann TV(x;u,v)= [mm]\frac{ \lambda}{ \lambda -1}[/mm]
> bzw. TV(x;u,v)= [mm]\frac{ \parallel x-u \parallel}{ \parallel x-v \parallel}[/mm]
>
> Müsste das dann nicht auch (1- [mm]\lambda)[/mm] heißen statt
> [mm](\lambda[/mm] -1)? Habe das so direkt aus dem Skript übernommen
> und wundere mich ein wenig darüber.
Ich wundere mich vielmehr über TV(x;u,v)= [mm]\frac{ \parallel x-u \parallel}{ \parallel x-v \parallel}[/mm].
Wenn das nämlich generell richtig wäre, so ist es immer positiv und das Produkt dreier Teilverhältnisse könnte niemals negativ sein.
Tatsächlich ist TV(x;u,v)= [mm]\frac{ \lambda}{ \lambda -1}[/mm] immer richtig und wird positiv, wenn x außerhalb von u und v liegt und wird negativ, wenn x zwischen u und v liegt. In der Betrags-Gleichung muss also eine Fallunterscheidung vorgenommen werden wobei im Fall dass x zwischen u und v liegt zusätzlich ein Minus-Zeichen einzusetzen ist.
>
> Jetzt habe ich hier in meinen Unterlagen stehen für
> TV(a;b,c)=[mm] \frac{ \parallel a-b \parallel}{ \parallel a-c \parallel}[/mm]
> = [mm]\frac{-x}{-(x+y)}[/mm]
> ich habe keinen Schimmer mehr wie ich das damals berechnet
> habe. Kann mich jemand evtl wieder auf den Weg bringen?
>
Wahrscheinlich so :
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich würde das jetzt so anfangen, dass ich die
> Geradengleichung aufstelle als a= [mm]\lambda[/mm] b + [mm](1-\lambda[/mm] )
> c und dann jeweils nach a,b und c auflöse, aber dann habe
> ich ja alles mit [mm]\lambda[/mm] gemacht und es geht auch auf mit
> der ursprünglichen Gleichung, aber übersehe ich hier
> eventuell etwas, weshalb ich das damals mit x und y gemacht
> habe?
>
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
Danke, die Frage überarbeite ich jetzt nochmal, da ich aus irgendeinem Grund etwas anderes auf einmal nicht mehr weiß:
Nach deiner Zeichung können die Punkte ja dann durch x und y beschrieben werden. Das heisst meine Gleichung für a würde ja dann ungefähr so aussehen:
a= [mm] \frac{x+y}{y}b [/mm] - [mm] \frac{x}{y}c.
[/mm]
[mm] \frac{x+y}{y}b [/mm] -> Beschreibt die Strecke bis b
[mm] \frac{x}{y}c [/mm] -> Beschreibt die Strecke bis c, minus deshalb, da ich es ja von b abziehen muß um zu a zu gelangen.
Aber weshalb wähle ich b und c so und weshalb b - c?
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> Nach deiner Zeichung können die Punkte ja dann durch x und
> y beschrieben werden. Das heisst meine Gleichung für a
> würde ja dann ungefähr so aussehen:
> a= [mm]\frac{x+y}{y}b[/mm] - [mm]\frac{x}{y}c.[/mm]
>
> [mm]\frac{x+y}{y}b[/mm] -> Beschreibt die Strecke bis b
> [mm]\frac{x}{y}c[/mm] -> Beschreibt die Strecke bis c, minus
> deshalb, da ich es ja von b abziehen muß um zu a zu
> gelangen.
>
> Aber weshalb wähle ich b und c so und weshalb b - c?
Hallo,
so ganz richtig verstehe ich Deine Frage nicht, will aber trotzdem versuchen zu antworten.
Ich übersetze es mal in die Vektorsprache, das fällt mir leichter.
mit [mm] a=\overrightarrow{0A}, b=\overrightarrow{0B}, c=\overrightarrow{0C}
[/mm]
hat man
[mm] a=\overrightarrow{0A}= \overrightarrow{0B}+\bruch{-x}{y}\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] =\overrightarrow{0B}+\bruch{-x}{y}(\overrightarrow{B0}+\overrightarrow{0C})
[/mm]
[mm] =\overrightarrow{0B}+\bruch{-x}{y}(-\overrightarrow{0B}+\overrightarrow{0C})
[/mm]
[mm] =(1+\bruch{x}{y})\overrightarrow{0B}+\bruch{-x}{y}\overrightarrow{0C}
[/mm]
[mm] =\bruch{x+y}{y}b-\bruch{x}{y}c.
[/mm]
Hilft das?
LG Angela
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Hi,
Danke. Soweit so gut, aber warum [mm] \frac{-x}{y}, [/mm] das leuchtet mir gerade noch nciht ein, den Rest habe ich verstanden wie der zurecht kommt:
Der Punkt a wird durch Kombination der Punkte b und c erreicht. Das ist ok.
Aber wieso wird hier [mm] \frac{-x}{y} [/mm] verwendet, was genau beschreibt es an dieser Stelle?
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> Hi,
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> Danke. Soweit so gut, aber warum [mm]\frac{-x}{y},[/mm] das leuchtet
> mir gerade noch nciht ein,
Hallo,
die Punkte liegen so: A----B-----C.
Nochmal in Vektorsprache:
[mm] \overrightarrow{0A}= \overrightarrow{0B}+\bruch{-x}{y}\overrightarrow{BC} [/mm]
Den Ortsvektor von A bekomme ich, indem ich an den Ortsvektor von B ein passendes positives Vielfaches von [mm] \overrightarrow{CB} [/mm] klebe, denn ich will ja von B aus nach links.
Und [mm] \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}.
[/mm]
LG Angela
den Rest habe ich verstanden wie
> der zurecht kommt:
> Der Punkt a wird durch Kombination der Punkte b und c
> erreicht. Das ist ok.
>
> Aber wieso wird hier [mm]\frac{-x}{y}[/mm] verwendet, was genau
> beschreibt es an dieser Stelle?
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ok das habe ich verstanden und das [mm] \frac{x}{y} [/mm] benötige ich dann um es mit der Gesamtstrecke in Bezug zu setzen, bzw die Gesamtstrecke auf die entsprechende Länge zu verkürzen?
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> ok das habe ich verstanden und das [mm]\frac{x}{y}[/mm] benötige
> ich dann um es mit der Gesamtstrecke in Bezug zu setzen,
> bzw die Gesamtstrecke auf die entsprechende Länge zu
> verkürzen?
Hallo,
B und C liegen y weit auseinander.
Wieder in Vektorsprache:
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] hat die Länge y.
[mm] \bruch{1}{y}\overrightarrow{BC} [/mm] ist der Einheitsvektor in Richtung [mm] \overrightarrow{BC},
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{y}\overrightarrow{BC} [/mm] ist der Einheitsvektor in Richtung [mm] \overrightarrow{CB}.
[/mm]
Wieviele Einheiten müssen wir uns vom Punkt B aus in diese Richtung bewegen? x Einheiten.
Also müssen wir [mm] x*(-\bruch{1}{y}\overrightarrow{BC}) [/mm] addieren.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 So 23.03.2014 | | Autor: | Grapadura |
Vielen Dank! Die Vektorsichtweise hat mir da gerade echt geholfen. Ich hatte da echt Tomaten auf den Augen. Vielen Dank für deine Geduld und die guten Erklärungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Sa 22.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei
(1) $ [mm] a=(1-\lambda)b+\lambda [/mm] c$
Löse die Gl.(1) nach b auf, dann bekommst Du
(2) $ [mm] b=(1-\beta)c+\beta [/mm] a$,
[mm] \beta [/mm] hängt von [mm] \lambda [/mm] ab. Bestimme [mm] \beta.
[/mm]
Löse die Gl.(1) nach c auf, dann bekommst Du
(3) $ [mm] c=(1-\alpha a+\alpha [/mm] b$,
[mm] \alpha [/mm] hängt von [mm] \lambda [/mm] ab. Bestimme [mm] \alpha
[/mm]
FRED
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Hallo,
also wenn ich meine Gleichung [mm] a=(1-\lambda)b [/mm] + [mm] \lambda [/mm] c weiter auflöse erhalte ich das so:
[mm] a=(1-\lambda)b [/mm] + [mm] \lambda [/mm] c [mm] \gdw a-(1-\lambda)b= \lambda [/mm] c [mm] \gdw -(1-\lambda)b= \lambda [/mm] c -a [mm] \gdw
[/mm]
(1- [mm] \lambda [/mm] )b= [mm] a-\lambda [/mm] c [mm] \gdw
[/mm]
b= [mm] \frac{1}{1-\lambda} [/mm] a - [mm] \frac{\lambda}{1-\lambda} [/mm] c
Was wähle dann aber für mein [mm] TV(b;c,a)=\frac{\lambda}{1-\lambda} [/mm] als die entsprechenden Platzhalter? ich könnte ja beide Varianten machen, sofern ich dir Vorzeichen beachte
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> b= [mm]\frac{1}{1-\lambda}[/mm] a - [mm]\frac{\lambda}{1-\lambda}[/mm] c
Hallo,
und weil Du Dich für T(b,c,a) interessierst,
schreibst Du lieber
b=- [mm]\frac{\lambda}{1-\lambda}[/mm] c + [mm]\frac{1}{1-\lambda}[/mm] a
>
> Was wähle dann aber für mein
> TV(b;c,a)
Zu "wählen" ist da nix.
Das TV(b,c,a) ist lt. Deiner Definition "die Zahl vorm a durch das Negative der vorm c".
Also ist
[mm] TV(b,c,a)=\bruch{\frac{1}{1-\lambda}}{-(-\frac{\lambda}{1-\lambda})}
[/mm]
LG Angela
[mm] =\frac{\lambda}{1-\lambda}als [/mm] die entsprechenden
> Platzhalter? ich könnte ja beide Varianten machen, sofern
> ich dir Vorzeichen beachte
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> a,b,c seine paarweise verschieden Punkte auf einer
> Geraden. Zeigen sie: TV(a;b,c)TV(b;c,a)TV(c;a,b)=-1
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> Teilverhältnis ist bei mir so definiert, dass ich einen
> Punkt x auf einer Geraden [mm]x=(1-\lambda)u+\lambda[/mm] v habe.
> Das Teilverhältnis ist dann TV(x;u,v)= [mm]\frac{ \lambda}{ \lambda -1}[/mm]
> Müsste das dann nicht auch (1- [mm]\lambda)[/mm] heißen statt
> [mm](\lambda[/mm] -1)? Habe das so direkt aus dem Skript übernommen
> und wundere mich ein wenig darüber.
Hallo,
nachdem ich nochmal drüber nachgedacht habe, wundere ich mich (im Gegensatz zu heute früh) mit Dir.
Ich kenne es auch so, daß für das Teilverhältnis t, in welchem ein Punkt die Strecke AB teilt, gilt: [mm] \overrightarrow{AT}=t*\overrightarrow{TB},
[/mm]
und dann ist in der Tat für [mm]x=(1-\lambda)u+\lambda[/mm] v
[mm] TV(x,u,v)=\bruch{\lambda}{1-\lambda}, [/mm] und man hat ein pos. Teilverhältnis, wenn der Punkt zwischen A und B liegt.
Entweder ist es bei Euch anders definiert, oder es ist irrtümlich vertauscht.
Das bekommst Du durch Nachfragen bei den Chefs heraus.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 So 23.03.2014 | | Autor: | Grapadura |
Danke für deine Überlegungen, aber in dem Skript hier:
http://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf
hier es auf Seite 5 genau so definiert.
Das Skript wurde auch schon mehrfach überarbeitet, von daher denke ich dass die Variante eben auch richtig ist.
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> Danke für deine Überlegungen, aber in dem Skript hier:
>
> http://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf
>
> hier es auf Seite 5 genau so definiert.
Hallo,
daran hatte ich keine Zweifel.
Aber dem Text kann man ohne Zweifel entnehmen, daß es absichtlich so definiert wurde, daß es sich also nicht um einen Dreher handelt.
LG Angela
> Das Skript wurde auch schon mehrfach überarbeitet, von
> daher denke ich dass die Variante eben auch richtig ist.
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